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'''拓扑空间'''（topological space）是一个集合连同一套开集。开集规定怎样观察一个点附近的区域，由此可以讨论连续、收敛和空间是否连成一块，而不必先给每对点指定距离。

== 怎样判断一个点在集合内部 ==
在实数线上取区间 <math>A=(0,1)</math>。站在其中的点 <math>x=0.4</math>，可以向左右各留出一小段，例如 <math>(0.3,0.5)</math>，这整段仍留在 <math>A</math> 内。对 <math>A</math> 的每个点都能这样做；越靠近端点，所取小段越窄即可。这样的集合称为开集。

将左端点加入，得到 <math>B=[0,1)</math>，情况改变了。零虽然属于 <math>B</math>，但任何围住零的小开区间都会包含负数，因此不能完整地留在 <math>B</math> 内。<math>B</math> 在通常实数线上不是开集。

开集也可以分成几块。例如 <math>(0,1)\cup(2,3)</math> 的每个点，都能在自己所在的区间内找到小邻域，所以它仍开。“每一点附近有活动余地”是局部条件，并不要求整块集合连在一起。

若把尺子的单位缩小一百倍，同一段距离的数字变大，但上面哪些集合开，并不改变。拓扑保留这种邻近关系，把具体的距离数值放在一边。

== 把开区间的规律提取出来 ==
实数线上的开集有三条基本规律。

# 空集与整个实数线都开。空集里没有需要检查的点，整个实数线则给任何点都留有邻域。
# 任意多个开集的并仍开。并集中的点至少落在其中一个开集里，直接使用那个开集提供的小区间即可。
# 有限多个开集的交仍开。若点同时属于两个开集，它们分别给出半径 <math>r,s>0</math> 的小区间。取较小半径 <math>\min(r,s)</math>，小区间便同时落在两者内部。有限多个集合时也可以取有限个正半径的最小值。

第三条不能一般地改成无限交。例如每个 <math>U_n=(-1/n,1/n)</math> 都开，但
<math display="block">\bigcap_{n=1}^{\infty}U_n=\{0\}.</math>
零留在每个区间内，任何非零点却总会被足够窄的区间排除。最终只剩一个点，没有正半径的小区间可以放进去。

现在可以给出一般定义。对集合 <math>X</math>，指定一族子集 <math>\mathcal T</math>，使它包含 <math>\varnothing,X</math>，对任意并封闭、对有限交封闭，就称 <math>\mathcal T</math> 是 <math>X</math> 上的'''拓扑'''；其中的成员叫开集，<math>(X,\mathcal T)</math> 叫拓扑空间。实数上的小区间只是这种结构的一种来源。[https://www.math.ucla.edu/~sharifi/notes/topology-ch01.html Sharifi：Topological spaces]

== 只有三个点，怎样规定邻近 ==
取 <math>X=\{a,b,c\}</math>，把开集规定为
<math display="block">\mathcal T=\{\varnothing,\{a\},\{a,b\},X\}.</math>
先检查这确实满足定义。四个集合按包含关系排成一条链。任取一些作并，结果是其中最大的一个；取有限多个作交，结果是其中最小的一个，仍在列表里。空并是空集，空交是全集，也都已列出。

在这个空间里，观察 <math>a</math> 时可以只看 <math>\{a\}</math>；观察 <math>b</math> 时，最小的开区域是 <math>\{a,b\}</math>；观察 <math>c</math> 时，唯一的开区域是整个 <math>X</math>。拓扑就是这份“允许怎样观察附近”的资料，不需要再虚构三点之间的长度。

如果把列表改成 <math>\{\varnothing,\{a\},\{b\},X\}</math>，它就不是拓扑：<math>\{a\}</math> 与 <math>\{b\}</math> 的并 <math>\{a,b\}</math> 被漏掉了。要保留这两个开集，至少还要把它们的并加进来。

还可以把 <math>X</math> 的每个子集都规定为开集，得到'''离散拓扑'''；或只规定空集和全集开，得到'''平凡拓扑'''。三种拓扑用的是同样三个点，邻近结构却不同。因此讨论连续性时，点的名单之外还要说明拓扑。

== 闭集、内部与闭包 ==
开集的补集称为'''闭集'''。在三个点的例子中，逐一取补集，得到闭集列表
<math display="block">X,\quad\{b,c\},\quad\{c\},\quad\varnothing.</math>
例如 <math>\{a\}</math> 开而不闭，<math>\{c\}</math> 闭而不开；空集和全集则既开又闭。“开”与“闭”不是互相排斥的两类。

集合 <math>A</math> 的'''内部'''由那些能在 <math>A</math> 中找到完整开邻域的点组成；记作 <math>\operatorname{int}A</math>，也就是所有包含于 <math>A</math> 的开集之并。'''闭包''' <math>\overline A</math> 则把所有无法用开邻域与 <math>A</math> 分开的点也包括进来：点的每个开邻域都碰到 <math>A</math>，它便在闭包里。

回到实数集合 <math>[0,1)</math>。内部是 <math>(0,1)</math>；闭包是 <math>[0,1]</math>，因为一点点跨过一的邻域总能碰到原集合。边界是闭包去掉内部，得到 <math>\{0,1\}</math>。零在集合里，一不在集合里，但两者都是边界点。

