极限

极限（limit）描述变量接近某个位置时，函数值是否稳定地接近一个确定的数。这里的“接近”可以用误差衡量：只要输入控制得足够好，输出误差就能小于任何预先给定的正数。

平方函数的输出能控制得多准

取 $f(x)=x^2$。输入为2时输出为4；输入略有变化，例如 $x=2.01$，输出变成4.0401。现在倒过来提问：要让输出与4相差不到0.01，输入应当离2多近？

把输出误差分解： $$|x^2-4|=|x-2||x+2|.$$ 第一个因子是输入误差，第二个因子随输入变化。先限制 $|x-2|<1$，这样 $1<x<3$，于是 $|x+2|<5$。再要求 $|x-2|<0.002$，就有 $|x^2-4|<5\times 0.002=0.01$。

图中的横向范围表示输入的允许变化，纵向带表示输出的允许误差。要缩窄纵向带，就可以继续缩窄横向范围。

横向范围选得合适，其中整段曲线就会留在输出误差带内。

把0.01换成任意正数 $\epsilon$，同一思路仍成立：选 $$\delta =min\{1,\epsilon /5\}.$$ 符号 $min$ 表示取两数中较小的一个。若 $0<|x-2|<\delta$，前面的两个限制同时成立，因而 $$|x^2-4|<5|x-2|<\epsilon .$$ 这条规则适用于每一种精度，就是 $\underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4$ 的证明。我们只需找到一个有效的范围，无须找出最大的允许范围。

把误差规则写成定义

设实函数 $f$ 的定义域为 $D$，并且 $a$ 附近任意小的范围内都有不同于 $a$ 的定义域点；后一个条件称 $a$ 是定义域的聚点。称 $f(x)$ 在 $x$ 趋于 $a$ 时以 $L$ 为极限，是指：

对每个 $\epsilon >0$，都能选出 $\delta >0$，使所有属于 $D$ 的 $x$ 满足 $$0<|x-a|<\delta ⟹|f(x)-L|<\epsilon .$$ 记作 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$。$\epsilon$（epsilon）表示输出误差，$\delta$（delta）表示输入半径。先给误差，再选半径，最后检查范围内的所有点，这个顺序构成定义的要点。OpenStax §2.5采用同样的误差表述。

在线性例子 $f(x)=3x-2$ 中，输入靠近4，输出靠近10。因为 $|f(x)-10|=3|x-4|$，直接选 $\delta =\epsilon /3$ 即可。平方函数多了一步给 $|x+2|$ 找上界，正是非线性关系带来的区别。

条件 $0<|x-a|$ 排除了目标点。例如 $(x^2-9)/(x-3)$ 在3处没有定义，但只要 $x\ne 3$，它就等于 $x+3$，与6的误差为 $|x-3|$。取 $\delta =\epsilon$，便得到极限6。若将缺失点补成6，函数在3连续；补成100，极限仍是6，只是不再连续。连续要求附近的极限恰好等于那个点的函数值。

极限为什么只有一个

假设同一函数在同一点既趋于 $L$ 又趋于不同的 $M$。令两数距离 $d=|L-M|>0$，给两边都提出误差 $d/3$。分别找到两个输入范围，再取较小半径，就应同时有 $|f(x)-L|<d/3$ 和 $|f(x)-M|<d/3$。

聚点条件保证范围内存在待检查的点；但三角不等式又给出 $$d=|L-M|\le |L-f(x)|+|f(x)-M|<2d/3,$$ 矛盾。故极限一旦存在，就是唯一的。若定义域中的某点孤立，附近没有其他点，误差要求就没有检查对象，这也解释了定义为何需要聚点条件。

从已知极限算出新极限

若 $f(x)\to L$、$g(x)\to M$，则和、差、积的极限分别为 $L+M$、$L-M$、$LM$。证明和法则时，给两个函数各分配 $\epsilon /2$ 的误差，再取共同的输入范围： $$|(f+g)-(L+M)|\le |f-L|+|g-M|<\epsilon .$$ 乘法多了一个会变化的因子。写成 $fg-LM=f(g-M)+M(f-L)$，先由 $f\to L$ 缩小范围使 $|f|\le |L|+1$。随后分别要求 $$|g-M|<\frac{\epsilon }{2(|L|+1)},|f-L|<\frac{\epsilon }{2(|M|+1)},$$ 两项绝对值之和便小于 $\epsilon$。这与开头平方函数先控制因子、再控制误差，是同一种方法。

商法则另需 $M\ne 0$。此时先令 $|g-M|<|M|/2$，就有 $|g|>|M|/2$，分母不会任意靠近零。若分子、分母都趋零，单凭这个信息无法求商：当 $x\to 0$，$x/x\to 1$，$x^2/x\to 0$，而 $x/x^2$ 没有有限双侧极限。“0/0未定式”所说的正是这种信息不足。

