函数

函数（function），也称映射，是一种为每个输入指定唯一输出的对应。输入和输出可以是数，也可以是位置、日期、集合等对象。函数通常记作 $f$，输入 x 对应的输出记作 $f(x)$。

例如，规则“把一个实数平方”给出 $f(x)=x^2$。输入 3 得到 9，输入 −3 也得到 9。两个输入可以得到相同输出；函数所要求的唯一性，是同一个输入只能得到一个确定的输出。

从平方看定义域、陪域和值域

先让输入可以取任意实数，把允许接收输出的范围也指定为实数，写成 $$f:ℝ\to ℝ,f(x)=x^2.$$ 箭头左边的集合叫定义域，说明哪些输入都必须有对应值；右边的集合叫陪域，说明输出所属的集合。记号 $ℝ$ 表示全体实数。

平方的输出实际上只会是非负数。把所有真正得到的输出收集起来，得到像集，也称值域： $$f(ℝ)=[0,\mathrm{\infty }).$$ 像集是陪域的子集，但未必填满陪域。这里 −1 在陪域中，却没有任何实数的平方等于 −1。

若只让输入取非负实数，平方规则仍然可用。这时每个输出还可以唯一反求输入：输出 9 来自 3，输出 0 来自 0。原先的两个输入 3 和 −3 合并到同一输出的问题消失了。因此，公式不变而输入范围改变，函数的性质也会改变。

本条在讨论函数时把定义域、陪域和对应规则都写清楚。有些文献只把函数看作输入输出的有序对集合，不把陪域列入函数相等的条件；无论采用哪一种约定，讨论能否覆盖所有输出、能否反求输入时，都需要指定相应的范围。

怎样找出允许的输入

有些公式只能接受部分实数。例如 $$h(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x-1}.$$ 要得到实数输出，根号内须非负，所以 $4-x^2\ge 0$，即 $-2\le x\le 2$。同时分母不能为零，须排除 $x=1$。两个条件要同时成立，得到自然定义域 $$[-2,1)\cup (1,2].$$ 代入 0，分子为 2、分母为 −1，故 $h(0)=-2$；代入 2，分子为 0、分母为 1，故 $h(2)=0$。代入 1 则没有定义。

代数化简也要保留原来的范围。对 $$p(x)=\frac{x^2-1}{x-1},$$ 在 $x\ne 1$ 时可以约分，得到 $p(x)=x+1$。但原分式在 1 处没有值，而定义在全部实数上的 $q(x)=x+1$ 有 $q(1)=2$。q 是给 p 补上一个值后得到的延拓。反过来，只保留一个函数在较小输入集合上的值，叫作限制。

在实际问题中，输入范围还来自对象本身。正方形的面积可写为边长的平方，但边长只取非负数；某设备运行后的记录若每秒采样一次，输入时间可能只取非负整数。这些范围与公式允许的全部实数输入不一定相同。

公式、图像与分段对应

平方函数的图像由全部点 $(x,x^2)$ 组成。例如 $(-2,4)$、$(0,0)$、$(2,4)$ 都在图像上。横坐标表示输入，纵坐标表示输出；每个定义域内的横坐标恰好对应一个点，这就是实函数图像的竖直线检验。

圆 $x^2+y^2=1$ 整体不是一个把 x 送到 y 的函数图像：在 $x=0$ 时，它同时给出 $y=1$ 和 $y=-1$。若只取上半圆，便得到 $$y=\sqrt{1-x^2},-1\le x\le 1.$$ 平方根号取非负平方根，因而每个输入只有一个输出。

一条对应也可以由几段公式共同描述。例如 $$|x|=\{\begin{array}{cc}x,& x\ge 0,\\ -x,& x<0.\end{array}$$ 两个条件分担全部实数，0 明确归入第一段。输入 −3 时使用第二段，输出 3；输入 3 时使用第一段，也输出 3。分段描述仍然定义同一个函数。

函数未必画成连续曲线。规定有理数输入时输出 1、无理数输入时输出 0，也为每个实数指定了唯一值。由于任何小区间里都有有理数和无理数，这个函数处处不连续。连续性因而是可以进一步研究的性质，并非函数定义本身的要求；极限和连续映射讨论了这种性质。

数值以外的例子也很常见：把一个有限集合对应到它的元素个数，或把每个人对应到其登记的出生日期，都符合函数的形式。一个输出若是三维位置 $(x,y,z)$，三个坐标合在一起构成一个对象，也仍是唯一输出。

两个函数怎样接起来

从一个数开始，先加 1，再平方，是两次连续处理。设 $$s(x)=x+1,q(x)=x^2.$$ 处理输入 2，先得到 $s(2)=3$，再得到 $q(3)=9$。把整个过程写成一个函数，便有 $$(q\circ s)(x)=q(s(x))=(x+1{)}^2.$$ 符号 $\circ$ 表示复合，右边的函数先执行。若反过来先平方再加 1，就得到 $(s\circ q)(x)=x^2+1$；输入 2 的结果是 5。次序不同，复合函数通常也不同。

下图逐个标出中间结果。沿上排先加 1 再平方，输入 2 依次变成 3、9；沿下排交换两个处理步骤，得到 4、5。复合符号中的右边函数，对应图中先经过的箭头。

同一个输入经过不同次序，产生不同输出。

一般地，若 $f:A\to B$、$g:B\to C$，则 $$(g\circ f)(x)=g(f(x)),x\in A.$$ 第一个过程的输出能被第二个过程接收，才构成完整复合。三个过程按同一顺序执行时，无论先把哪两个视为整体，结果都是 $h(g(f(x)))$。这就是复合的结合律。