再对三点空间中的 <math>A=\{b\}</math> 做同一检查：

* 没有非空开集包含在 <math>\{b\}</math> 中，所以内部为空。
* <math>a</math> 的开邻域 <math>\{a\}</math> 完全避开 <math>A</math>，所以 <math>a</math> 不在闭包。
* <math>b</math> 的任何邻域包含它自身，当然碰到 <math>A</math>。
* <math>c</math> 的唯一开邻域是 <math>X</math>，它也碰到 <math>A</math>。

所以 <math>\overline A=\{b,c\}</math>，边界也是 <math>\{b,c\}</math>。这个有限计算展示了闭包怎样由开集确定。

== 从距离得到开集 ==
若空间有距离 <math>d</math>，以 <math>x</math> 为中心、半径 <math>r>0</math> 的开球是
<math display="block">B(x,r)=\{y:d(x,y)<r\}.</math>
规定一个集合开，当且仅当其中每个点都有完全包含在该集合内的开球，就得到度量产生的拓扑。前面的实数小区间就是一维开球。

两个不同点若相距 <math>D>0</math>，分别以小于 <math>D/3</math> 的半径作开球，两球不会相交。否则在共同点绕行，三角不等式会给出两点距离小于 <math>2D/3</math>，与距离为 <math>D</math> 矛盾。因此度量总能把不同点放在不相交的开邻域中。

三点拓扑没有这个性质：任何含 <math>c</math> 的开邻域都是全集，必然碰到 <math>b</math> 的邻域。所以它不可能来自某个距离。这说明用开集定义空间确实比用距离定义空间更一般。具有上述可分离性质的空间称为'''豪斯多夫空间'''，通常欧氏空间、圆周与环面都满足它。

== 换一个观察范围：子空间 ==
只研究 <math>X</math> 的一部分 <math>A</math> 时，可用原开集与 <math>A</math> 的交作为新的开集：
<math display="block">\mathcal T_A=\{U\cap A:U\in\mathcal T\}.</math>
这称为子空间拓扑。它允许邻域越过 <math>A</math> 的边界后再截回 <math>A</math> 内。

例如取 <math>A=[0,1]</math>。集合 <math>[0,1/2)</math> 等于 <math>(-1,1/2)\cap A</math>，所以在 <math>A</math> 中开。它在整条实数线上不开，因为零的左侧仍有实数点；在子空间中，左侧那些点已不属于所研究的空间。判断开闭时说清环境，便能解释这两个不同答案。

另一种构造是把点识别起来。把闭区间两端当成同一点，可以得到圆；把正方形的两对相对边按对应方向识别，可以得到[[环面]]。设 <math>q</math> 把原来的点送到识别后的点，规定新空间中的集合开，当且仅当它的逆像在原空间开。这叫商拓扑，它让接缝两侧的邻域真正接到一起。

== 用小块描述整个拓扑 ==
实数线上的每个开集都是开区间的并，因此不必逐一列出全部开集：给出开区间这种基本小块就够了。这些小块称为一组'''拓扑基'''。它们要覆盖整个空间；两个基本小块交叠时，在每个交点附近还应能放进一个更小的基本小块，完全落在交集中。

平面中的开圆盘和开矩形都能用作基。一个矩形内部的点，可以被足够小的圆盘包住；一个圆盘内部的点，也可被足够小的矩形包住。两种小块相互细化，产生同样的开集。因此小块的外形不同，并不意味着拓扑不同。

== 用这套结构讨论连续与连接 ==
映射 <math>f:X\to Y</math> 连续，是指 <math>Y</math> 中每个开集的逆像在 <math>X</math> 中开。以三个点的拓扑为定义域，令输出只有零、一，且输出开集为 <math>\varnothing,\{1\},\{0,1\}</math>。若只把 <math>a</math> 映成一，逆像 <math>\{a\}</math> 开，映射连续；若只把 <math>b</math> 映成一，逆像 <math>\{b\}</math> 不开，映射便不连续。详细的局部解释见[[连续映射]]。

开集还可以描述整体性质。若空间不能拆成两个不相交、非空的开部分，就称为连通。若每一个开覆盖都能从中选有限个仍覆盖全空间，就称为紧致。闭区间兼有这两种性质；两个分离闭区间的并紧致却不连通；整条实数线连通却不紧致。这两个概念分别通向连续函数的中间值性质与最大最小值性质。

== 历史 ==
拓扑学的来源包括几何位置关系、曲面研究和分析中的极限与连续性。十九世纪后期的点集研究，逐渐发展为对度量、邻域及抽象空间的公理化。豪斯多夫 1914 年的《集合论纲要》是其中的重要节点；现代开集语言使这些不同来源的邻近问题能够在统一框架中讨论。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics/ MacTutor：A history of Topology]

== 参考资料与知识联系 ==
* Romyar Sharifi，[https://www.math.ucla.edu/~sharifi/notes/topology-ch01.html Point-Set Topology，第 1 章 Topological spaces]，UCLA。可参阅定义及标准术语。
* University of Toronto，[https://www.math.toronto.edu/laithy/3272023/index.html MAT327: Introduction to Topology，2023 年课程资料]，主题包括度量、子空间、乘积与商拓扑。
* MacTutor，University of St Andrews，[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics/ A history of Topology]，历史背景。
* 前置：[[集合]]、[[函数]]；后续：[[连续映射]]、[[环面]]；关联：[[极限]]、[[欧氏几何]]。
[[分类:拓扑]]