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'''导数运算法则'''把已经会求导的函数组合起来，同时保留每条法则的适用条件。设 <math>u,v</math> 在 <math>x</math> 可导，<math>c</math> 为常数，则 <math>(u+v)'=u'+v'</math>、<math>(cu)'=cu'</math>；积与商的导数不能简单地把两个导数相乘或相除。

== 乘积中有两份一阶变化 ==
令 <math>h</math> 为输入改变量。把乘积增量加减同一项，得到
<math display="block">u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)=[u(x+h)-u(x)]v(x+h)+u(x)[v(x+h)-v(x)].</math>
除以 <math>h</math> 并取极限；可导蕴含连续，所以 <math>v(x+h)\to v(x)</math>，于是
<math display="block">(uv)'=u'v+uv'.</math>
例如矩形边长 <math>u(t)=2+t</math>、<math>v(t)=3+2t</math>，<math>t=0</math> 的面积为 6，瞬时面积变化率为 <math>u'v+uv'=1\cdot3+2\cdot2=7</math>。直接展开面积 <math>6+7t+2t^2</math> 也给出 7。最后的 <math>2t^2</math> 是二阶变化，除以 <math>t</math> 后趋零。

== 商的分母为何平方 ==
若 <math>v(x)\ne0</math>，连续性保证其在附近仍不为零。先由 <math>v\cdot(1/v)=1</math> 求导，得 <math>(1/v)'=-v'/v^2</math>；再用乘积法则得到
<math display="block">\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.</math>
对 <math>r(x)=x/(1+x)</math>，在 <math>x\ne-1</math> 有 <math>r'(x)=1/(1+x)^2</math>。如果错把结果写成 <math>u'/v'=1</math>，既漏掉分母影响，也无法反映靠近 <math>-1</math> 的陡峭变化。

正整数幂的法则 <math>(x^n)'=nx^{n-1}</math> 可由乘积法则归纳得到：假设 <math>(x^n)'=nx^{n-1}</math>，则 <math>(x^{n+1})'=x^n+n x^n=(n+1)x^n</math>。负整数幂再由倒数法则推出，使用范围须排除零点。函数嵌套时还要接上[[链式法则]]，不能只按外层的幂求导。

把几条法则合在一处核算：<math>q(x)=x^2/(1+x)</math>（<math>x\ne-1</math>），由商法则得到 <math>q'(x)=[2x(1+x)-x^2]/(1+x)^2=x(x+2)/(1+x)^2</math>。在 <math>x=0</math> 导数为零；但检查零点附近可见 <math>q(x)\ge0</math>（例如 <math>-1<x<1</math>），所以它在 0 是局部极小。求导公式只提供候选信息，最终判断还需函数值或导数符号，详见[[单调性与极值判别]]。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-3-differentiation-rules OpenStax《Calculus Volume 1》§3.3]：和、积、商、幂的法则。
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-6-the-chain-rule 同书 §3.6]：组合函数的求导。
[[分类:分析]]
[[分类:微积分]]