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勾股定理说明：在欧氏平面上的直角三角形中，两条直角边长度的平方之和，等于斜边长度的平方。若直角边长为 <math>a,b</math>，斜边长为 <math>c</math>，则
<math display="block">a^2+b^2=c^2.</math>
斜边是直角所对的边，也是三角形中最长的边。定理中的平方可解释为以各边为边长所作正方形的面积。

== 用面积拼合证明 ==
把四个全等的直角三角形放在边长为 <math>a+b</math> 的大正方形内，使四条斜边围出中间图形。

[[File:Gezhi-pythagoras-dissection.svg|frame|center|alt=四个直角三角形拼在大正方形四角，中间留下以斜边c为边长的正方形|外部面积 (a+b)² 等于四个三角形的总面积 2ab 加上中间正方形面积 c²。]]
中间四条边都长为 <math>c</math>；其相邻边夹角为 90 度，因为原三角形两个锐角之和为 90 度。因此中间确实是正方形，而不只是边长相等的任意四边形。比较面积：
<math display="block">(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2.</math>
展开并消去 <math>2ab</math>，得到 <math>a^2+b^2=c^2</math>。证明同时解释了为什么结论中出现平方。

== 一个长度计算与一个判定 ==
直角边分别为 3 和 4 时，斜边为 <math>\sqrt{3^2+4^2}=5</math>。若已知斜边 13、一条直角边 5，则另一条为 <math>\sqrt{13^2-5^2}=12</math>；斜边的平方应被减去一条直角边的平方，不能把已知两边都相加。

逆命题也成立：若一个三角形的三条边满足 <math>a^2+b^2=c^2</math>，则 <math>c</math> 所对的角是直角。可另作两直角边为 <math>a,b</math> 的直角三角形，由勾股定理知斜边也是 <math>c</math>；两三角形三边对应相等，因而全等。

所以边长 5、12、13 可以判定为直角三角形，而 2、3、4 不满足。判定时先找最长边作为候选斜边。

== 坐标距离公式 ==
平面上两点 <math>P=(x_1,y_1)</math> 与 <math>Q=(x_2,y_2)</math> 的水平、竖直位移互相垂直，因而
<math display="block">d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.</math>
例如 <math>P=(1,2)</math>、<math>Q=(4,6)</math> 的距离为 5。三维中对互相垂直的坐标方向重复应用，得到 <math>\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}</math>。

在内积空间中，这推广为：若 <math>\langle u,v\rangle=0</math>，则 <math>\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2</math>。垂直性消去了展开式中的交叉项。

== 为什么需要“直角”和“欧氏” ==
一般三角形遵循余弦定理
<math display="block">c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,</math>
其中 <math>C</math> 是两边 <math>a,b</math> 的夹角。直角时余弦为零，才退化为勾股定理。曲面上以测地线为边的三角形还会受曲率影响，例如球面三角形不能直接套用欧氏勾股公式。

== 延伸阅读 ==
* [https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html Euclid，《几何原本》第一卷命题 47（David E. Joyce 编注）]：经典几何证明。
* [[向量空间]] · [[圆锥曲线]] · [[环面]]
[[分类:几何]]