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'''特征向量'''（eigenvector）是一个非零向量，经过方阵表示的线性变换后，仍落在原来的直线上；对应的缩放因子叫'''特征值'''（eigenvalue）。精确写法是
<math display="block">Av=\lambda v,\qquad v\ne0.</math>
因子 <math>\lambda</math> 可以为负，表示方向翻转；也可以为零，表示该向量被送到原点。非零条件不能省略，因为零向量对任意 <math>\lambda</math> 都满足等式，无法辨认变换的性质。

== 一个反复作用的例子 ==
令
<math display="block">A=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}.</math>
直接计算得 <math>A(1,0)^{\mathsf T}=2(1,0)^{\mathsf T}</math>：水平向量每次加倍；又有 <math>A(-1,1)^{\mathsf T}=(-1,1)^{\mathsf T}</math>：斜向量保持不变。这两个方向是独立的，可以把输入 <math>(0,1)</math> 拆成
<math display="block">(0,1)=(1,0)+(-1,1).</math>
因此作用 <math>k</math> 次后，
<math display="block">A^k(0,1)=2^k(1,0)+(-1,1)=(2^k-1,1).</math>
第 0、1、2、3 次的点依次是 <math>(0,1),(1,1),(3,1),(7,1)</math>。横坐标的增长不是凭图形猜出来的，而是两个特征方向各自变化后重新相加。

[[File:Gezhi-core-eigen-iteration.svg|frame|center|alt=矩阵反复作用下点零一、一一、三一、七一沿水平线向右移动，横坐标依次标为零一三七，并画出两个特征方向|输入先分解成两个特征方向；重复变换时，一部分每步乘二，另一部分不变。]]

== 特征方程的由来 ==
将 <math>Av=\lambda v</math> 移项得 <math>(A-\lambda I)v=0</math>。存在非零 <math>v</math> 的条件是方阵 <math>A-\lambda I</math> 不可逆，也就是它的[[行列式]]为零。本例
<math display="block">\det(A-\lambda I)=
\begin{vmatrix}2-\lambda&1\\0&1-\lambda\end{vmatrix}
=(2-\lambda)(1-\lambda).</math>
因此仅有两个实特征值 <math>\lambda=2</math>、<math>\lambda=1</math>。对 <math>\lambda=2</math>，方程 <math>(A-2I)v=0</math> 要求第二坐标为 0，得到水平特征方向；对 <math>\lambda=1</math>，要求两坐标相加为 0，得到 <math>(-1,1)</math> 的方向。求出根只是第一步，还须代回求向量。

将这两个特征向量排成可逆矩阵 <math>P=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}</math>，就有
<math display="block">AP=P\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad
A=P\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}P^{-1}.</math>
这叫'''对角化'''。两边连乘 <math>k</math> 次，中间的 <math>P^{-1}P</math> 抵消，得到 <math>A^k=P\,\operatorname{diag}(2^k,1)\,P^{-1}</math>。这正是前一节“分别缩放再相加”的矩阵表达。

== 特征值与对角化 ==
取剪切矩阵 <math>S=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}</math>。它的特征方程为 <math>(1-\lambda)^2=0</math>，只有特征值 1。解 <math>(S-I)v=0</math> 时第二坐标必须为 0，所以只有水平这一条独立特征方向，不能用它填满二维平面。重复作用仍可算出 <math>S^k=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}</math>，但不是由两条独立特征方向分别缩放得到。

实矩阵还可能没有'''实'''特征向量。例如平面旋转 <math>90^\circ</math> 的矩阵 <math>\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}</math> 把每条非零实向量转到垂直方向，不可能仍在原直线上；它在复数范围有特征值 <math>\pm i</math>。讨论“有没有特征方向”时，必须说明使用实数还是复数。

== 与模型的联系 ==
在人口分组、状态迁移或离散动力系统中，<math>x_{k+1}=Ax_k</math> 导致 <math>x_k=A^kx_0</math>。能对角化时，各特征方向分别按 <math>\lambda^k</math> 变化：<math>|\lambda|<1</math> 的部分衰减，<math>|\lambda|>1</math> 的部分增长，负值还会交替翻转。具体模型是否合理，仍取决于 <math>A</math> 的参数、单位和状态约束；特征值只描述给定线性更新的数学行为。

== 参考资料 ==
* [https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/least-squares-determinants-and-eigenvalues/eigenvalues-and-eigenvectors/ MIT OpenCourseWare，18.06SC，Eigenvalues and Eigenvectors]：特征方程和对角化。
* [https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/pages/syllabus/ MIT OpenCourseWare，18.06 课程大纲]：矩阵幂和差分方程中的特征值。
* 继续阅读：[[矩阵]]、[[行列式]]、[[差分方程模型]]、[[平衡点与稳定性]]。
[[分类:代数]]
[[分类:微分方程与动力系统]]