圆锥曲线

圆锥曲线（conic sections）包括椭圆、抛物线和双曲线；圆是椭圆的特例。三种曲线既可看作平面与双叶圆锥面的截线，也能由焦点距离条件刻画，最后写成二元二次方程。三种说法各有用处：距离条件解释曲线的形状，坐标方程便于计算，截锥图像说明名称的来历。

椭圆、抛物线和双曲线并列示意，焦点用圆点标出，抛物线准线为虚线 — 三种非退化圆锥曲线。各图使用自己的坐标尺度；不能直接比较图中的线段长度。

三种距离条件

先固定两个焦点 $F_{1} = (- c, 0)$ 、 $F_{2} = (c, 0)$ ，其中 $c > 0$ 。对移动点 $P = (x, y)$ ，记 $r_{1} = P F_{1}$ 、 $r_{2} = P F_{2}$ 。勾股定理给出一个三种曲线都要用的式子： $r_{1}^{2} - r_{2}^{2} = (x + c)^{2} + y^{2} - ((x - c)^{2} + y^{2}) = 4 c x .$

椭圆要求 $r_{1} + r_{2} = 2 a$ ，其中 $a > c$ 。平方差公式随即给 $r_{1} - r_{2} = 2 c x / a$ ，所以 $r_{1} = a + c x / a$ 。代回 $r_{1}^{2} = (x + c)^{2} + y^{2}$ ，整理为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, b^{2} = a^{2} - c^{2} .$ 因为 $a > c$ ，两项的分母都为正，点集封闭。若把距离和降至焦点间距 $2 c$ ，轨迹退化为两焦点之间的线段；再小就没有点。反向从方程恢复距离和时，还要核对 $a \pm c x / a > 0$ ，不能只把式子平方后就宣布等价。椭圆词条给出带数值的完整核算和图。

双曲线要求 $| r_{1} - r_{2} | = 2 a$ ，其中 $0 < a < c$ 。在右支 $r_{1} - r_{2} = 2 a$ ，于是 $r_{1} + r_{2} = 2 c x / a$ ；代入距离平方后得到 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, b^{2} = c^{2} - a^{2} .$ 式子只允许 $| x | \geq a$ ，两支之间有空隙。若距离差恰等于焦点间距 $2 c$ ，轨迹成为焦点轴上向外延伸的两条射线，而不是非退化双曲线。双曲线的两条渐近线是 $y = \pm (b / a) x$ ：右上支的纵坐标 $y = (b / a) \sqrt{x^{2} - a^{2}}$ 与直线 $(b / a) x$ 的差为 $\frac{b}{a} x - y = \frac{a b}{x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}} ⟶ 0 (x \to + \infty) .$ 分子为常数而分母增大；这说明“渐近”是远处的极限，不是曲线在有限点上碰到渐近线。两支的距离验证及纵轴开口情形见双曲线。

抛物线改用一个焦点和一条准线。取焦点 $F = (p, 0)$ 、准线 $x = - p$ ，其中 $p > 0$ 。点到准线的距离必须沿垂线量，等距条件为 $\sqrt{(x - p)^{2} + y^{2}} = | x + p | .$ 两边都非负，平方并消去 $x^{2} + p^{2}$ 后得到 $y^{2} = 4 p x$ 。反过来，这个方程推出 $x \geq 0$ 且两个距离平方相等，故确实满足原始等距条件。顶点在原点，焦点离顶点 $p$ ，不是 $4 p$ ；完整的平移与二次函数例子见抛物线。

平移、旋转与读方程

坐标原点不在曲线中心时，方程会出现一次项。例如 $4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y + 4 = 0.$ 分别配方： $4 [(x - 1)^{2} - 1] + 9 [(y + 2)^{2} - 4] + 4 = 0 ⟺ \frac{(x - 1)^{2}}{9} + \frac{(y + 2)^{2}}{4} = 1.$ 这是中心 $(1, - 2)$ 、半轴为三和二的椭圆；焦距参数 $c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$ ，焦点为 $(1 \pm \sqrt{5}, - 2)$ 。平移改变位置，不改变半轴或离心率。

轴发生旋转时还会出现 $x y$ 项。以 $5 x^{2} - 6 x y + 5 y^{2} = 8$ 为例，取 $u = \frac{x + y}{\sqrt{2}}, v = \frac{- x + y}{\sqrt{2}} .$ 于是 $x^{2} + y^{2} = u^{2} + v^{2}$ 、 $x y = (u^{2} - v^{2}) / 2$ ，原方程成为 $2 u^{2} + 8 v^{2} = 8$ ，即 $u^{2} / 4 + v^{2} = 1$ 。它仍是椭圆，只是长轴沿原坐标系中的 $x = y$ 方向。不能看到交叉项就断定图像是双曲线；要把整个二次部分一起判断。

二次式判别量与曲线类型

一般实二次方程写为 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0,$ 其中 $A, B, C$ 不全为零。二次部分的对称矩阵是 $Q = (\begin{matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \end{matrix}), det Q = A C - \frac{B^{2}}{4} = - \frac{Δ}{4}, Δ = B^{2} - 4 A C .$ 实对称矩阵可以通过正交旋转变成对角矩阵。设旋转后的二次项系数为 $λ_{1}, λ_{2}$ ；正交变换保持行列式，所以 $λ_{1} λ_{2} = det Q = - Δ / 4$ 。这就是判别量 $Δ$ 与图形类型相连的原因，并非要死记三个符号。

