二项式定理

二项式定理展开两个可交换量的整数次幂： $(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k}, n \in ℕ_{0} .$ 系数 $(\binom{n}{k})$ 表示从 $n$ 个位置中选 $k$ 个的位置数。这里 $x, y$ 可以是实数、复数或可交换的代数元素；若乘法不交换，不能不加修改地套用同一展开式。

系数从选择位置得到

把 $(x + y)^{n}$ 看成 $n$ 个括号相乘。要得到 $x^{n - k} y^{k}$ ，恰需从其中 $k$ 个括号取 $y$ ，其余取 $x$ 。每种选择都贡献同一个单项式，因此其系数为 $(\binom{n}{k})$ 。例如 $(1 + t)^{4} = 1 + 4 t + 6 t^{2} + 4 t^{3} + t^{4} .$ 中间的 6 是从四个括号中选两个取 $t$ 的方案数，不是碰巧的数列。

通常把含 $y^{k}$ 的一项写为 $T_{k + 1} = (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k}$ ，它是从 $k = 0$ 开始数的第 $k + 1$ 项。例如 $(x + y)^{5}$ 中含 $x^{3} y^{2}$ 的项是第三项，系数 $(\binom{5}{2}) = 10$ 。项的序号与 $y$ 的指数差 1，做指定项问题时宜先对照两者。

系数的对称、峰值与递推

第 $k$ 个系数与第 $n - k$ 个系数相等，因为选中 $k$ 个位置等价于留下 $n - k$ 个位置。相邻系数的比为 $\frac{(\binom{n}{k + 1})}{(\binom{n}{k})} = \frac{n - k}{k + 1} (0 \leq k < n) .$ 当 $n - k > k + 1$ 时系数继续增大，反向时开始减小。因此 $n$ 为偶数时中间的 $(\binom{n}{n / 2})$ 唯一最大； $n$ 为奇数时中央两项相等且最大。例 $n = 5$ 时系数为 $1, 5, 10, 10, 5, 1$ 。

把最后一个括号单独写成 $(x + y)^{n} = (x + y) (x + y)^{n - 1}$ 。新的 $x^{n - k} y^{k}$ 可以从上一行的 $x \cdot x^{n - k - 1} y^{k}$ 来，也可以从 $y \cdot x^{n - k} y^{k - 1}$ 来，所以 $(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1}) (1 \leq k \leq n - 1) .$ 这正是杨辉三角中“上方相邻两数相加”的规则。它也能直接按“一个指定对象是否被选中”证明；两种证明分别从代数展开与组合分类出发。

两种快速核对

令 $x = y = 1$ ，得到 $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}$ ：左边按选中元素数量分组统计所有子集，右边按每个元素收或不收统计。令 $x = 1, y = - 1$ 且 $n \geq 1$ ，得到交替和 $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) = 0$ 。这些代入可检验一行系数是否漏项，却不替代上面的组合证明。

将普通和与交替和相加、相减，得到偶数下标系数之和、奇数下标系数之和都等于 $2^{n - 1}$ （ $n \geq 1$ ）。若 $n = 0$ ，唯一的系数是 1，不能把两类说成各占一半。

参考资料

MIT，Mathematics for Computer Science，Binomial Theorem 章节。
MIT 6.042J Fall 2010，Mathematics for Computer Science 课程讲义。
继续阅读：组合数学、帕斯卡恒等式、幂集。