导数运算法则

导数运算法则把已经会求导的函数组合起来，同时保留每条法则的适用条件。设 $u,v$ 在 $x$ 可导，$c$ 为常数，则 $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$、$(cu{)}^{\prime }=c{u}^{\prime }$；积与商的导数不能简单地把两个导数相乘或相除。

乘积中有两份一阶变化

令 $h$ 为输入改变量，记 $\Delta (uv)=u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)$。把乘积增量加减同一项，分成“先改变 $u$”与“再改变 $v$”两份： $$\begin{array}{cc}\Delta (uv)& =[u(x+h)-u(x)]v(x+h)\\ & +u(x)[v(x+h)-v(x)].\end{array}$$ 除以 $h$ 并取极限；可导蕴含连续，所以 $v(x+h)\to v(x)$，于是 $$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }.$$ 例如矩形边长 $u(t)=2+t$、$v(t)=3+2t$，$t=0$ 的面积为 6，瞬时面积变化率为 $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }=1\cdot 3+2\cdot 2=7$。直接展开面积 $6+7t+2t^2$ 也给出 7。最后的 $2t^2$ 是二阶变化，除以 $t$ 后趋零。

商的分母为何平方

若 $v(x)\ne 0$，连续性保证其在附近仍不为零。先由 $v\cdot (1/v)=1$ 求导，得 $(1/v{)}^{\prime }=-v^{\prime }/v^2$；再用乘积法则得到 $$\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}.$$ 对 $r(x)=x/(1+x)$，在 $x\ne -1$ 有 $r^{\prime }(x)=1/(1+x{)}^2$。如果错把结果写成 $u^{\prime }/v^{\prime }=1$，既漏掉分母影响，也无法反映靠近 $-1$ 的陡峭变化。

正整数幂的法则 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ 可由乘积法则归纳得到：假设 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$，则 $(x^{n+1}{)}^{\prime }=x^n+n{x}^n=(n+1)x^n$。负整数幂再由倒数法则推出，使用范围须排除零点。函数嵌套时还要接上链式法则，不能只按外层的幂求导。

把几条法则合在一处核算。令 $q(x)=x^2/(1+x)$（$x\ne -1$），由商法则得到 $$\begin{array}{cc}{q}^{\prime }(x)& =\frac{2x(1+x)-x^2}{(1+x{)}^2}\\ & =\frac{x(x+2)}{(1+x{)}^2}.\end{array}$$ 在 $x=0$ 导数为零；但检查零点附近可见 $q(x)\ge 0$（例如 $-1<x<1$），所以它在 0 是局部极小。求导公式只提供候选信息，最终判断还需函数值或导数符号，详见单调性与极值判别。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§3.3：和、积、商、幂的法则。
• 同书 §3.6：组合函数的求导。