正弦定理

在非退化三角形 $ABC$ 中，令 $a=BC,b=CA,c=AB$ 分别与角 $A,B,C$ 相对，外接圆半径为 $R$。正弦定理给出 $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$$ 它把一条边及其对角配成一组；把 $a$ 与邻角 $B$ 错配，就不再是同一关系。

从圆上的弦得到公式

边 $a=BC$ 是外接圆的一条弦，圆周角 $A$ 对着它。连圆心 $O$ 到 $B,C$，再从 $O$ 向弦作垂线，垂线把等腰三角形 $BOC$ 平分。若相应的小圆心角是 $\theta$，半弦长等于 $R\sin (\theta /2)$。由圆周角定理，$\theta /2$ 或为 $A$，或为 $180^{\circ }-A$；两者正弦相同，故 $a=2R\sin A$。对其余两边重复，就得到三个相等的比值。这一步也解释钝角 $A$ 时为何不能只把小圆心角机械写成 $2A$。

还可从面积核对三个比值。三角形面积一方面为 $bc\sin A/2$，另一方面为 $ca\sin B/2$；等面积并约去非零的 $c/2$，得到 $b\sin A=a\sin B$，即 $a/\sin A=b/\sin B$。同理可得第三组。这个证明给出了比值相等，外接圆构造进一步指出共同值是 $2R$。

设 $A=30^{\circ }$ 且对边 $a=5$。由 $a/\sin A=5/(1/2)=10$，可知外接圆直径 $2R=10$。若再知 $B=45^{\circ }$，则 $b=10\sin 45^{\circ }=5\sqrt{2}$。代回两个比例均为 10，完成数值核对。

两边一非夹角的歧义

若只知道一条边、它的对角和另一条边，公式可能给出 $\sin B=s$。当 $0<s<1$ 时，$B$ 可能是锐角 $\arcsin s$，也可能是钝角 $180^{\circ }-\arcsin s$；还要检查与已知角相加是否小于 $180^{\circ }$。所以 SSA 数据可能确定两个、一个或零个三角形，不能只按计算器给出的主值作答。

例如给定 $A=30^{\circ }$、$a=5$、$b=8$，得 $\sin B=b\sin A/a=4/5$。$B$ 可约为 $53.13^{\circ }$ 或 $126.87^{\circ }$；两种情况下 $A+B<180^{\circ }$，所以确有两个三角形。用余弦定理核对第三边：$25=64+c^2-8\sqrt{3}c$，整理为 $c^2-8\sqrt{3}c+39=0$，两根分别是 $4\sqrt{3}+3$ 与 $4\sqrt{3}-3$，都为正。两个角分支对应两个边长，舍去其中一根会丢失一个合法三角形。

参考资料

• OpenStax，Precalculus 2e，§8.1 Law of Sines。
• NDSU《Axiomatic Geometry》几何讲义。
• 继续阅读：外接圆与外心、余弦定理、三角形的面积公式。