事件独立性

事件 $A$ 与 $B$ 独立，指 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ 。若 $P (B) > 0$ ，这等价于 $P (A ∣ B) = P (A)$ ：得知 $B$ 不改变 $A$ 的概率。两次独立掷公平硬币，第一次正面、第二次正面就是例子，交事件概率为 $1 / 4 = (1 / 2) (1 / 2)$ 。

独立与互斥

互斥指两事件不可能同时发生，即 $P (A \cap B) = 0$ 。若 $P (A) > 0$ 、 $P (B) > 0$ ，互斥便不可能独立。掷骰时“结果为 1”与“结果为 2”互斥而不独立；知道前者发生，就能断定后者不发生。概念混淆常来自把“毫不相干”误当“不会同时发生”。

独立性也不能凭直觉判断。事件运算与古典概型中的双骰事件 $A =$ “第一枚为偶数”、 $B =$ “点数和至少为 10”，分别有概率 $1 / 2$ 与 $1 / 6$ ，若独立则交事件应为 $1 / 12$ 。实际交事件有四个有序对，概率 $4 / 36 = 1 / 9$ ，不相等。第二个条件偏向较大的点数，因此改变了第一枚为偶数的可能性。

若 $A, B$ 确实独立，则 $A$ 与 $B^{c}$ 也独立。因为 $A$ 可拆成互斥的 $A \cap B$ 与 $A \cap B^{c}$ ，所以 $P (A \cap B^{c}) = P (A) - P (A \cap B) = P (A) (1 - P (B)) = P (A) P (B^{c})$ 。这条推论来自加法和乘法定义，不需要再假设补事件“看起来无关”。

两两独立不够推出共同独立

取两次公平掷币的四个等可能结果，令 $A$ 为第一次正面、 $B$ 为第二次正面、 $C$ 为两次同面。三者各有概率 $1 / 2$ ；任取两个，交事件各占四个结果中的一个，概率 $1 / 4$ ，所以两两独立。但 $A \cap B \cap C$ 是“正正”，概率 $1 / 4$ ，而三者概率之积是 $1 / 8$ 。因此三个事件共同独立，需要检查每个子族的交事件概率等于各自概率之积。

独立性是对概率模型的假设或可验证性质，不是“重复试验”自动带来的。若抽球不放回，后一次的颜色通常受前一次影响。

参考资料