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'''幂级数'''（power series）是以某个中心 <math>a</math> 为基点、按变量的整数次幂相加的级数：
<math display="block">\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n
=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\cdots.</math>
它的每个有限部分和是多项式；只有在级数收敛的 <math>x</math> 上，才由这些多项式的极限定义函数。把它叫作“无限多项式”有助于想象，却不能跳过收敛范围。

== 一个可以逐项核对的函数 ==
从[[无穷级数|等比级数]]出发，取首项 1、公比 <math>x</math>。当 <math>|x|<1</math> 时，
<math display="block">1+x+x^2+\cdots+x^n
=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}
\longrightarrow \frac1{1-x}.</math>
因此 <math>f(x)=1/(1-x)</math> 在 <math>-1<x<1</math> 上能写成 <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math>。例如 <math>x=1/2</math> 时，前四项给出 <math>1+1/2+1/4+1/8=15/8</math>，精确值为 2，余下 <math>1/8</math>。用有限和式直接算也得到 <math>2-15/8=1/8</math>。

若改取 <math>x=2</math>，各项为 <math>1,2,4,\ldots</math>，不可能求出 <math>1/(1-2)=-1</math>；代数式右边在那里虽有值，左边级数却发散。等式只能在证明收敛的范围内使用。

== 收敛半径和端点 ==
一般幂级数存在一个'''收敛半径''' <math>R</math>：当 <math>|x-a|<R</math> 时收敛，当 <math>|x-a|>R</math> 时发散；<math>R</math> 可以是 0 或无穷。若 <math>0<R<\infty</math>，两个端点 <math>a-R</math>、<math>a+R</math> 必须另行检查，半径本身不替它们作结论。

例如 <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> 的半径为 1，<math>x=1</math> 时各项都是 1，<math>x=-1</math> 时部分和在 1 与 0 之间跳动，两端都发散。但 <math>\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n^2</math> 也有半径 1，在 <math>x=1</math> 与 <math>x=-1</math> 时都由 <math>\sum 1/n^2</math> 控制而收敛。两个级数半径相同，端点结论不同。

以中心 <math>a=2</math> 为例，<math>\sum_{n=0}^{\infty}((x-2)/3)^n</math> 的收敛条件是 <math>|x-2|<3</math>，即 <math>-1<x<5</math>；其和为 <math>1/(1-(x-2)/3)</math>。中心确定“从哪里展开”，半径确定“能走多远”，二者不能混为一谈。

== 收敛区间内部的逐项求导 ==
在收敛区间的'''内部'''，幂级数可以逐项求导和积分；更精确地，在离边界留有正距离的闭小区间上，级数及相应操作有一致的收敛控制。对前面的几何级数逐项求导，得到
<math display="block">\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}
=\frac{1}{(1-x)^2},\qquad |x|<1.</math>
在 <math>x=1/2</math> 时，左边为 <math>1+2(1/2)+3(1/2)^2+\cdots</math>，和是 4。这是一条从有限多项式操作延伸到极限的结论，不是在任意无穷和上都能直接“把导数移进去”。如果靠近或站在端点，还要重新检查。

同理，在 <math>|x|<1</math> 内逐项积分，有
<math display="block">\int_0^x\frac{dt}{1-t}
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}
=-\ln(1-x).</math>
这里的积分从 0 起，所以常数项由两端在 <math>x=0</math> 时均为 0 确定。

== 泰勒多项式与幂级数的分界 ==
若一个函数在 <math>a</math> 附近恰由幂级数表示，逐次在 <math>a</math> 求导可知 <math>c_n=f^{(n)}(a)/n!</math>。于是它是该函数的'''泰勒级数'''。但[[泰勒定理]]只给有限阶多项式加余项；要把阶数送到无穷，还必须证明余项趋零。并非每个无限次可导函数都等于自己的泰勒级数。

例如 <math>f(x)=1/(1-x)</math> 在零点的各阶导数为 <math>f^{(n)}(0)=n!</math>，所以泰勒系数都是 1；由前面的等比级数计算可知它确在 <math>|x|<1</math> 等于该级数。这里“系数对上”和“级数确实收敛到原函数”是两项分别完成的核对。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/6-1-power-series-and-functions OpenStax，Calculus Volume 2，§6.1 Power Series and Functions]：收敛半径与函数表示。
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/6-2-properties-of-power-series 同书 §6.2 Properties of Power Series]：内部逐项求导与积分。
* 继续阅读：[[无穷级数]]、[[泰勒定理]]、[[极限]]。
[[分类:分析]]
[[分类:微积分]]