查看“︁函数”︁的源代码

'''函数'''（function），也称映射，是一种为每个输入指定唯一输出的对应。输入和输出可以是数，也可以是位置、日期、集合等对象。函数通常记作 <math>f</math>，输入 x 对应的输出记作 <math>f(x)</math>。

例如，规则“把一个实数平方”给出 <math>f(x)=x^2</math>。输入 3 得到 9，输入 −3 也得到 9。两个输入可以得到相同输出；函数所要求的唯一性，是同一个输入只能得到一个确定的输出。

== 从平方看定义域、陪域和值域 ==
先让输入可以取任意实数，把允许接收输出的范围也指定为实数，写成
<math display="block">f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2.</math>
箭头左边的集合叫'''定义域'''，说明哪些输入都必须有对应值；右边的集合叫'''陪域'''，说明输出所属的集合。记号 <math>\mathbb R</math> 表示全体实数。

平方的输出实际上只会是非负数。把所有真正得到的输出收集起来，得到'''像集'''，也称值域：
<math display="block">f(\mathbb R)=[0,\infty).</math>
像集是陪域的子集，但未必填满陪域。这里 −1 在陪域中，却没有任何实数的平方等于 −1。

若只让输入取非负实数，平方规则仍然可用。这时每个输出还可以唯一反求输入：输出 9 来自 3，输出 0 来自 0。原先的两个输入 3 和 −3 合并到同一输出的问题消失了。因此，公式不变而输入范围改变，函数的性质也会改变。

本条在讨论函数时把定义域、陪域和对应规则都写清楚。有些文献只把函数看作输入输出的有序对集合，不把陪域列入函数相等的条件；无论采用哪一种约定，讨论能否覆盖所有输出、能否反求输入时，都需要指定相应的范围。

== 怎样找出允许的输入 ==
有些公式只能接受部分实数。例如
<math display="block">h(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x-1}.</math>
要得到实数输出，根号内须非负，所以 <math>4-x^2\ge0</math>，即 <math>-2\le x\le2</math>。同时分母不能为零，须排除 <math>x=1</math>。两个条件要同时成立，得到自然定义域
<math display="block">[-2,1)\cup(1,2].</math>
代入 0，分子为 2、分母为 −1，故 <math>h(0)=-2</math>；代入 2，分子为 0、分母为 1，故 <math>h(2)=0</math>。代入 1 则没有定义。

代数化简也要保留原来的范围。对
<math display="block">p(x)=\frac{x^2-1}{x-1},</math>
在 <math>x\ne1</math> 时可以约分，得到 <math>p(x)=x+1</math>。但原分式在 1 处没有值，而定义在全部实数上的 <math>q(x)=x+1</math> 有 <math>q(1)=2</math>。q 是给 p 补上一个值后得到的'''延拓'''。反过来，只保留一个函数在较小输入集合上的值，叫作'''限制'''。

在实际问题中，输入范围还来自对象本身。正方形的面积可写为边长的平方，但边长只取非负数；某设备运行后的记录若每秒采样一次，输入时间可能只取非负整数。这些范围与公式允许的全部实数输入不一定相同。

== 公式、图像与分段对应 ==
平方函数的图像由全部点 <math>(x,x^2)</math> 组成。例如 <math>(-2,4)</math>、<math>(0,0)</math>、<math>(2,4)</math> 都在图像上。横坐标表示输入，纵坐标表示输出；每个定义域内的横坐标恰好对应一个点，这就是实函数图像的竖直线检验。

圆 <math>x^2+y^2=1</math> 整体不是一个把 x 送到 y 的函数图像：在 <math>x=0</math> 时，它同时给出 <math>y=1</math> 和 <math>y=-1</math>。若只取上半圆，便得到
<math display="block">y=\sqrt{1-x^2},\qquad -1\le x\le1.</math>
平方根号取非负平方根，因而每个输入只有一个输出。

一条对应也可以由几段公式共同描述。例如
<math display="block">|x|=\begin{cases}x,&x\ge0,\\-x,&x<0.\end{cases}</math>
两个条件分担全部实数，0 明确归入第一段。输入 −3 时使用第二段，输出 3；输入 3 时使用第一段，也输出 3。分段描述仍然定义同一个函数。

