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'''二维分箱图'''（two-dimensional binned plot）把[[散点图]]的平面分成小格，数出每格里的成对观测，再用颜色或格内数字表示频数。大量点重合时，它能让“这里有多少次”重新可见；代价是每个点在格内的精确位置被汇总掉。与只有一条数轴的[[直方图]]相比，这里同时选择横纵两组边界。

== 十六对记录只剩八个可见点 ==

考虑 <math>0\le x<3</math>、<math>0\le y<3</math> 内的十六条合成记录。它们只取 <math>0.5,1.5,2.5</math> 三种横纵坐标，部分坐标重复：<math>(0.5,0.5)</math> 出现四次，<math>(1.5,1.5)</math> 出现三次，其余位置见下图。普通散点把完全重合的记录画在同一处，画面只有八个可见位置。

[[File:Gezhi-stats-bin2d-overlap.svg|frame|center|alt=十六对合成观测落在九个可能格心，实际只看见八个点；多个相同坐标完全叠在一起|点的位置是准确的，但可见点数少于记录数。仅看此图，无法知道左下角其实有四条相同记录。]]

先把横纵轴都划为 <math>[0,1),[1,2),[2,3)</math>。第 <math>j,k</math> 格的计数可写成
<math display="block">n_{jk}=\sum_{i=1}^{16}\mathbf1\{x_i\in I_j,\ y_i\in J_k\}.</math>
各格互不重叠、合起来覆盖这批点，所以 <math>\sum_{j,k}n_{jk}=16</math>。例如左下格 <math>[0,1)\times[0,1)</math> 的计数为 4；右上格 <math>[2,3)\times[2,3)</math> 的计数为 2；左上格为 0。一个颜色块若没有标数，很容易把 0 与“没有数据可用”混同，因此本图同时写出格内次数。

[[File:Gezhi-stats-bin2d-fine.svg|frame|center|alt=三乘三二维分箱图，自下而上每行计数为4、2、1；1、3、2；0、1、2，总数16|每格为宽一单位的左闭右开矩形，数字是观测次数，颜色仅辅助比较。左上角的 0 是已观测范围内的零次，不是缺测。]]

沿一列相加可得到横轴的边际频数：三列依次为 <math>5,6,5</math>；沿一行相加，三行是 <math>7,6,3</math>。这又给出独立的复算办法：<math>5+6+5=7+6+3=16</math>。图里颜色深浅是'''每格次数'''，不是联合概率；若要表示每格样本比例，可将所有次数除以 16。

== 换大格子会改变形状 ==

把横纵边界都改成 <math>0,1.5,3</math>，使用四个边长为 1.5 的格。原先位于 <math>x=1.5</math> 或 <math>y=1.5</math> 的观察，按左闭右开约定落入右侧或上侧新格。四个新计数自下而上是 <math>(4,3)</math> 与 <math>(1,8)</math>。

[[File:Gezhi-stats-bin2d-coarse.svg|frame|center|alt=同十六条记录改用二乘二宽一点五的方格，左下4、右下3、左上1、右上8|右上格现在聚集八条记录；这是组界改变后的合并结果，原始十六对数据没有变化。]]

细格图中最大的单格为左下角 4，粗格图中最大的单格却是右上角 8。两个说法都按各自组界正确计数，不能把不同面积的“最深色”直接当成同一精度的局部峰。比较两个群体时，应采用同一组边界与颜色刻度。若格子长宽不等且要用颜色表示'''密度'''，每格须除以总样本数及面积 <math>\Delta x_j\Delta y_k</math>：
<math display="block">d_{jk}=\frac{n_{jk}}{n\,\Delta x_j\Delta y_k},\qquad
\sum_{j,k}d_{jk}\Delta x_j\Delta y_k=1.</math>
若颜色仍表示次数，面积不等的格也可画，但图注必须明说，否则一个大格容易因为覆盖范围大而收进更多点。

二维分箱能解决点遮盖，却看不到格内关系。若少量点或异常值的位置本身重要，应同时保留[[散点图]]；若要探查平滑的二维密度轮廓，则又需要额外的平滑带宽与假设。此例的 16 条记录只为展示分箱，不支持关于真实人群的推断。

== 参考资料 ==
* [https://ggplot2.tidyverse.org/reference/geom_bin_2d.html ggplot2：二维矩形分箱]，边界、组宽、计数与密度尺度。
* [https://ggplot2.tidyverse.org/reference/geom_hex.html ggplot2：六角分箱]，平面分箱的另一种格子形状。
* 相关：[[散点图]]、[[直方图]]、[[热力图]]、[[统计图形语法]]。

[[分类:概率与统计]]