若 $Δ < 0$ ，两个特征值同号。把方程整体乘以 $- 1$ （必要时）并平移消去一次项后，得到两个正平方之和等于常数：常数为正时是椭圆，为零时只剩一个点，为负时没有实点。若 $Δ > 0$ ，两个特征值异号；此时 $Q$ 可逆，平移能消去一次项，得到一正一负两个平方之差等于常数。非零常数给双曲线，零给两条相交直线。若 $Δ = 0$ ，恰有一个非零特征值，旋转和平移后可写成 $λ u^{2} + β v + γ = 0$ 。只有当 $β \neq 0$ 时它才是抛物线； $β = 0$ 时可能是两条平行线、一条重线或空集。

$Δ$	非退化且有实点时	必须再检查的情形
$Δ < 0$	椭圆，圆为特例	单点或无实点
$Δ = 0$	抛物线	平行线、重线或无实点
$Δ > 0$	双曲线	两条相交直线

具体对照可直接代入： $x^{2} + y^{2} = 1$ 是椭圆，但同一判别量下的 $x^{2} + y^{2} = 0$ 是单点、 $x^{2} + y^{2} + 1 = 0$ 没有实点； $y^{2} = 4 x$ 是抛物线， $y^{2} = 1$ 却是两条平行线； $x^{2} - y^{2} = 1$ 是双曲线， $x^{2} - y^{2} = 0$ 则分解为两条相交直线。判别量先识别二次部分，并不独自保证完整方程表示非退化曲线。

如需统一的代数退化检验，可以把全部系数放进 $M = (\begin{matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \end{matrix}) .$ $det M = 0$ 表示对应的射影二次曲线退化；即使 $det M \neq 0$ ，实平面点集仍可能为空，例如 $x^{2} + y^{2} + 1 = 0$ 。手算时先配方、分解并检查实解，往往比直接算三阶行列式更直观。

离心率把三类距离条件合在一起

给定不经过焦点 $F$ 的准线 $ℓ$ ，还可以要求 $P F = e d (P, ℓ), e > 0.$ 为看清 $e$ 的作用，取 $F = (0, 0)$ 、 $ℓ : x = d$ 、 $d > 0$ 。点 $P = (x, y)$ 满足 $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = e | x - d |$ ；平方并收集项得 $(1 - e^{2}) x^{2} + y^{2} + 2 e^{2} d x - e^{2} d^{2} = 0.$ 因两边原来都是非负距离，平方后不会引入符号假解。

当 $0 < e < 1$ ，令 $q = 1 - e^{2} > 0$ ，完整配方是 $q {(x + \frac{e^{2} d}{q})}^{2} + y^{2} = \frac{e^{2} d^{2}}{q},$ 即 $(x + e^{2} d / q)^{2} / (e^{2} d^{2} / q^{2}) + y^{2} / (e^{2} d^{2} / q) = 1$ ，两个平方项同号，得到椭圆。当 $e = 1$ ，二次 $x^{2}$ 项恰好消失，留下 $y^{2} = - 2 d (x - d / 2)$ ，得到抛物线。当 $e > 1$ ，令 $q = e^{2} - 1 > 0$ ，配方变为 $q {(x - \frac{e^{2} d}{q})}^{2} - y^{2} = \frac{e^{2} d^{2}}{q},$ 一正一负两个平方项给双曲线。这个过程和前一节的特征值符号分类相互印证；圆锥曲线的焦点与准线用同一焦点、同一准线配图并逐一核对数值，离心率说明 $e = c / a$ 、尺度不变性与圆的边界情形。

圆的离心率约定为零，是椭圆两焦点重合的极限。若在一条固定的有限准线前直接令 $e = 0$ ，等式只剩 $P F = 0$ ，点集仅有焦点，不是圆；这一点不能从上述 $e > 0$ 的三类配方中漏掉。

截面、历史与学习顺序

在三维空间中，平面截取双叶圆锥面可形成椭圆、抛物线或双曲线；平面经过锥顶时还可能出现点或直线等退化截面。截锥形状与焦点距离条件之间有几何联系，但仅凭一幅示意图不能替代平面轨迹的证明。研究具体图形时，可先读直线的方程、圆的方程，再依次读椭圆、抛物线和双曲线；接着用圆锥曲线与直线的交点检查相交与相切，读圆锥曲线的切线理解切点附近的方向，最后由圆锥曲线的反射性质把焦点条件用于光路。

古希腊数学家梅内克缪斯与早期圆锥曲线研究有关；阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》系统发展了截面理论。古典论证主要使用几何比例与构造，本文的坐标方程属于后来的解析表达。人物史料与数学证明应分开核对，不把“最早发现”归给单一人物。

参考资料

OpenStax，《Calculus Volume 3》§1.5 Conic Sections：焦点、准线、离心率、标准方程与退化条件。
MIT OpenCourseWare，Gilbert Strang《Calculus》§3.5–3.8：截锥、二次方程与坐标旋转。
MacTutor：Menaechmus、MacTutor：Apollonius：早期研究和《圆锥曲线论》的历史背景。