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'''二项式定理'''展开两个可交换量的整数次幂：
<math display="block">(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk x^{n-k}y^k,\qquad n\in\mathbb N_0.</math>
系数 <math>\binom nk</math> 表示从 <math>n</math> 个位置中选 <math>k</math> 个的位置数。这里 <math>x,y</math> 可以是实数、复数或可交换的代数元素；若乘法不交换，不能不加修改地套用同一展开式。

== 系数从选择位置得到 ==
把 <math>(x+y)^n</math> 看成 <math>n</math> 个括号相乘。要得到 <math>x^{n-k}y^k</math>，恰需从其中 <math>k</math> 个括号取 <math>y</math>，其余取 <math>x</math>。每种选择都贡献同一个单项式，因此其系数为 <math>\binom nk</math>。例如
<math display="block">(1+t)^4=1+4t+6t^2+4t^3+t^4.</math>
中间的 6 是从四个括号中选两个取 <math>t</math> 的方案数，不是碰巧的数列。

通常把含 <math>y^k</math> 的一项写为 <math>T_{k+1}=\binom nk x^{n-k}y^k</math>，它是从 <math>k=0</math> 开始数的第 <math>k+1</math> 项。例如 <math>(x+y)^5</math> 中含 <math>x^3y^2</math> 的项是第三项，系数 <math>\binom52=10</math>。项的序号与 <math>y</math> 的指数差 1，做指定项问题时宜先对照两者。

== 系数的对称、峰值与递推 ==
第 <math>k</math> 个系数与第 <math>n-k</math> 个系数相等，因为选中 <math>k</math> 个位置等价于留下 <math>n-k</math> 个位置。相邻系数的比为
<math display="block">\frac{\binom n{k+1}}{\binom nk}=\frac{n-k}{k+1}\qquad(0\le k<n).</math>
当 <math>n-k>k+1</math> 时系数继续增大，反向时开始减小。因此 <math>n</math> 为偶数时中间的 <math>\binom n{n/2}</math> 唯一最大；<math>n</math> 为奇数时中央两项相等且最大。例 <math>n=5</math> 时系数为 <math>1,5,10,10,5,1</math>。

把最后一个括号单独写成 <math>(x+y)^n=(x+y)(x+y)^{n-1}</math>。新的 <math>x^{n-k}y^k</math> 可以从上一行的 <math>x\cdot x^{n-k-1}y^k</math> 来，也可以从 <math>y\cdot x^{n-k}y^{k-1}</math> 来，所以
<math display="block">\binom nk=\binom{n-1}k+\binom{n-1}{k-1}\quad(1\le k\le n-1).</math>
这正是[[杨辉三角]]中“上方相邻两数相加”的规则。它也能直接按“一个指定对象是否被选中”证明；两种证明分别从代数展开与组合分类出发。

== 两种快速核对 ==
令 <math>x=y=1</math>，得到 <math>\sum_{k=0}^n\binom nk=2^n</math>：左边按选中元素数量分组统计所有子集，右边按每个元素收或不收统计。令 <math>x=1,y=-1</math> 且 <math>n\ge1</math>，得到交替和 <math>\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk=0</math>。这些代入可检验一行系数是否漏项，却不替代上面的组合证明。

将普通和与交替和相加、相减，得到偶数下标系数之和、奇数下标系数之和都等于 <math>2^{n-1}</math>（<math>n\ge1</math>）。若 <math>n=0</math>，唯一的系数是 1，不能把两类说成各占一半。

== 参考资料 ==
* [https://ocw.mit.edu/courses/6-042j-mathematics-for-computer-science-spring-2015/mit6_042js15_textbook.pdf MIT，Mathematics for Computer Science，Binomial Theorem 章节]。
* [https://ocw.mit.edu/courses/6-042j-mathematics-for-computer-science-fall-2010/93cad640cf3ed0b23ef70688f452d4d5_MIT6_042JF10_notes.pdf MIT 6.042J Fall 2010，Mathematics for Computer Science 课程讲义]。
* 继续阅读：[[组合数学]]、[[帕斯卡恒等式]]、[[幂集]]。
[[分类:高中数学]]
[[分类:离散数学]]
[[分类:代数]]