函数未必画成连续曲线。规定有理数输入时输出 1、无理数输入时输出 0，也为每个实数指定了唯一值。由于任何小区间里都有有理数和无理数，这个函数处处不连续。连续性因而是可以进一步研究的性质，并非函数定义本身的要求；[[极限]]和[[连续映射]]讨论了这种性质。

数值以外的例子也很常见：把一个有限集合对应到它的元素个数，或把每个人对应到其登记的出生日期，都符合函数的形式。一个输出若是三维位置 <math>(x,y,z)</math>，三个坐标合在一起构成一个对象，也仍是唯一输出。

== 两个函数怎样接起来 ==
从一个数开始，先加 1，再平方，是两次连续处理。设
<math display="block">s(x)=x+1,\qquad q(x)=x^2.</math>
处理输入 2，先得到 <math>s(2)=3</math>，再得到 <math>q(3)=9</math>。把整个过程写成一个函数，便有
<math display="block">(q\circ s)(x)=q(s(x))=(x+1)^2.</math>
符号 <math>\circ</math> 表示'''复合'''，右边的函数先执行。若反过来先平方再加 1，就得到 <math>(s\circ q)(x)=x^2+1</math>；输入 2 的结果是 5。次序不同，复合函数通常也不同。

下图逐个标出中间结果。沿上排先加 1 再平方，输入 2 依次变成 3、9；沿下排交换两个处理步骤，得到 4、5。复合符号中的右边函数，对应图中先经过的箭头。

[[File:Gezhi-teaching-foundation-function-composition.svg|frame|center|alt=函数复合的两排箭头，上排二加一得三再平方得九，下排二平方得四再加一得五|同一个输入经过不同次序，产生不同输出。]]

一般地，若 <math>f:A\to B</math>、<math>g:B\to C</math>，则
<math display="block">(g\circ f)(x)=g(f(x)),\qquad x\in A.</math>
第一个过程的输出能被第二个过程接收，才构成完整复合。三个过程按同一顺序执行时，无论先把哪两个视为整体，结果都是 <math>h(g(f(x)))</math>。这就是复合的结合律。

输入范围也要沿着处理顺序检查。例如先开平方，再计算“这个结果减 2 的倒数”，得到
<math display="block">F(x)=\frac1{\sqrt{x}-2}.</math>
第一步要求 <math>x\ge0</math>；第二步排除 <math>\sqrt{x}=2</math>，也就是排除 <math>x=4</math>。故定义域为 <math>[0,4)\cup(4,\infty)</math>。如果反过来先取 <math>1/(x-2)</math> 再开平方，就要求该分式非负且分母非零，定义域变为 <math>(2,\infty)</math>。

== 何时可以从输出反求输入 ==
反求输入会遇到两个问题：可能根本没有输入对应这个输出，也可能有多个输入。分别排除这两种情况，便得到单射与满射。

'''单射'''要求不同输入产生不同输出。等价地，只要 <math>f(x_1)=f(x_2)</math>，就能推出 <math>x_1=x_2</math>。'''满射'''要求陪域中每个元素都能被某个输入达到。两者同时成立，称为'''双射'''。

平方函数可以说明范围的作用：
<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="平方函数在不同定义域和陪域下的性质" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 对应 !! 单射吗 !! 满射吗
|-
| <math>\mathbb R\to\mathbb R,\ x\mapsto x^2</math> || 否，3 与 −3 输出相同 || 否，负数不能达到
|-
| <math>\mathbb R\to[0,\infty),\ x\mapsto x^2</math> || 否 || 是，每个 y≥0 都由 √y 达到
|-
| <math>[0,\infty)\to[0,\infty),\ x\mapsto x^2</math> || 是 || 是
|}
</div>
表中最后一行允许把每个输出唯一送回原输入，得到'''反函数''' <math>y\mapsto\sqrt y</math>。一般双射 <math>f:A\to B</math> 的反函数记为 <math>f^{-1}:B\to A</math>，满足
<math display="block">f^{-1}(f(x))=x,\qquad f(f^{-1}(y))=y.</math>
左式撤销原来的运算，右式说明陪域中的每个 y 都能被这样恢复。

