向量空间

向量空间（vector space）是一类允许相加和按数值倍乘的对象所组成的集合，这两种运算遵循通常的线性运算规律。平面中的位移是最直观的例子，多项式也可以是向量。基给出表示这些对象所需的独立方向，维数说明需要几个这样的方向。

下面从平面中的两个方向出发，先理解坐标为什么可以改变，再把同一套方法用于方程和多项式。除特别说明外，系数均取实数。

用两个方向表示一次位移

在平面上，从原点向右走三格、向上走一格，总位移写成 $v = (3, 1)$ 。通常选用向右一格的 $e_{1} = (1, 0)$ 和向上一格的 $e_{2} = (0, 1)$ ，于是 $v = 3 e_{1} + e_{2} .$ 这里的加法表示把两段位移接起来，数乘表示按比例伸缩；负系数还会把方向反转。

方向不一定要互相垂直。换用 $b_{1} = (1, 0)$ 和 $b_{2} = (1, 1)$ ，先沿斜方向走一次，已经完成向右、向上各一格；还差向右两格。所以 $v = 2 b_{1} + b_{2} .$

从原点出发的向量三一被分解成两倍的一零向量和一一向量 — 沿 b₁ 走两份，再沿 b₂ 走一份，终点仍是 (3,1)。虚线帮助把两段位移首尾相接。

图中终点没有改变，改变的是用来记录位移的两个方向。同一个向量在标准方向下的坐标为 $(3, 1)$ ，在新方向下为 $(2, 1)$ 。为避免混淆，可以写 $[v]_{B} = (2, 1)$ ，其中 $B = (b_{1}, b_{2})$ 指明采用的有序方向组。

这个方法是否能到达任意点 $(x, y)$ ？设所需份数为 $a, b$ ，逐个比较坐标： $a b_{1} + b b_{2} = (a + b, b) = (x, y) .$ 第二个坐标给出 $b = y$ ，第一个再给出 $a = x - y$ 。因此 $(x, y) = (x - y) b_{1} + y b_{2} .$ 无论目标在哪里，都能求出唯一的一对系数。这两个性质——能够表示全部对象，且表示唯一——正是基的意义。

张成、线性无关与基

把若干向量乘以系数再相加，得到的式子 $a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k}$ 称为线性组合。让系数自由变化，所有可能结果组成的集合称为这组向量的张成空间，记作 $span (v_{1}, \dots, v_{k})$ 。

一个非零方向的所有倍数构成过原点的直线；两个不共线的平面方向能张成整个平面。若选 $(1, 0)$ 和 $(2, 0)$ ，它们的组合总是 $(a + 2 b, 0)$ ，因此无论怎样选系数，都到不了纵坐标为一的点。

即使能够到达全部点，方向也可能多余。三个向量 $e_{1}, e_{2}, e_{1} + e_{2}$ 张成平面，但 $(1, 1)$ 既可以写成前两个向量之和，也可以直接取第三个。造成重复的原因是 $e_{1} + e_{2} - (e_{1} + e_{2}) = 0.$ 如果 $a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k} = 0$ 只能在所有系数都为零时成立，这组向量就称为线性无关。如果存在不全为零的系数使其成立，就称为线性相关；把某个非零系数对应的项移到另一边并除以该系数，便能把一个向量用其余向量表示出来。

基是既张成整个空间、又线性无关的一组向量。张成保证每个向量有坐标，无关保证坐标唯一。后一结论可直接证明：若 $v = a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} = c_{1} b_{1} + \dots + c_{n} b_{n},$ 两式相减得到 $\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - c_{i}) b_{i} = 0$ 。由无关性，所有 $a_{i} - c_{i} = 0$ ，所以两套坐标相同。

从平面箭头到一般定义

前面的计算只使用加法和数乘，没有使用长度或夹角。这使我们可以把相同的规则应用到其他对象。

实向量空间由一个非空集合 $V$ 、向量加法和实数与向量的乘法组成。两种运算的结果都要留在 $V$ 中。向量加法满足交换律与结合律，有零向量 $0$ ，每个向量 $v$ 有相反向量 $- v$ ；对任意实数 $a, b$ 以及向量 $u, v$ ，数乘还满足 $a (u + v) = a u + a v, (a + b) v = a v + b v,$ $a (b v) = (a b) v, 1 v = v .$ 这些公理保证展开、合并同类项等线性计算可靠。例如，由 $0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v$ ，两边减去 $0 v$ ，就得到零标量乘任何向量都等于零向量。

把实数换为复数，就得到复向量空间；更一般地，系数可以来自一个数域。本篇的几何例子使用实数。向量空间本身不规定长度和垂直，若要讨论这些概念，还需另行指定内积。前面的斜方向组仍是一组合法的基。

方程的解怎样成为一个空间

考虑三元齐次方程 $x + 2 y - z = 0.$ 满足方程的所有三元组组成集合 $W$ 。设 $u, v$ 都满足该方程，对任意实数 $a, b$ ，把它们逐坐标组合后，左端变为 $a (u_{1} + 2 u_{2} - u_{3}) + b (v_{1} + 2 v_{2} - v_{3}) = a \cdot 0 + b \cdot 0 = 0.$ 所以 $a u + b v$ 仍在 $W$ 中；零向量也在其中。 $W$ 因而是三维坐标空间的子空间。一般说，非空子集只要对所有线性组合封闭，就构成子空间；其余运算规律从原空间继承。

要找 $W$ 的基，先把能自由选择的量留下。令 $y = s, z = t$ ，由方程得 $x = - 2 s + t$ ，于是 $(x, y, z) = s (- 2, 1, 0) + t (1, 0, 1) .$ 这说明两向量张成 $W$ 。若这个组合为零，第二坐标给出 $s = 0$ ，第三坐标给出 $t = 0$ ，所以它们也线性无关。这是一组基，空间的维数为二。