输入范围也要沿着处理顺序检查。例如先开平方，再计算“这个结果减 2 的倒数”，得到 $$F(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-2}.$$ 第一步要求 $x\ge 0$；第二步排除 $\sqrt{x}=2$，也就是排除 $x=4$。故定义域为 $[0,4)\cup (4,\mathrm{\infty })$。如果反过来先取 $1/(x-2)$ 再开平方，就要求该分式非负且分母非零，定义域变为 $(2,\mathrm{\infty })$。

何时可以从输出反求输入

反求输入会遇到两个问题：可能根本没有输入对应这个输出，也可能有多个输入。分别排除这两种情况，便得到单射与满射。

单射要求不同输入产生不同输出。等价地，只要 $f(x_1)=f(x_2)$，就能推出 $x_1=x_2$。满射要求陪域中每个元素都能被某个输入达到。两者同时成立，称为双射。

平方函数可以说明范围的作用：

对应	单射吗	满射吗
$ℝ\to ℝ,x\mapsto x^2$	否，3 与 −3 输出相同	否，负数不能达到
$ℝ\to [0,\mathrm{\infty }),x\mapsto x^2$	否	是，每个 y≥0 都由 √y 达到
$[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty }),x\mapsto x^2$	是	是

表中最后一行允许把每个输出唯一送回原输入，得到反函数 $y\mapsto \sqrt{y}$。一般双射 $f:A\to B$ 的反函数记为 $f^{-1}:B\to A$，满足 $$f^{-1}(f(x))=x,f(f^{-1}(y))=y.$$ 左式撤销原来的运算，右式说明陪域中的每个 y 都能被这样恢复。

看一个带平移的例子： $$f:[2,\mathrm{\infty })\to [1,\mathrm{\infty }),f(x)=(x-2{)}^2+1.$$ 输入先减 2，结果非负；平方后再加 1，输出至少为 1。求反函数时，从 $y=(x-2{)}^2+1$ 得到 $(x-2{)}^2=y-1$。由于 $x-2\ge 0$，取非负平方根，得到 $$x=2+\sqrt{y-1},f^{-1}(y)=2+\sqrt{y-1}.$$ 任意 $y\ge 1$ 都得到一个 $x\ge 2$，回代后恰为 y，因此这既证明有输入，又证明输入唯一。输出 10 对应输入 5，检验为 $(5-2{)}^2+1=10$。

下图左侧画出一段抛物线：高度 10 同时对应 −1 与 5。保留金色的 x≥2 分支以后，只剩一个输入。右图将这条分支与反函数画在同一坐标系中，点 (5,10) 交换横纵坐标成为 (10,5)，两条曲线关于虚线 y=x 对称。

限制输入范围解决反求不唯一；反函数将输入与输出的位置交换。

如果允许全部实数输入，−1 也会输出 10，反求就不唯一。反函数的分支取自输入范围；记号中的 −1 表示反向对应，并不表示数值倒数 $1/f(y)$。

反求一个范围：像与原像

回到定义在全体实数上的平方函数。若输入位于 $[-1,2]$，可能得到哪些输出？最小平方为 0，最大为 4，中间的值也都能达到，所以 $$f([-1,2])=[0,4].$$ 这是求一个输入集合的像。

反过来，若知道输出在 $[1,4]$，就要找所有满足 $1\le x^2\le 4$ 的输入。它们为 $$f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup [1,2].$$ 这是求输出集合的原像。尽管平方函数在全部实数上没有反函数，仍可以求任何输出集合的原像。此处 $f^{-1}(S)$ 的 S 是集合，表示把满足输出条件的所有输入收集起来。

原像与交集有很直接的关系。输入 x 的输出同时落入 S 和 T，等价于 x 既在 S 的原像中，也在 T 的原像中。因此 $$f^{-1}(S\cap T)=f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T).$$ 对并集作同样的逐元素判断，也有对应等式。

像与交集却可能不满足等式。平方函数把 $\{-1\}$ 和 $\{1\}$ 都映成 $\{1\}$，两个像有共同元素；两个输入集合本身不相交，其交集的像为空。原因正是函数把不同输入合并成了同一个输出。增加单射条件后，这种合并被排除，像才保持交集。

从表达式到一般对应

十七至十八世纪的函数语言与曲线、微积分研究紧密相连。Johann Bernoulli 在 1694 年与 Leibniz 的通信中，讨论由变量与常量构成的量；Euler 在 1748 年《无穷分析引论》中系统研究以表达式给出的函数。MacTutor：The function concept

后来，级数与振动问题推动数学家考虑分段或不规则的函数。集合语言把函数进一步表述为具有唯一输出的对应，使同一概念既适用于平滑曲线，也适用于有限表格、离散对象和空间中的运动。公式和图像仍是描述函数的重要方式，定义域及对应关系则说明这些表示究竟描述了什么。

参考资料

• Jiří Lebl，Basic Analysis，Basic set theory：函数、像、原像以及单射、满射。
• J. J. O’Connor、E. F. Robertson，The function concept。
• 先修：集合；相关：极限、连续映射、导数、线性代数、数学建模。