看一个带平移的例子：
<math display="block">f:[2,\infty)\to[1,\infty),\qquad f(x)=(x-2)^2+1.</math>
输入先减 2，结果非负；平方后再加 1，输出至少为 1。求反函数时，从 <math>y=(x-2)^2+1</math> 得到 <math>(x-2)^2=y-1</math>。由于 <math>x-2\ge0</math>，取非负平方根，得到
<math display="block">x=2+\sqrt{y-1},\qquad f^{-1}(y)=2+\sqrt{y-1}.</math>
任意 <math>y\ge1</math> 都得到一个 <math>x\ge2</math>，回代后恰为 y，因此这既证明有输入，又证明输入唯一。输出 10 对应输入 5，检验为 <math>(5-2)^2+1=10</math>。

下图左侧画出一段抛物线：高度 10 同时对应 −1 与 5。保留金色的 x≥2 分支以后，只剩一个输入。右图将这条分支与反函数画在同一坐标系中，点 (5,10) 交换横纵坐标成为 (10,5)，两条曲线关于虚线 y=x 对称。

[[File:Gezhi-teaching-foundation-function-inverse.svg|frame|center|alt=左图抛物线同一高度对应负一和五，金色保留输入大于等于二的分支；右图函数与反函数关于直线y等于x对称|限制输入范围解决反求不唯一；反函数将输入与输出的位置交换。]]

如果允许全部实数输入，−1 也会输出 10，反求就不唯一。反函数的分支取自输入范围；记号中的 −1 表示反向对应，并不表示数值倒数 <math>1/f(y)</math>。

== 反求一个范围：像与原像 ==
回到定义在全体实数上的平方函数。若输入位于 <math>[-1,2]</math>，可能得到哪些输出？最小平方为 0，最大为 4，中间的值也都能达到，所以
<math display="block">f([-1,2])=[0,4].</math>
这是求一个输入集合的'''像'''。

反过来，若知道输出在 <math>[1,4]</math>，就要找所有满足 <math>1\le x^2\le4</math> 的输入。它们为
<math display="block">f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup[1,2].</math>
这是求输出集合的'''原像'''。尽管平方函数在全部实数上没有反函数，仍可以求任何输出集合的原像。此处 <math>f^{-1}(S)</math> 的 S 是集合，表示把满足输出条件的所有输入收集起来。

原像与交集有很直接的关系。输入 x 的输出同时落入 S 和 T，等价于 x 既在 S 的原像中，也在 T 的原像中。因此
<math display="block">f^{-1}(S\cap T)=f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T).</math>
对并集作同样的逐元素判断，也有对应等式。

像与交集却可能不满足等式。平方函数把 <math>\{-1\}</math> 和 <math>\{1\}</math> 都映成 <math>\{1\}</math>，两个像有共同元素；两个输入集合本身不相交，其交集的像为空。原因正是函数把不同输入合并成了同一个输出。增加单射条件后，这种合并被排除，像才保持交集。

== 从表达式到一般对应 ==
十七至十八世纪的函数语言与曲线、微积分研究紧密相连。Johann Bernoulli 在 1694 年与 Leibniz 的通信中，讨论由变量与常量构成的量；Euler 在 1748 年《无穷分析引论》中系统研究以表达式给出的函数。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions/ MacTutor：The function concept]

后来，级数与振动问题推动数学家考虑分段或不规则的函数。集合语言把函数进一步表述为具有唯一输出的对应，使同一概念既适用于平滑曲线，也适用于有限表格、离散对象和空间中的运动。公式和图像仍是描述函数的重要方式，定义域及对应关系则说明这些表示究竟描述了什么。

== 参考资料 ==
* [https://www.jirka.org/ra/html/sec_basicset.html Jiří Lebl，Basic Analysis，Basic set theory]：函数、像、原像以及单射、满射。
* [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions/ J. J. O’Connor、E. F. Robertson，The function concept]。
* 先修：[[集合]]；相关：[[极限]]、[[连续映射]]、[[导数]]、[[线性代数]]、[[数学建模]]。
[[分类:基础与逻辑]]