特征值与特征向量

特征向量（eigenvector）是一个非零向量，经过方阵表示的线性变换后，仍落在原来的直线上；对应的缩放因子叫特征值（eigenvalue）。精确写法是 $$Av=\lambda v,v\ne 0.$$ 因子 $\lambda$ 可以为负，表示方向翻转；也可以为零，表示该向量被送到原点。非零条件不能省略，因为零向量对任意 $\lambda$ 都满足等式，无法辨认变换的性质。

一个反复作用的例子

令 $$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$$ 直接计算得 $A(1,0{)}^{𝖳}=2(1,0{)}^{𝖳}$：水平向量每次加倍；又有 $A(-1,1{)}^{𝖳}=(-1,1{)}^{𝖳}$：斜向量保持不变。这两个方向是独立的，可以把输入 $(0,1)$ 拆成 $$(0,1)=(1,0)+(-1,1).$$ 因此作用 $k$ 次后， $$A^k(0,1)=2^k(1,0)+(-1,1)=(2^k-1,1).$$ 第 0、1、2、3 次的点依次是 $(0,1),(1,1),(3,1),(7,1)$。横坐标的增长不是凭图形猜出来的，而是两个特征方向各自变化后重新相加。

输入先分解成两个特征方向；重复变换时，一部分每步乘二，另一部分不变。

特征方程的由来

将 $Av=\lambda v$ 移项得 $(A-\lambda I)v=0$。存在非零 $v$ 的条件是方阵 $A-\lambda I$ 不可逆，也就是它的行列式为零。本例 $$det(A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}2-\lambda & 1\\ 0& 1-\lambda \end{array}\right|=(2-\lambda )(1-\lambda ).$$ 因此仅有两个实特征值 $\lambda =2$、$\lambda =1$。对 $\lambda =2$，方程 $(A-2I)v=0$ 要求第二坐标为 0，得到水平特征方向；对 $\lambda =1$，要求两坐标相加为 0，得到 $(-1,1)$ 的方向。求出根只是第一步，还须代回求向量。

将这两个特征向量排成可逆矩阵 $P=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$，就有 $$AP=P\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right),A=P\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)P^{-1}.$$ 这叫对角化。两边连乘 $k$ 次，中间的 $P^{-1}P$ 抵消，得到 $A^k=P\mathrm{diag}(2^k,1)P^{-1}$。这正是前一节“分别缩放再相加”的矩阵表达。

特征值与对角化

取剪切矩阵 $S=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$。它的特征方程为 $(1-\lambda {)}^2=0$，只有特征值 1。解 $(S-I)v=0$ 时第二坐标必须为 0，所以只有水平这一条独立特征方向，不能用它填满二维平面。重复作用仍可算出 $S^k=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)$，但不是由两条独立特征方向分别缩放得到。

实矩阵还可能没有实特征向量。例如平面旋转 $90^{\circ }$ 的矩阵 $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 把每条非零实向量转到垂直方向，不可能仍在原直线上；它在复数范围有特征值 $\pm i$。讨论“有没有特征方向”时，必须说明使用实数还是复数。

与模型的联系

在人口分组、状态迁移或离散动力系统中，$x_{k+1}=A{x}_k$ 导致 $x_k=A^k{x}_0$。能对角化时，各特征方向分别按 ${\lambda }^k$ 变化：$|\lambda |<1$ 的部分衰减，$|\lambda |>1$ 的部分增长，负值还会交替翻转。具体模型是否合理，仍取决于 $A$ 的参数、单位和状态约束；特征值只描述给定线性更新的数学行为。

参考资料

• MIT OpenCourseWare，18.06SC，Eigenvalues and Eigenvectors：特征方程和对角化。
• MIT OpenCourseWare，18.06 课程大纲：矩阵幂和差分方程中的特征值。
• 继续阅读：矩阵、行列式、差分方程模型、平衡点与稳定性。