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微积分研究从局部变化率推回整体变化、从小块贡献得到累积量的规律。本分类先沿一元函数的极限与连续性学习，再读导数、中值定理和积分，最后进入多元函数。每篇从一个具体例子展开，同时写明定理的条件；证明与图解在相应词条中。

== 入门与连续 ==
* [[极限]]：用误差说明“趋近”。
* [[上确界原理]]：有界集合的最小上界与实数完备性。
* [[函数的连续性]]：点值与附近极限何时相合。
* [[介值定理]]：连续曲线如何保证取到中间高度。
* [[闭区间连续函数的最值定理]]：连续函数在闭区间内取得上下界。
* [[一致连续性]]：能否用同一尺度控制整段函数。

== 导数与中值定理 ==
* [[导数]]、[[可导与连续]]：差商极限与两个条件的关系。
* [[导数运算法则]]、[[链式法则]]、[[隐函数求导]]：从定义走向组合函数和隐式曲线。
* [[罗尔定理]] → [[拉格朗日中值定理]] → [[柯西中值定理]]：依次比较等高端点、函数的区间斜率和两个函数的变化。
* [[洛必达法则]]：用中值定理处理满足条件的未定式。
* [[单调性与极值判别]]、[[泰勒定理]]：用导数符号判断形状，用余项控制局部近似。

== 积分与累积 ==
* [[积分]]、[[黎曼和与可积性]]：先定义和式极限，再检查何时存在。
* [[微积分基本定理]]：累计函数求导与原函数端点差。
* [[积分换元法]]、[[分部积分法]]：分别把链式法则与乘积法则反向使用。
* [[反常积分]]：无限区间和奇异端点须先截断再求极限。

== 多元微积分 ==
* [[偏导数]]、[[方向导数与梯度]]：比较坐标方向与任意单位方向的局部变化。
* [[二重积分]]：在平面区域求和，并通过画区域交换积分次序。

== 数列与无穷过程 ==
* [[数列的极限]]：从“所有足够靠后的项”定义收敛，并用单调有界定理判断存在性。
* [[博尔扎诺—魏尔斯特拉斯定理]]：从有界序列中选出收敛子列。
* [[柯西收敛准则]]：不先猜极限，通过尾部两两接近判断收敛。
* [[无穷级数]]：把部分和当作数列，推导等比级数并辨认项趋零为何不充分。
* [[幂级数]]：先确定收敛半径，再在区间内部逐项求导、积分；与[[泰勒定理]]的有限阶余项区分。

== 无穷级数的判别与运算 ==
* [[交错级数]]
* [[正项级数比较判别法]]
* [[比值判别法]]
* [[根值判别法]]
* [[积分判别法]]
* [[绝对收敛与条件收敛]]
* [[柯西乘积]]
* [[级数重排]]
* [[傅里叶级数]]
* [[函数项级数]]

总览见[[微积分]]；需要复习函数、符号和基础证明，可沿[[学习路径]]回到[[函数]]与[[逻辑]]。图中的教学数据与函数由本站独立选取，完整条件和推导以词条正文为准。

[[分类:数学]]