勾股定理

\'\'\'勾股定理\'\'\'（Pythagorean theorem）描述欧氏直角三角形三条边的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方。它可以用来求两点间的直线距离，也可以反过来判断一个三角形是否有直角。

从三步向东、四步向北开始

从起点向东走三米，再向北走四米，走过的路程是七米。如果拉一根绳子，把起点与终点直接连起来，绳子需要多长？这两段位移互相垂直，连同绳子构成一个直角三角形。勾股定理给出的答案是 $c^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25, c = 5 m .$ 这里 $c$ 表示绳长。取正平方根，是因为长度为正。七米量的是折线路程，五米量的是起终点间的直线距离。

把三米、四米换成任意正长度 $a, b$ ，所求的斜边记为 $c$ ，结论就是 $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$ 斜边总是直角所对的那条边。把整幅图转一个方向，这条边仍是斜边。三条边要采用同一单位，平方后的单位也相同；在三、四、五的例子中，等式比较的是九、十六、二十五平方米。

为什么要平方：把四个三角形拼起来

长度的平方可以看成正方形的面积。为证明这个关系，把同一个直角三角形复制四份，放进一个边长为 $a + b$ 的大正方形中。

四个全等直角三角形放在边长a加b的大正方形四角，中间留下四边长度均为c的正方形 — 四个三角形总面积为 2ab；中央正方形面积为 c²。图形中的边长与正文保持一致。

先沿图中大正方形的一条边看：它分成长度为 $a$ 和 $b$ 的两段。再看中央空白区域，它的四条边各是一份三角形的斜边，长度都为 $c$ 。要把中央面积写成 $c^{2}$ ，还需知道它的角也是直角。

把原三角形的两个锐角记为 $α, β$ 。三角形内角和为 $18 0^{\circ}$ ，扣去直角后， $α + β = 9 0^{\circ}$ 。图中中央的每一个角，与旁边的 $α, β$ 合成平角，所以中央角等于 $18 0^{\circ} - (α + β) = 9 0^{\circ} .$ 这样，中央确实是边长为 $c$ 的正方形。

现在把同一块面积算两次。整个大正方形面积是 $(a + b)^{2}$ ；四个三角形的总面积是 $4 \times a b / 2 = 2 a b$ ，余下的中央面积是 $c^{2}$ 。因此 $(a + b)^{2} = 2 a b + c^{2} .$ 展开左边，再从两边各减去 $2 a b$ ： $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 2 a b + c^{2} ⟹ a^{2} + b^{2} = c^{2} .$ 三、四、五的例子只是其中一种比例。这个拼合过程没有要求边长是整数，因而对任意正实数边长都成立。

已知的边不同，怎样使用同一关系

如果把刚才的路线按两倍放大，两条直角边变成六米和八米。每个面积变成原来的四倍，所以斜边变成十米： $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10.$ 一般地，所有长度同时乘以 $k > 0$ ，等式的每一项都乘以 $k^{2}$ ，勾股关系保持不变。

换一个问题：十三米长的梯子靠在竖直墙上，梯脚离墙五米，梯顶有多高？假定墙与地面垂直，梯子是斜边。设高度为 $h$ ，先写出三边关系，再把已知量代入： $h^{2} + 5^{2} = 1 3^{2}, h^{2} = 169 - 25 = 144, h = 12 m .$ 这里用减法，是因为所求的是一条直角边。如果误把十三和五的平方相加，就相当于把梯子当成了另一条直角边。

有时三条边已经给定，要判断的是角。例如七、二十四、二十五能组成三角形，而且 $7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625 = 2 5^{2} .$ 由勾股定理的逆命题，二十五所对的角是直角。

逆命题可以这样证明。对于原三角形的两条较短边 $a, b$ ，另作一个以它们为直角边的直角三角形，斜边长记为 $d$ 。正向定理给出 $d^{2} = a^{2} + b^{2}$ 。如果原三角形的第三边满足 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，便有 $d = c$ 。两个三角形三边分别相等，因而全等，原三角形的对应角也是直角。

判定时要先有一个三角形。边长一、二、三只能首尾排在同一直线上，不能围出面积；边长二、三、四可以围成三角形，但 $2^{2} + 3^{2} \neq 4^{2}$ ，所以它没有直角。

两个坐标怎样变成一段距离

把起点记作 $P = (- 2, 1)$ ，终点记作 $Q = (4, 9)$ 。在相互垂直且单位相同的坐标轴中，横向位移为 $4 - (- 2) = 6$ ，纵向位移为 $9 - 1 = 8$ 。它们正是上一节的两条直角边，所以距离为十。

对于一般的两点 $P = (x_{1}, y_{1})$ 、 $Q = (x_{2}, y_{2})$ ，同样的作法得到 $d (P, Q) = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}} .$ 坐标差记录方向，可以为负；平方之后，只留下各方向位移对长度的贡献。交换起点和终点时两个差都变号，距离不变。

