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'''线性方程组'''（system of linear equations）要求若干个一次等式同时成立。'''高斯消元'''（Gaussian elimination）通过不改变解集的行运算，逐步消去未知数，最后回代；它也能辨认方程组是有唯一解、无解，还是有无穷多解。

先看平面上的两条直线：
<math display="block">2x+y=5,\qquad x-y=1.</math>
同时满足两式的点，就是两条直线的交点。第二式乘 2 后，从第一式减去它，得 <math>3y=3</math>，所以 <math>y=1</math>、<math>x=2</math>。图上的交点 <math>(2,1)</math> 与代入核对一致。

[[File:Gezhi-core-linear-intersection.svg|frame|center|alt=直线二x加y等于五与直线x减y等于一在二一处相交，标出交点和两条方程|每一条方程限定一条直线；同时满足两条，才是方程组的解。]]

== 消元保持解集 ==
对两个方程 <math>E_1=0</math>、<math>E_2=0</math>，把第二个改成 <math>E_2-cE_1=0</math>。若原来两式成立，新式当然成立；反过来，保留第一式后，用 <math>(E_2-cE_1)+cE_1=E_2</math> 可以恢复第二式。因此这一步前后的共同解完全相同。

交换两行、把某一行乘非零常数，也都能反向恢复。三种操作叫'''初等行变换'''。但把一行乘零会抹掉信息，不能算可逆操作；“把两行相加后只保留和”若同时丢掉两条原式，也不能保证等价。

== 三元方程组的完整计算 ==
考虑
<math display="block">\begin{cases}
x+y+z=6,\\
2x+y-z=1,\\
x-y+2z=5.
\end{cases}</math>
按变量 <math>x,y,z</math> 的顺序，把系数和右端写成增广矩阵。竖线右侧是常数，不是第四个未知数：
<math display="block">\left[\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&6\\
2&1&-1&1\\
1&-1&2&5
\end{array}\right].</math>
用第一行消去下面两行的 <math>x</math>，即 <math>R_2\leftarrow R_2-2R_1</math>、<math>R_3\leftarrow R_3-R_1</math>：
<math display="block">\left[\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&6\\
0&-1&-3&-11\\
0&-2&1&-1
\end{array}\right].</math>
第二行乘 <math>-1</math> 后是 <math>y+3z=11</math>。再用它消去第三行的 <math>y</math>，即新第三行加上新第二行的两倍：
<math display="block">\left[\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&6\\
0&1&3&11\\
0&0&7&21
\end{array}\right].</math>
从最后一行得到 <math>z=3</math>；第二行给出 <math>y=11-3\cdot3=2</math>；第一行给出 <math>x=6-2-3=1</math>。代回原式，三个左端分别为 <math>6,1,5</math>，验证了 <math>(1,2,3)</math> 的确是解。因为每一步可逆，而且每个未知数都有一个非零'''主元'''，这里没有剩下可自由选择的变量，解也唯一。

若某列预定的主元为零，可以与下方非零行交换；若整列下方都为零，就跳过这一列，留待辨认自由变量。计算机使用浮点数时，还常优先选绝对值较大的主元，以减轻舍入误差；精确代数和数值稳定性是两件事。

== 零行与解的三种情形 ==
考虑第二行是第一行两倍的方程组
<math display="block">x+y=3,\qquad 2x+2y=6.</math>
消元后第二行变成 <math>0=0</math>。它没有增加新约束，因此可令 <math>y=t</math>，得到全部解 <math>(x,y)=(3-t,t)</math>；图上是两条完全重合的直线。

若右端的 6 改成 7，消元后第二行变为 <math>0=1</math>。没有数能满足，原方程组无解；几何上两条直线平行且不同。非零主元覆盖所有未知数且不出现矛盾行时，才有唯一解。这个判断以后可用[[矩阵的秩]]精确表述。

== 矩阵语言和方法的边界 ==
把系数矩阵记为 <math>A</math>、未知量列向量记为 <math>u</math>、右端记为 <math>b</math>，方程组便是 <math>Au=b</math>。行变换等于对所有方程同时做等价改写；它不会改变解，但通常会改变系数矩阵原来的几何映射，所以中途的矩阵不应被误认为原来的变换。

高斯消元适合求精确的小方程组，也是一系列数值方法的基础。对巨大稀疏矩阵或含测量误差的数据，还需考虑存储、舍入和问题是否本来就无精确解；后一种情况可转向[[最小二乘法]]。若只想知道方阵是否可逆，[[行列式]]也给出一个判据，但实际求解时通常仍要消元。

若右端全是零，方程组称为齐次，总有零解；有自由变量时还会有非零解。若右端不全为零，必须先检查有无矛盾行：存在一个解时，全部解是它加上齐次方程组的全部解。这个判断与三维平面的交集及秩的条件，见[[三元线性方程组的解集]]。当三阶系数矩阵的行列式非零，还可以用[[克拉默法则]]逐列写出三个未知量；它适合小规模的符号计算。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/7-6-solving-systems-with-gaussian-elimination OpenStax，College Algebra 2e，§7.6 Solving Systems with Gaussian Elimination]：增广矩阵和行阶梯形。
* [https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/pages/syllabus/ MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra]：消元、主元与矩阵空间的课程路径。
* 继续阅读：[[矩阵的秩]]、[[行列式]]、[[线性代数]]。
[[分类:代数]]