二维分箱图

二维分箱图（two-dimensional binned plot）把散点图的平面分成小格，数出每格里的成对观测，再用颜色或格内数字表示频数。大量点重合时，它能让“这里有多少次”重新可见；代价是每个点在格内的精确位置被汇总掉。与只有一条数轴的直方图相比，这里同时选择横纵两组边界。

十六对记录只剩八个可见点

考虑 $0\le x<3$、$0\le y<3$ 内的十六条合成记录。它们只取 $0.5,1.5,2.5$ 三种横纵坐标，部分坐标重复：$(0.5,0.5)$ 出现四次，$(1.5,1.5)$ 出现三次，其余位置见下图。普通散点把完全重合的记录画在同一处，画面只有八个可见位置。

点的位置是准确的，但可见点数少于记录数。仅看此图，无法知道左下角其实有四条相同记录。

先把横纵轴都划为 $[0,1),[1,2),[2,3)$。第 $j,k$ 格的计数可写成 $$n_{jk}=\sum _{i=1}^{16}\mathrm{𝟏}\{x_i\in I_j,y_i\in J_k\}.$$ 各格互不重叠、合起来覆盖这批点，所以 $\sum _{j,k}{n}_{jk}=16$。例如左下格 $[0,1)\times [0,1)$ 的计数为 4；右上格 $[2,3)\times [2,3)$ 的计数为 2；左上格为 0。一个颜色块若没有标数，很容易把 0 与“没有数据可用”混同，因此本图同时写出格内次数。

每格为宽一单位的左闭右开矩形，数字是观测次数，颜色仅辅助比较。左上角的 0 是已观测范围内的零次，不是缺测。

沿一列相加可得到横轴的边际频数：三列依次为 $5,6,5$；沿一行相加，三行是 $7,6,3$。这又给出独立的复算办法：$5+6+5=7+6+3=16$。图里颜色深浅是每格次数，不是联合概率；若要表示每格样本比例，可将所有次数除以 16。

换大格子会改变形状

把横纵边界都改成 $0,1.5,3$，使用四个边长为 1.5 的格。原先位于 $x=1.5$ 或 $y=1.5$ 的观察，按左闭右开约定落入右侧或上侧新格。四个新计数自下而上是 $(4,3)$ 与 $(1,8)$。

右上格现在聚集八条记录；这是组界改变后的合并结果，原始十六对数据没有变化。

细格图中最大的单格为左下角 4，粗格图中最大的单格却是右上角 8。两个说法都按各自组界正确计数，不能把不同面积的“最深色”直接当成同一精度的局部峰。比较两个群体时，应采用同一组边界与颜色刻度。若格子长宽不等且要用颜色表示密度，每格须除以总样本数及面积 $\Delta x_j\Delta y_k$： $$d_{jk}=\frac{n_{jk}}{n\Delta x_j\Delta y_k},\sum _{j,k}{d}_{jk}\Delta x_j\Delta y_k=1.$$ 若颜色仍表示次数，面积不等的格也可画，但图注必须明说，否则一个大格容易因为覆盖范围大而收进更多点。

二维分箱能解决点遮盖，却看不到格内关系。若少量点或异常值的位置本身重要，应同时保留散点图；若要探查平滑的二维密度轮廓，则又需要额外的平滑带宽与假设。此例的 16 条记录只为展示分箱，不支持关于真实人群的推断。

参考资料

• ggplot2：二维矩形分箱，边界、组宽、计数与密度尺度。
• ggplot2：六角分箱，平面分箱的另一种格子形状。
• 相关：散点图、直方图、热力图、统计图形语法。