例如 $(1, 1, 3) = 1 (- 2, 1, 0) + 3 (1, 0, 1)$ ，确实满足 $1 + 2 - 3 = 0$ 。三维坐标有三个数，但满足方程的点只需两个自由参数就能确定。

若把方程右端改为一，解集便不含零向量，不是子空间。不过取一个特解 $p = (1, 0, 0)$ ，所有解恰为 $p + W$ ：从任意解减去 $p$ ，右端就变成零。几何上，这是把过原点的平面整体平移；这种集合称为仿射平面。

直线y等于x经过原点并对倍乘封闭，平移后的y等于x加一含点零一却不含其两倍零二 — 用平面直线看同一差别：左图是子空间，右图是平移后的仿射直线。

左图中把向量加倍仍留在直线上。右图中 $p = (0, 1)$ 满足 $y = x + 1$ ，但 $2 p = (0, 2)$ 不满足；平移改变了集合与零向量的关系。

多项式也是向量

两个多项式能相加，每个多项式也能乘以实数，而且满足相同的线性运算规律。因此次数至多为二的实多项式（包括零多项式）构成向量空间 $P_{2} (ℝ)$ 。

每个对象都写成 $a + b x + c x^{2}$ ，所以 $1, x, x^{2}$ 张成这个空间。如果多项式 $a + b x + c x^{2}$ 恒等于零，它的三个系数必须全为零，因而这组向量无关。这就给出了三维空间的一组基。这里整个多项式是向量， $x$ 是自变量。

选择基可以配合问题的位置。若关心 $x = 1$ 附近的行为，使用 $1, x - 1, (x - 1)^{2}$ 往往更方便。以 $p (x) = 2 - 3 x + x^{2}$ 为例，设 $p (x) = a + b (x - 1) + c (x - 1)^{2} .$ 把右端展开为 $(a - b + c) + (b - 2 c) x + c x^{2}$ ，逐项比较得到 $c = 1, b - 2 c = - 3, a - b + c = 2.$ 依次解出 $c = 1, b = - 1, a = 0$ 。因此 $p (x) = - (x - 1) + (x - 1)^{2} .$ 新坐标为 $(0, - 1, 1)$ 。从这种写法能立即读出 $p (1) = 0$ ；同一个对象换一种基，某些信息就变得更容易看见。

“次数恰好为二”的多项式不构成向量空间：例如 $x^{2}$ 和 $- x^{2}$ 相加得到零，离开了这个集合。定义中“至多”两个字正是为了包含运算可能产生的结果。

维数为什么不依赖选了哪一组基

有限维空间中，一组基所含的向量数称为维数。我们已经看到，平面可以换方向，但总需要两个独立方向。一般空间也有同样的事实：任何两组基长度相同。

证明的关键是比较一组无关向量 $u_{1}, \dots, u_{k}$ 和一组生成向量 $v_{1}, \dots, v_{m}$ 。把 $u_{1}$ 展开为生成向量的组合，它非零，因此至少一个系数非零。假设第一个系数非零，就能从该式解出 $v_{1}$ ，用 $u_{1}$ 替换 $v_{1}$ ，新的列表仍张成整个空间。

再展开 $u_{2}$ 。它不可能只用 $u_{1}$ 表示，否则原来的无关性被破坏。因此至少有一个尚未替换的 $v_{j}$ 具有非零系数，可以解出并替换它。重复这个过程，每加入一个 $u_{i}$ 就使用一个不同的位置，所以 $k \leq m$ 。

若两组都是基，交换它们的角色又得到相反的不等式，故长度相等。这个论证还说明：一组生成向量可以删去多余项得到基，一组无关向量可以不断补入新方向，直到成为基。

维数数的是独立参数，不是元素个数。直线上有无限多个点，却只需一个实数参数；只含零向量的空间不需要任何基向量，维数为零。所有多项式组成的空间则是无限维：任取有限组多项式，它们的次数有一个上界，线性组合不能产生更高次数的项，所以有限组不可能张成全部多项式。

系数范围也会影响维数。例如复数在实数系数下需要 $1, i$ 两个方向；在复数系数下，一个向量 $1$ 就足够。

从向量空间到矩阵

保持线性组合的函数称为线性映射，即 $T (a u + b v) = a T (u) + b T (v)$ 。以求导为例， $T (a + b x + c x^{2}) = b + 2 c x .$ 在输入基 $(1, x, x^{2})$ 和输出基 $(1, x)$ 下，三个基向量分别被送到 $0, 1, 2 x$ ，坐标依次为 $(0, 0), (1, 0), (0, 2)$ 。把它们排成列，得到矩阵 $[T] = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}), [T] (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 2 c \end{matrix}) .$ 这说明为什么矩阵的列是基向量的输出。选定基以后，抽象的线性映射便能化成明确的数表运算；不同的基会给出不同的矩阵表示。

历史

Grassmann 在 1844 年的《扩张论》中研究不限于三维几何的代数量，使独立性、维数和线性组合能够放在更一般的背景下理解。Peano 在 1888 年给出实线性空间的公理化定义。相关原著和概念演变见 MacTutor 的线性空间史。这条发展路线解释了今天为什么既把箭头称为向量，也把多项式和函数称为向量：它们共享的是运算规律。

参考资料与后续阅读

MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra：向量空间、基、维数和线性映射。
Gilbert Strang，《Introduction to Linear Algebra》第 3.5 节：基本子空间及其维数。
J. J. O’Connor、E. F. Robertson，Abstract linear spaces：Grassmann 与 Peano 的历史贡献。
前置可读集合、函数；继续阅读矩阵、线性代数和群。