幂级数

幂级数（power series）是以某个中心 $a$ 为基点、按变量的整数次幂相加的级数： $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(x-a{)}^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a{)}^2+\cdots .$$ 它的每个有限部分和是多项式；只有在级数收敛的 $x$ 上，才由这些多项式的极限定义函数。把它叫作“无限多项式”有助于想象，却不能跳过收敛范围。

一个可以逐项核对的函数

从等比级数出发，取首项 1、公比 $x$。当 $|x|<1$ 时， $$1+x+x^2+\cdots +x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}⟶\frac{1}{1-x}.$$ 因此 $f(x)=1/(1-x)$ 在 $-1<x<1$ 上能写成 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$。例如 $x=1/2$ 时，前四项给出 $1+1/2+1/4+1/8=15/8$，精确值为 2，余下 $1/8$。用有限和式直接算也得到 $2-15/8=1/8$。

若改取 $x=2$，各项为 $1,2,4,\dots$，不可能求出 $1/(1-2)=-1$；代数式右边在那里虽有值，左边级数却发散。等式只能在证明收敛的范围内使用。

收敛半径和端点

一般幂级数存在一个收敛半径 $R$：当 $|x-a|<R$ 时收敛，当 $|x-a|>R$ 时发散；$R$ 可以是 0 或无穷。若 $0<R<\mathrm{\infty }$，两个端点 $a-R$、$a+R$ 必须另行检查，半径本身不替它们作结论。

例如 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$ 的半径为 1，$x=1$ 时各项都是 1，$x=-1$ 时部分和在 1 与 0 之间跳动，两端都发散。但 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n/n^2$ 也有半径 1，在 $x=1$ 与 $x=-1$ 时都由 $\sum 1/n^2$ 控制而收敛。两个级数半径相同，端点结论不同。

以中心 $a=2$ 为例，$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}((x-2)/3{)}^n$ 的收敛条件是 $|x-2|<3$，即 $-1<x<5$；其和为 $1/(1-(x-2)/3)$。中心确定“从哪里展开”，半径确定“能走多远”，二者不能混为一谈。

收敛区间内部的逐项求导

在收敛区间的内部，幂级数可以逐项求导和积分；更精确地，在离边界留有正距离的闭小区间上，级数及相应操作有一致的收敛控制。对前面的几何级数逐项求导，得到 $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2},|x|<1.$$ 在 $x=1/2$ 时，左边为 $1+2(1/2)+3(1/2{)}^2+\cdots$，和是 4。这是一条从有限多项式操作延伸到极限的结论，不是在任意无穷和上都能直接“把导数移进去”。如果靠近或站在端点，还要重新检查。

同理，在 $|x|<1$ 内逐项积分，有 $${\int }_0^x\frac{dt}{1-t}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{n+1}}{n+1}=-\ln (1-x).$$ 这里的积分从 0 起，所以常数项由两端在 $x=0$ 时均为 0 确定。

泰勒多项式与幂级数的分界

若一个函数在 $a$ 附近恰由幂级数表示，逐次在 $a$ 求导可知 $c_n=f^{(n)}(a)/n!$。于是它是该函数的泰勒级数。但泰勒定理只给有限阶多项式加余项；要把阶数送到无穷，还必须证明余项趋零。并非每个无限次可导函数都等于自己的泰勒级数。

例如 $f(x)=1/(1-x)$ 在零点的各阶导数为 $f^{(n)}(0)=n!$，所以泰勒系数都是 1；由前面的等比级数计算可知它确在 $|x|<1$ 等于该级数。这里“系数对上”和“级数确实收敛到原函数”是两项分别完成的核对。

参考资料

• OpenStax，Calculus Volume 2，§6.1 Power Series and Functions：收敛半径与函数表示。
• 同书 §6.2 Properties of Power Series：内部逐项求导与积分。
• 继续阅读：无穷级数、泰勒定理、极限。