拓扑空间

拓扑空间（topological space）是一个集合连同一套开集。开集规定怎样观察一个点附近的区域，由此可以讨论连续、收敛和空间是否连成一块，而不必先给每对点指定距离。

怎样判断一个点在集合内部

在实数线上取区间 $A = (0, 1)$ 。站在其中的点 $x = 0.4$ ，可以向左右各留出一小段，例如 $(0.3, 0.5)$ ，这整段仍留在 $A$ 内。对 $A$ 的每个点都能这样做；越靠近端点，所取小段越窄即可。这样的集合称为开集。

将左端点加入，得到 $B = [0, 1)$ ，情况改变了。零虽然属于 $B$ ，但任何围住零的小开区间都会包含负数，因此不能完整地留在 $B$ 内。 $B$ 在通常实数线上不是开集。

上下两条实数轴比较开区间与半开区间。上图零和一均为空心端点，零点四附近的零点三到零点五完全留在区间内；下图零为实心端点，但围绕零的邻域伸到负数一侧。 — 内点可以找到留在集合内的小邻域；把端点包含进来，并不会让它自动成为内点。空心圆表示端点不属于所画区间，实心圆表示属于。

图中上半部的虚线把小区间 $(0.3, 0.5)$ 对齐到原数轴，两端都落在零与一之间。下半部画的是 $r = 0.1$ 时的邻域 $(- 0.1, 0.1)$ ，红色部分已经越出 $B$ 。这里只画一个半径还不足以证明所有半径都失败；一般地，无论给出哪个 $r > 0$ ，负数 $- r / 2$ 都属于 $(- r, r)$ ，却不属于 $[0, 1)$ 。所以缩小半径始终不能解决零点左侧的问题。

开集也可以分成几块。例如 $(0, 1) \cup (2, 3)$ 的每个点，都能在自己所在的区间内找到小邻域，所以它仍开。“每一点附近有活动余地”是局部条件，并不要求整块集合连在一起。

若把尺子的单位缩小一百倍，同一段距离的数字变大，但上面哪些集合开，并不改变。拓扑保留这种邻近关系，把具体的距离数值放在一边。

把开区间的规律提取出来

实数线上的开集有三条基本规律。

空集与整个实数线都开。空集里没有需要检查的点，整个实数线则给任何点都留有邻域。
任意多个开集的并仍开。并集中的点至少落在其中一个开集里，直接使用那个开集提供的小区间即可。
有限多个开集的交仍开。若点同时属于两个开集，它们分别给出半径 $r, s > 0$ 的小区间。取较小半径 $min (r, s)$ ，小区间便同时落在两者内部。有限多个集合时也可以取有限个正半径的最小值。

第三条不能一般地改成无限交。例如每个 $U_{n} = (- 1 / n, 1 / n)$ 都开，但 $⋂_{n = 1}^{\infty} U_{n} = {0} .$ 零留在每个区间内，任何非零点却总会被足够窄的区间排除。最终只剩一个点，没有正半径的小区间可以放进去。

现在可以给出一般定义。对集合 $X$ ，指定一族子集 $𝒯$ ，使它包含 $\emptyset, X$ ，对任意并封闭、对有限交封闭，就称 $𝒯$ 是 $X$ 上的拓扑；其中的成员叫开集， $(X, 𝒯)$ 叫拓扑空间。实数上的小区间只是这种结构的一种来源。Sharifi：Topological spaces

只有三个点，怎样规定邻近

取 $X = {a, b, c}$ ，把开集规定为 $𝒯 = {\emptyset, {a}, {a, b}, X} .$ 先检查这确实满足定义。四个集合按包含关系排成一条链。任取一些作并，结果是其中最大的一个；取有限多个作交，结果是其中最小的一个，仍在列表里。空并是空集，空交是全集，也都已列出。

在这个空间里，观察 $a$ 时可以只看 ${a}$ ；观察 $b$ 时，最小的开区域是 ${a, b}$ ；观察 $c$ 时，唯一的开区域是整个 $X$ 。拓扑就是这份“允许怎样观察附近”的资料，不需要再虚构三点之间的长度。

如果把列表改成 ${\emptyset, {a}, {b}, X}$ ，它就不是拓扑： ${a}$ 与 ${b}$ 的并 ${a, b}$ 被漏掉了。要保留这两个开集，至少还要把它们的并加进来。

还可以把 $X$ 的每个子集都规定为开集，得到离散拓扑；或只规定空集和全集开，得到平凡拓扑。三种拓扑用的是同样三个点，邻近结构却不同。因此讨论连续性时，点的名单之外还要说明拓扑。

闭集、内部与闭包

开集的补集称为闭集。在三个点的例子中，逐一取补集，得到闭集列表 $X, {b, c}, {c}, \emptyset .$ 例如 ${a}$ 开而不闭， ${c}$ 闭而不开；空集和全集则既开又闭。“开”与“闭”不是互相排斥的两类。

集合 $A$ 的内部由那些能在 $A$ 中找到完整开邻域的点组成；记作 $int A$ ，也就是所有包含于 $A$ 的开集之并。闭包 $\overline{A}$ 则把所有无法用开邻域与 $A$ 分开的点也包括进来：点的每个开邻域都碰到 $A$ ，它便在闭包里。

回到实数集合 $[0, 1)$ 。内部是 $(0, 1)$ ；闭包是 $[0, 1]$ ，因为一点点跨过一的邻域总能碰到原集合。边界是闭包去掉内部，得到 ${0, 1}$ 。零在集合里，一不在集合里，但两者都是边界点。

