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圆锥曲线是平面与圆锥面相交所得的一类曲线。非退化情形包括椭圆、抛物线和双曲线，圆是椭圆的特例。它们也可由点到焦点、准线或两个焦点的距离关系定义。

== 三种曲线的距离定义 ==
椭圆上每一点到两个焦点的距离之和为常数；双曲线上每一点到两个焦点的距离之差的绝对值为常数；抛物线上每一点到焦点与到准线的距离相等。距离定义说明了曲线为何具有相应形状，也适用于旋转、平移后的情形。

[[File:Gezhi-conics.svg|frame|center|alt=并排的椭圆、抛物线和双曲线示意，焦点以小点标记，抛物线准线为虚线|椭圆是闭合曲线，抛物线有一支，双曲线有两支。示意图使用各自的坐标尺度。]]

== 标准方程与参数 ==
{| class="wikitable"
! 曲线 !! 一种标准方程 !! 焦点及条件
|-
| 椭圆 || <math>x^2/a^2+y^2/b^2=1</math> || <math>a\ge b>0</math>，焦点为 <math>(\pm c,0)</math>，<math>c^2=a^2-b^2</math>
|-
| 抛物线 || <math>y^2=4px</math> || <math>p>0</math>，焦点 <math>(p,0)</math>，准线 <math>x=-p</math>
|-
| 双曲线 || <math>x^2/a^2-y^2/b^2=1</math> || <math>a,b>0</math>，焦点为 <math>(\pm c,0)</math>，<math>c^2=a^2+b^2</math>
|}
以上方程的中心或顶点在原点，主轴沿坐标轴。不是所有曲线都以这种朝向出现，竖直开口或旋转后的方程会改变。

== 从距离推导抛物线 ==
设点 <math>P=(x,y)</math> 到焦点 <math>(p,0)</math> 的距离等于到直线 <math>x=-p</math> 的距离，则
<math display="block">\sqrt{(x-p)^2+y^2}=|x+p|.</math>
两边都是非负数，平方后等价地得到 <math>(x-p)^2+y^2=(x+p)^2</math>，化简即 <math>y^2=4px</math>。例如 <math>p=1</math> 时，点 <math>(1,2)</math> 到焦点与准线的距离都为 2，确实在曲线上。

== 一个椭圆的完整识别 ==
考虑 <math>x^2/25+y^2/9=1</math>。由 <math>a=5,b=3</math> 得 <math>c=4</math>，所以焦点为 <math>(\pm4,0)</math>，长轴长 10，短轴长 6。

顶点 <math>(5,0)</math> 到两焦点的距离为 1 和 9，和为 <math>2a=10</math>；点 <math>(0,3)</math> 到两焦点的距离均为 5，和也为 10。半轴长 <math>a,b</math> 不能误读成整条轴的长度。

== 离心率统一描述形状 ==
在焦点—准线定义中，距离比 <math>e=d(P,F)/d(P,\ell)</math> 称为离心率。<math>0<e<1</math> 对应非圆椭圆，<math>e=1</math> 对应抛物线，<math>e>1</math> 对应双曲线；圆通常取离心率 0，但不能使用有限准线直接代入上述距离比得到普通圆。

对椭圆和双曲线，<math>e=c/a</math>。上例椭圆的离心率为 <math>4/5</math>。离心率描述形状，整体放大曲线不会改变它。

== 二次方程的分类与退化 ==
一般平面二次方程写为 <math>Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math>。在非退化且有实点的条件下，<math>B^2-4AC</math> 的符号区分椭圆型、抛物线型和双曲线型。

只看符号仍不够：<math>x^2+y^2+1=0</math> 没有实点，<math>x^2+y^2=0</math> 只有原点，<math>x^2-y^2=0</math> 是两条相交直线。分类时需要检查整条方程是否退化。

理想二体引力模型的轨道可呈圆锥曲线，抛物面反射结构也利用抛物线的几何性质；这些应用依赖各自的物理假设，不能把现实轨迹一概视为精确圆锥曲线。

== 延伸阅读 ==
* [https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/10-introduction-to-analytic-geometry OpenStax，《Precalculus 2e》第 10 章]：椭圆、双曲线、抛物线与坐标旋转。
* [[勾股定理]] · [[矩阵]] · [[数学建模]]
[[分类:几何]]