三维距离可以分两次求。例如长方体的三条相互垂直的边长为二、三、六。先在底面求对角线 $\sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$ ，再把它与高度六组成一个直角三角形，体对角线为 $\sqrt{(\sqrt{13})^{2} + 6^{2}} = \sqrt{49} = 7.$ 一般式 $\sqrt{Δ x^{2} + Δ y^{2} + Δ z^{2}}$ ，就是这样连续应用二维定理得到的。

垂线为什么给出最短距离

从线外一点 $P$ 向直线作垂线，垂足为 $H$ 。在直线上另取一点 $Q$ ，三角形 $P H Q$ 在 $H$ 处为直角，因此 $P Q^{2} = P H^{2} + H Q^{2} \geq P H^{2} .$ 当 $Q \neq H$ 时， $H Q^{2} > 0$ ，斜着连接的线段严格更长。这证明点到直线的最短距离由垂线段给出。

同一论证也出现在最小二乘法中。若数据向量 $x$ 的垂直投影为 $p$ ，允许的另一个拟合结果为 $q$ ，那么从 $x$ 到 $q$ 的偏差，可以拆成垂直余量 $x - p$ 与沿允许方向的位移 $p - q$ 。两部分正交，所以 $‖ x - q ‖^{2} = ‖ x - p ‖^{2} + ‖ p - q ‖^{2} .$ 式中的双竖线表示向量长度。第一项固定，第二项非负；选择 $q = p$ 就让误差最小。

在实内积空间中，正交用 $⟨ u, v ⟩ = 0$ 表示。展开长度平方可直接看见其作用： $‖ u + v ‖^{2} = ‖ u ‖^{2} + 2 ⟨ u, v ⟩ + ‖ v ‖^{2} .$ 正交时中间项消失。这给出了勾股关系的代数形式；反过来，在实内积空间中平方可加也说明两向量正交。复内积空间的中间项则为 $2 Re ⟨ u, v ⟩$ ，只有实部为零还不足以推出内积为零。

直角条件与整数边长

若沿两个夹角为六十度的单位方向各走一单位，两段位移并不正交。合成位移的长度平方为 $1^{2} + 1^{2} + 2 \cos 6 0^{\circ} = 3.$ 其长度是 $\sqrt{3}$ 。一般的非正交单位方向夹角为 $θ$ 时，分量 $u, v$ 合成后的长度平方为 $u^{2} + v^{2} + 2 u v \cos θ$ 。直角恰好使交叉项为零。斜坐标的分量因此不能直接当作直角边。

如果所量的是沿街区行走的路程，回到开头的例子，三米向东加四米向北仍是七米；若研究球面上沿大圆弧连接的三角形，则需使用球面几何。勾股定理在这些问题里所描述的对象与实际路径不同。

三条边均为正整数时，称为勾股数组。五、十二、十三可以由整数 $m = 3, n = 2$ 构造出来： $a = m^{2} - n^{2}, b = 2 m n, c = m^{2} + n^{2} .$ 对任意整数 $m > n > 0$ ，展开都有 $(m^{2} - n^{2})^{2} + (2 m n)^{2} = m^{4} + 2 m^{2} n^{2} + n^{4} = (m^{2} + n^{2})^{2} .$ 当 $m, n$ 互素且一奇一偶时，得到没有共同因子的勾股数组。整数构造只覆盖具有相应有理边长比的三角形；两条直角边都为一时，斜边为 $\sqrt{2}$ ，已经需要无理数。

实际测量的长度带有误差。如果根据斜边 $c$ 和直角边 $a$ 求另一边，且 $c, a$ 非常接近，差 $c^{2} - a^{2}$ 会很小。此时输入的微小变化可能明显影响答案，报告结果应保留与测量精度相称的位数。精确的几何关系与近似的测量值是两个层次。

历史

古巴比伦泥板保存了早于毕达哥拉斯时代的相关长度计算与整数组合。MacTutor 的泥板研究介绍可帮助区分这些计算材料与后来的命名。中国的“勾、股、弦”术语见于《周髀算经》及其注释传统，相关文本背景见中国古代数学十部经典介绍。

约公元前 300 年成书的《几何原本》第一卷命题 47 给出一般命题的面积证明，命题 48 证明逆命题。本文的四三角形拼图是另一种常见证明；它利用全等、三角形内角和与面积可加性说明同一个关系。

从直角推广到任意三角形

余弦定理把两边的夹角也计入边长关系：当夹角为直角时，余弦项为零，恰好回到勾股定理；锐角与钝角则给出不同的修正。知道三边之后，海伦公式可以不先测高就求面积。两篇使用同一个边长为 13、14、15 的三角形，把辅助线、角度和面积的计算串起来。

参考资料与知识联系

Euclid，《Elements》，第一卷命题 47、48；David E. Joyce 编注，命题 47、命题 48。可参阅定理在古典体系中的陈述与证明位置。
J. J. O'Connor、E. F. Robertson，Babylonian Pythagoras，MacTutor，University of St Andrews。用于区分古巴比伦材料与后世命名。
MacTutor：Ten mathematical classics：讨论《周髀算经》与勾股传统的文献背景。
前置概念：欧氏几何、函数；继续阅读：向量空间、最小二乘法、圆锥曲线、整数整除。