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事件 <math>A</math> 与 <math>B</math> '''独立'''，指 <math>P(A\cap B)=P(A)P(B)</math>。若 <math>P(B)>0</math>，这等价于 <math>P(A\mid B)=P(A)</math>：得知 <math>B</math> 不改变 <math>A</math> 的概率。两次独立掷公平硬币，第一次正面、第二次正面就是例子，交事件概率为 <math>1/4=(1/2)(1/2)</math>。

== 独立与互斥 ==
互斥指两事件不可能同时发生，即 <math>P(A\cap B)=0</math>。若 <math>P(A)>0</math>、<math>P(B)>0</math>，互斥便不可能独立。掷骰时“结果为 1”与“结果为 2”互斥而不独立；知道前者发生，就能断定后者不发生。概念混淆常来自把“毫不相干”误当“不会同时发生”。

独立性也不能凭直觉判断。[[事件运算与古典概型]]中的双骰事件 <math>A=</math>“第一枚为偶数”、<math>B=</math>“点数和至少为 10”，分别有概率 <math>1/2</math> 与 <math>1/6</math>，若独立则交事件应为 <math>1/12</math>。实际交事件有四个有序对，概率 <math>4/36=1/9</math>，不相等。第二个条件偏向较大的点数，因此改变了第一枚为偶数的可能性。

若 <math>A,B</math> 确实独立，则 <math>A</math> 与 <math>B^c</math> 也独立。因为 <math>A</math> 可拆成互斥的 <math>A\cap B</math> 与 <math>A\cap B^c</math>，所以 <math>P(A\cap B^c)=P(A)-P(A\cap B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B^c)</math>。这条推论来自加法和乘法定义，不需要再假设补事件“看起来无关”。

== 两两独立不够推出共同独立 ==
取两次公平掷币的四个等可能结果，令 <math>A</math> 为第一次正面、<math>B</math> 为第二次正面、<math>C</math> 为两次同面。三者各有概率 <math>1/2</math>；任取两个，交事件各占四个结果中的一个，概率 <math>1/4</math>，所以两两独立。但 <math>A\cap B\cap C</math> 是“正正”，概率 <math>1/4</math>，而三者概率之积是 <math>1/8</math>。因此三个事件共同独立，需要检查每个子族的交事件概率等于各自概率之积。

独立性是对概率模型的假设或可验证性质，不是“重复试验”自动带来的。若抽球不放回，后一次的颜色通常受前一次影响。

== 参考资料 ==
* [https://ocw.mit.edu/courses/18-05-introduction-to-probability-and-statistics-spring-2022/resources/readings/ MIT 18.05，Independence 讲义]。
* [https://ocw.mit.edu/courses/6-041-probabilistic-systems-analysis-and-applied-probability-spring-2006/pages/lecture-notes/ MIT 6.041，概率论讲义]。
* 继续阅读：[[条件概率]]、[[独立同分布]]。
[[分类:概率与统计]]
[[分类:高中数学]]