再对三点空间中的 $A = {b}$ 做同一检查：

没有非空开集包含在 ${b}$ 中，所以内部为空。
$a$ 的开邻域 ${a}$ 完全避开 $A$ ，所以 $a$ 不在闭包。
$b$ 的任何邻域包含它自身，当然碰到 $A$ 。
$c$ 的唯一开邻域是 $X$ ，它也碰到 $A$ 。

所以 $\overline{A} = {b, c}$ ，边界也是 ${b, c}$ 。这个有限计算展示了闭包怎样由开集确定。

从距离得到开集

若空间有距离 $d$ ，以 $x$ 为中心、半径 $r > 0$ 的开球是 $B (x, r) = {y : d (x, y) < r} .$ 规定一个集合开，当且仅当其中每个点都有完全包含在该集合内的开球，就得到度量产生的拓扑。前面的实数小区间就是一维开球。

两个不同点若相距 $D > 0$ ，分别以小于 $D / 3$ 的半径作开球，两球不会相交。否则在共同点绕行，三角不等式会给出两点距离小于 $2 D / 3$ ，与距离为 $D$ 矛盾。因此度量总能把不同点放在不相交的开邻域中。

三点拓扑没有这个性质：任何含 $c$ 的开邻域都是全集，必然碰到 $b$ 的邻域。所以它不可能来自某个距离。这说明用开集定义空间确实比用距离定义空间更一般。具有上述可分离性质的空间称为豪斯多夫空间，通常欧氏空间、圆周与环面都满足它。

换一个观察范围：子空间

只研究 $X$ 的一部分 $A$ 时，可用原开集与 $A$ 的交作为新的开集： $𝒯_{A} = {U \cap A : U \in 𝒯} .$ 这称为子空间拓扑。它允许邻域越过 $A$ 的边界后再截回 $A$ 内。

例如取 $A = [0, 1]$ 。集合 $[0, 1 / 2)$ 等于 $(- 1, 1 / 2) \cap A$ ，所以在 $A$ 中开。它在整条实数线上不开，因为零的左侧仍有实数点；在子空间中，左侧那些点已不属于所研究的空间。判断开闭时说清环境，便能解释这两个不同答案。

三条数轴按同一刻度对齐。第一行是实数线上的开区间负一到二分之一，两个端点空心；第二行是子空间零到一，两个端点实心；第三行是两者的交，零实心、二分之一空心，表示零到二分之一的半开区间。 — 取交集得到 $C = U \cap A = [0, 1 / 2)$ 。同一个 $C$ 在子空间 $A$ 中开，在 $ℝ$ 中不开。

沿图中的竖虚线看：零同时属于 $U = (- 1, 1 / 2)$ 与 $A$ ，所以交集中保留实心端点零； $1 / 2$ 不属于 $U$ ，所以交集在这里仍为空心端点。负数虽然在第一行出现，却被第二行的 $A$ 截掉了。若具体检查零点，可以取实数线中的邻域 $(- 1 / 4, 1 / 4)$ ，截回子空间后得到 $[0, 1 / 4)$ ，它完全包含于 $C$ 。这时邻域只需要在所研究的空间 $A$ 内提供活动余地，不必把空间外的负数也包含进来。

另一种构造是把点识别起来。把闭区间两端当成同一点，可以得到圆；把正方形的两对相对边按对应方向识别，可以得到环面。设 $q$ 把原来的点送到识别后的点，规定新空间中的集合开，当且仅当它的逆像在原空间开。这叫商拓扑，它让接缝两侧的邻域真正接到一起。

用小块描述整个拓扑

实数线上的每个开集都是开区间的并，因此不必逐一列出全部开集：给出开区间这种基本小块就够了。这些小块称为一组拓扑基。它们要覆盖整个空间；两个基本小块交叠时，在每个交点附近还应能放进一个更小的基本小块，完全落在交集中。

平面中的开圆盘和开矩形都能用作基。一个矩形内部的点，可以被足够小的圆盘包住；一个圆盘内部的点，也可被足够小的矩形包住。两种小块相互细化，产生同样的开集。因此小块的外形不同，并不意味着拓扑不同。

用这套结构讨论连续与连接

映射 $f : X \to Y$ 连续，是指 $Y$ 中每个开集的逆像在 $X$ 中开。以三个点的拓扑为定义域，令输出只有零、一，且输出开集为 $\emptyset, {1}, {0, 1}$ 。若只把 $a$ 映成一，逆像 ${a}$ 开，映射连续；若只把 $b$ 映成一，逆像 ${b}$ 不开，映射便不连续。详细的局部解释见连续映射。

开集还可以描述整体性质。若空间不能拆成两个不相交、非空的开部分，就称为连通。若每一个开覆盖都能从中选有限个仍覆盖全空间，就称为紧致。闭区间兼有这两种性质；两个分离闭区间的并紧致却不连通；整条实数线连通却不紧致。这两个概念分别通向连续函数的中间值性质与最大最小值性质。

历史

拓扑学的来源包括几何位置关系、曲面研究和分析中的极限与连续性。十九世纪后期的点集研究，逐渐发展为对度量、邻域及抽象空间的公理化。豪斯多夫 1914 年的《集合论纲要》是其中的重要节点；现代开集语言使这些不同来源的邻近问题能够在统一框架中讨论。MacTutor：A history of Topology

参考资料与知识联系

Romyar Sharifi，Point-Set Topology，第 1 章 Topological spaces，UCLA。可参阅定义及标准术语。
University of Toronto，MAT327: Introduction to Topology，2023 年课程资料，主题包括度量、子空间、乘积与商拓扑。
MacTutor，University of St Andrews，A history of Topology，历史背景。
前置：集合、函数；后续：连续映射、环面；关联：极限、欧氏几何。