误差带怎样容纳振荡

若附近有 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，而两端都趋于 $L$，那么 $f$ 也趋于 $L$。给两端同一个误差要求，在共同范围内就有 $L-\epsilon <g(x)\le f(x)\le h(x)<L+\epsilon$，这就是夹逼定理的证明。

例如 $|x^2\sin (1/x)|\le x^2$。即使正弦项不断摆动，振幅仍缩小到零，整个表达式因而趋于零；取 $\delta =\sqrt{\epsilon }$ 就直接满足误差定义。

另一个重要例子是 $\sin x/x$。以弧度计，对 $0<x<\pi /2$，单位圆上的内接三角形、扇形和外接三角形面积依次增大，得到 $\sin x<x<\tan x$。除以正数并整理： $$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$$ 由同一几何不等式还有 $0\le 1-\cos x=2{\sin }^2(x/2)\le x^2/2$，所以余弦趋于1，两端趋于1；这个商又是偶函数，左侧结果相同。因此 $\underset{x\to 0}{lim}\sin x/x=1$。这条几何证明可用于建立正弦导数，不需要先借用导数公式。

极限保留非严格不等式，但严格差距可能消失：每个 $1/n>0$，极限仍为0。若原来还有一个固定的差距，例如 $f(x)\ge g(x)+c$ 且 $c>0$，那么有限极限之间才保证至少相差 $c$。

用两条趋近路线证明极限不存在

对于 $\sin (1/x)$，取 $$x_n=\frac{1}{2\pi n+\pi /2},y_n=\frac{1}{2\pi n+3\pi /2}.$$ 两列输入都趋于0，输出却分别恒为1和−1，不可能进入同一个任意窄的误差带。因此函数在0没有极限。$|x|/x$ 也有类似情况：左边恒为−1，右边恒为1，左右极限不同。

一般的序列判别是：$f(x)\to L$，当且仅当每一个由定义域中非 $a$ 的点组成、并趋于 $a$ 的数列 $x_n$，都有 $f(x_n)\to L$。正向由定义得出：输入数列最终进入给定范围，输出便满足精度要求。反向若失败，就有某个固定误差 ${\epsilon }_0>0$，无论范围多小都能找到坏点。依次在半径 $1/n$ 内选这样的点，便构造出 $x_n\to a$，但始终 $|f(x_n)-L|\ge {\epsilon }_0$，与序列条件矛盾。

因此一条好序列不足以证明极限，两个给出不同结果的序列却足以否定它。有限数值表也有同样限制：前一百项与 $1/n$ 相同的数列，以后既可以继续趋零，也可以改成恒为5；结论还要依据数列的完整定义。

数列与无穷远的极限

数列 $a_n\to L$ 的输入控制改成“项数足够大”：对每个 $\epsilon >0$，存在整数 $N$，使所有 $n\ge N$ 都有 $|a_n-L|<\epsilon$。例如 $a_n=2+3/n$，取整数 $N>3/\epsilon$ 即可。每一项都未取到2，仍可以以2为极限。

函数在正无穷处的极限用 $x>R$ 控制输入。例如 $$\frac{2x+1}{x+3}-2=-\frac{5}{x+3},$$ 取足够大的 $R$ 就能让右侧绝对值小于给定误差，故原式趋于2。相反，$1/x^2$ 在 $x\to 0$ 时超过任何预先给定的正阈值，记作趋于 $+\mathrm{\infty }$；这是无界增长的陈述，而不是有限实数极限。

极限存在与收敛快慢是两件事。$1/n$ 的误差小于千分之一需要 $n>1000$，$1/\sqrt{n}$ 则需 $n>1000000$。多个过程同时变化还要保留次序：在 $[0,1]$ 上，$f_n(x)=x^n$ 对每个固定 $x<1$ 趋于0，故先令 $n\to \mathrm{\infty }$ 再令 $x\to 1^{-}$ 得0；先令 $x\to 1^{-}$，每个 $x^n$ 的极限都是1，再令 $n$ 增大仍得1。

历史

柯西在1821年的《分析教程》中系统组织了极限、连续与收敛问题；魏尔斯特拉斯的研究和教学进一步推进了用不等式处理分析基础的传统。今天的误差—邻域定义是在这一发展脉络中形成的标准表述。相关著作与教学经历见MacTutor：Cauchy及Weierstrass。

来源与继续阅读

• OpenStax，《Calculus Volume 1》§2.5：精确定义及量词说明。
• J. J. O'Connor、E. F. Robertson，MacTutor：Augustin-Louis Cauchy：十九世纪分析史。
• MacTutor：Karl Weierstrass：分析严格化背景。
• 先修：函数、逻辑；后续：导数、积分、微积分。