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向量空间是在一个数域上定义了向量加法和标量乘法，并满足相应运算公理的集合。平面箭头是直观例子，但向量也可以是多项式、函数、数列或矩阵；关键在于运算结构，而非外观。

== 向量可以相加，也可以按比例缩放 ==
以实数域 <math>\mathbb R</math> 为例，空间 <math>V</math> 中任意 <math>u,v,w</math> 及实数 <math>a,b</math>，加法满足交换律、结合律，存在零向量和每个向量的加法逆元；数乘满足
<math display="block">a(u+v)=au+av,\quad(a+b)v=av+bv,\quad a(bv)=(ab)v,\quad1v=v.</math>
加法与数乘的结果必须仍属于 <math>V</math>，称为封闭性。数域是定义的一部分：同一个集合在不同数域上可能有不同维数，例如复数作为复向量空间是一维，作为实向量空间是二维。

== 用少数向量表示所有向量 ==
表达式 <math>a_1v_1+\cdots+a_nv_n</math> 称为线性组合。这些组合形成的集合是 <math>v_1,\ldots,v_n</math> 的张成空间。

若只有系数全为零时才能使 <math>a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0</math>，就称这组向量线性无关。既线性无关又张成整个空间的一组向量称为基；有限维空间任意一组基的向量个数相同，称为维数。

[[File:Gezhi-vector-basis.svg|frame|center|alt=平面向量v由两倍向量b1加向量b2组成，虚线构成平行四边形|基决定坐标：(3,1) 在标准基下的坐标是 (3,1)，在 b₁=(1,0)、b₂=(1,1) 下的坐标是 (2,1)。]]
取 <math>b_1=(1,0)</math>、<math>b_2=(1,1)</math>。因为
<math display="block">2b_1+b_2=(3,1),</math>
向量 <math>(3,1)</math> 在该基下的坐标是 <math>(2,1)</math>。坐标变了，向量本身没有变。基不要求互相垂直或长度为 1，正交归一基只是特别方便的一类基。

== 子空间与不通过原点的直线 ==
向量空间的子集若包含零向量，并对向量加法、数乘封闭，就构成子空间。例如
<math display="block">W=\{(x,y)\in\mathbb R^2:y=2x\}</math>
由 <math>(1,2)</math> 张成，是一维子空间。

直线 <math>y=2x+1</math> 不包含零向量，因此不是子空间，而是仿射子空间。第一象限即使包括边界，也不对负数的数乘封闭。这些例子说明，视觉上“平直”不足以保证是向量子空间。

== 多项式也是向量 ==
次数至多为 2 的实系数多项式构成空间 <math>P_2</math>，一组基为 <math>1,x,x^2</math>。多项式 <math>2-3x+x^2</math> 的坐标是 <math>(2,-3,1)</math>，所以 <math>\dim P_2=3</math>。

注意“次数恰好为 2”的多项式集合不是向量空间：它不包含零多项式，两个二次多项式相加还可能消去二次项。所有多项式的空间则是无限维的，不能用固定有限个多项式表示一切多项式。

== 结构还可以继续增加 ==
向量空间本身只有加法和数乘，并未自动规定长度、角度或正交。加入内积后，才能自然定义这些几何概念。[[线性代数]]研究保持线性组合的映射；选择定义域和值域的基后，这些映射就可以写成[[矩阵]]。

== 延伸阅读 ==
* [https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/ MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra]：向量空间、基、维数与正交性。
* [[矩阵]] · [[线性代数]] · [[群]]
[[分类:代数]]