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极限描述变量趋近某个位置或无穷远时，函数值或数列项所趋近的确定数值。它关心的是'''趋近过程中的行为'''，不要求函数在目标点有定义，也不要求在那里取到极限值。[[导数]]和[[积分]]都建立在极限之上。

== 趋近一个点的含义 ==
对实函数 <math>f</math>，设 <math>a</math> 是定义域的聚点。写作
<math display="block">\lim_{x\to a}f(x)=L</math>
表示：对任意 <math>\varepsilon>0</math>，存在 <math>\delta>0</math>，使定义域内所有满足 <math>0<|x-a|<\delta</math> 的 <math>x</math> 都满足 <math>|f(x)-L|<\varepsilon</math>。

<math>\varepsilon</math> 是允许的输出误差，<math>\delta</math> 是足以控制误差的输入范围。选择 <math>\delta</math> 可以依赖 <math>\varepsilon</math>，但不能对范围内的每个 <math>x</math> 临时更改。“对任意误差都能做到”比“图像看起来接近”更强。

[[File:Gezhi-limit-band.svg|frame|center|alt=函数x平方在x等于2附近的图像，输入区间对应的函数值落入以4为中心的误差带|误差带示意：缩小横轴上的输入范围，可以把函数值限制在目标值附近。图中具体区间只是一次选择，定义要求任意正误差都可控制。]]

== 一次完整的误差估计 ==
证明 <math>\lim_{x\to2}x^2=4</math>。先令 <math>|x-2|<1</math>，于是 <math>1<x<3</math>，从而 <math>|x+2|<5</math>。于是
<math display="block">|x^2-4|=|x-2||x+2|<5|x-2|.</math>
对任意 <math>\varepsilon>0</math>，取 <math>\delta=\min\{1,\varepsilon/5\}</math>，就能保证 <math>0<|x-2|<\delta</math> 时误差小于 <math>\varepsilon</math>。先限制一个较大邻域，再给误差一个上界，是常用证明方法。

== 函数值、左右极限与连续 ==
函数
<math display="block">f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\quad(x\ne1)</math>
在 <math>x=1</math> 无定义，但在其他点等于 <math>x+1</math>，所以其极限为 2。补定义 <math>f(1)=2</math> 可以得到连续函数；补成 7 不改变极限，却仍然不连续。

在左右两侧都有定义的通常情形下，双侧极限存在当且仅当左极限和右极限存在且相等。例如 <math>f(x)=|x|/x</math> 在 0 左侧为 −1，右侧为 1，因而在 0 没有双侧极限。连续则进一步要求 <math>f(a)</math> 存在并等于该极限。

== 数列与无穷远 ==
数列极限 <math>a_n\to L</math> 的定义是：对任意 <math>\varepsilon>0</math>，存在正整数 <math>N</math>，使所有 <math>n\ge N</math> 都有 <math>|a_n-L|<\varepsilon</math>。例如 <math>a_n=1/n</math>，选 <math>N>1/\varepsilon</math> 即可。

无界增大的数列可以记为趋于 <math>+\infty</math>，但这不是收敛到某个实数。例如 <math>n</math> 趋于正无穷，而 <math>(-1)^n</math> 既不收敛，也不趋于正负无穷。

== 计算规则与常见陷阱 ==
有限极限满足和、差、积的运算法则；商的法则还要求分母极限不为零。出现 <math>0/0</math> 不是答案，而是这些规则不能直接决定结果的信号：<math>x/x\to1</math>，<math>x^2/x\to0</math>，而 <math>x/x^2</math> 在 0 没有有限双侧极限。

夹逼定理提供另一种方法。由 <math>|\sin(1/x)|\le1</math> 得
<math display="block">-x^2\le x^2\sin(1/x)\le x^2,</math>
故中间函数在 <math>x\to0</math> 时趋于 0，尽管正弦因子本身不断振荡。代入、约分、夹逼等方法各有条件，数值表只能帮助猜测极限，不能替代这些条件。

== 延伸阅读 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit OpenStax，《Calculus Volume 1》§2.5]：极限的精确定义。
* [[逻辑]] · [[导数]] · [[微积分]]
[[分类:分析]]