分类:微积分
Calculus
微积分研究从局部变化率推回整体变化、从小块贡献得到累积量的规律。可先用数列的极限练习“所有足够靠后的项”，再用函数的极限和函数的连续性控制输入、输出误差；随后读导数、中值定理与积分，最后进入多元函数。每篇从一个具体例子展开，同时写明定理的条件；证明与图解在相应词条中。
入门与连续
- 极限：用误差说明“趋近”。
- 上确界原理：有界集合的最小上界与实数完备性。
- 函数的连续性：点值与附近极限何时相合。
- 介值定理：连续曲线如何保证取到中间高度。
- 闭区间连续函数的最值定理：连续函数在闭区间内取得上下界。
- 一致连续性：能否用同一尺度控制整段函数。
导数与中值定理
- 导数、可导与连续：差商极限与两个条件的关系。
- 微分：切线给出的线性主项、实际增量与近似余量。
- 导数运算法则、链式法则、隐函数求导：从定义走向组合函数和隐式曲线。
- 罗尔定理 → 拉格朗日中值定理 → 柯西中值定理：依次比较等高端点、函数的区间斜率和两个函数的变化。
- 洛必达法则：用中值定理处理满足条件的未定式。
- 单调性与极值判别、泰勒定理：用导数符号判断形状，用余项控制局部近似。
积分与累积
- 积分、黎曼和与可积性：先定义和式极限，再检查何时存在。
- 微积分基本定理：累计函数求导与原函数端点差。
- 定积分的应用：分别从曲线间高度、带符号速度和立体截面积建立积分。
- 积分换元法、分部积分法：分别把链式法则与乘积法则反向使用。
- 反常积分：无限区间和奇异端点须先截断再求极限。
多元微积分
- 二元函数：从定义域、截线和等值线认识两个输入。
- 二元函数的极限与连续性：用路径反例与整片圆盘的误差界核对极限。
- 偏导数、方向导数与梯度：比较坐标方向与任意单位方向的局部变化。
- 多元函数的极值：把驻点、Hessian 与边界候选分开检查。
- 二重积分：在平面区域求和，并通过画区域交换积分次序。
数列与无穷过程
- 数列的极限：从“所有足够靠后的项”定义收敛，并用单调有界定理判断存在性。
- 博尔扎诺—魏尔斯特拉斯定理：从有界序列中选出收敛子列。
- 柯西收敛准则：不先猜极限，通过尾部两两接近判断收敛。
- 无穷级数：把部分和当作数列，推导等比级数并辨认项趋零为何不充分。
- 幂级数：先确定收敛半径，再在区间内部逐项求导、积分；与泰勒定理的有限阶余项区分。
无穷级数的判别与运算
总览见微积分；需要复习函数、符号和基础证明，可沿学习路径回到函数与逻辑。图中的教学数据与函数由本站独立选取，完整条件和推导以词条正文为准。
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