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'''二项式定理'''展开两个可交换量的整数次幂：
<math display="block">(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk x^{n-k}y^k,\qquad n\in\mathbb N_0.</math>
系数 <math>\binom nk</math> 表示从 <math>n</math> 个位置中选 <math>k</math> 个的位置数。这里 <math>x,y</math> 可以是实数、复数或可交换的代数元素；若乘法不交换，不能不加修改地套用同一展开式。

== 系数从选择位置得到 ==
把 <math>(x+y)^n</math> 看成 <math>n</math> 个括号相乘。要得到 <math>x^{n-k}y^k</math>，恰需从其中 <math>k</math> 个括号取 <math>y</math>，其余取 <math>x</math>。每种选择都贡献同一个单项式，因此其系数为 <math>\binom nk</math>。例如
<math display="block">(1+t)^4=1+4t+6t^2+4t^3+t^4.</math>
中间的 6 是从四个括号中选两个取 <math>t</math> 的方案数，不是碰巧的数列。

== 两种快速核对 ==
令 <math>x=y=1</math>，得到 <math>\sum_{k=0}^n\binom nk=2^n</math>：左边按选中元素数量分组统计所有子集，右边按每个元素收或不收统计。令 <math>x=1,y=-1</math> 且 <math>n\ge1</math>，得到交替和 <math>\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk=0</math>。这些代入可检验一行系数是否漏项，却不替代上面的组合证明。

== 参考资料 ==
* [https://ocw.mit.edu/courses/6-042j-mathematics-for-computer-science-spring-2015/mit6_042js15_textbook.pdf MIT，Mathematics for Computer Science，Binomial Theorem 章节]。
* [https://ocw.mit.edu/courses/6-042j-mathematics-for-computer-science-fall-2010/93cad640cf3ed0b23ef70688f452d4d5_MIT6_042JF10_notes.pdf MIT 6.042J Fall 2010，Mathematics for Computer Science 课程讲义]。
* 继续阅读：[[组合数学]]、[[帕斯卡恒等式]]、[[幂集]]。
[[分类:离散数学]]
[[分类:代数]]