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在非退化三角形 <math>ABC</math> 中，令 <math>a=BC,b=CA,c=AB</math> 分别与角 <math>A,B,C</math> 相对，外接圆半径为 <math>R</math>。'''正弦定理'''给出
<math display="block">\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R.</math>
它把一条边及其对角配成一组；把 <math>a</math> 与邻角 <math>B</math> 错配，就不再是同一关系。

== 从圆上的弦得到公式 ==
边 <math>a=BC</math> 是外接圆的一条弦，圆周角 <math>A</math> 对着它。连圆心 <math>O</math> 到 <math>B,C</math>，再从 <math>O</math> 向弦作垂线，垂线把等腰三角形 <math>BOC</math> 平分。若相应的小圆心角是 <math>\theta</math>，半弦长等于 <math>R\sin(\theta/2)</math>。由[[圆周角定理]]，<math>\theta/2</math> 或为 <math>A</math>，或为 <math>180^\circ-A</math>；两者正弦相同，故 <math>a=2R\sin A</math>。对其余两边重复，就得到三个相等的比值。这一步也解释钝角 <math>A</math> 时为何不能只把小圆心角机械写成 <math>2A</math>。

还可从面积核对三个比值。三角形面积一方面为 <math>bc\sin A/2</math>，另一方面为 <math>ca\sin B/2</math>；等面积并约去非零的 <math>c/2</math>，得到 <math>b\sin A=a\sin B</math>，即 <math>a/\sin A=b/\sin B</math>。同理可得第三组。这个证明给出了比值相等，外接圆构造进一步指出共同值是 <math>2R</math>。

设 <math>A=30^\circ</math> 且对边 <math>a=5</math>。由 <math>a/\sin A=5/(1/2)=10</math>，可知外接圆直径 <math>2R=10</math>。若再知 <math>B=45^\circ</math>，则 <math>b=10\sin45^\circ=5\sqrt2</math>。代回两个比例均为 10，完成数值核对。

== 两边一非夹角的歧义 ==
若只知道一条边、它的对角和另一条边，公式可能给出 <math>\sin B=s</math>。当 <math>0<s<1</math> 时，<math>B</math> 可能是锐角 <math>\arcsin s</math>，也可能是钝角 <math>180^\circ-\arcsin s</math>；还要检查与已知角相加是否小于 <math>180^\circ</math>。所以 SSA 数据可能确定两个、一个或零个三角形，不能只按计算器给出的主值作答。

例如给定 <math>A=30^\circ</math>、<math>a=5</math>、<math>b=8</math>，得 <math>\sin B=b\sin A/a=4/5</math>。<math>B</math> 可约为 <math>53.13^\circ</math> 或 <math>126.87^\circ</math>；两种情况下 <math>A+B<180^\circ</math>，所以确有两个三角形。用[[余弦定理]]核对第三边：<math>25=64+c^2-8\sqrt3c</math>，整理为 <math>c^2-8\sqrt3c+39=0</math>，两根分别是 <math>4\sqrt3+3</math> 与 <math>4\sqrt3-3</math>，都为正。两个角分支对应两个边长，舍去其中一根会丢失一个合法三角形。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-1-non-right-triangles-law-of-sines OpenStax，Precalculus 2e，§8.1 Law of Sines]。
* [https://www.ndsu.edu/pubweb/~micohen/spr15-math440/axgeomnotes.pdf NDSU《Axiomatic Geometry》几何讲义]。
* 继续阅读：[[外接圆与外心]]、[[余弦定理]]、[[三角形的面积公式]]。
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