线性方程组与高斯消元

线性方程组（system of linear equations）要求若干个一次等式同时成立。高斯消元（Gaussian elimination）通过不改变解集的行运算，逐步消去未知数，最后回代；它也能辨认方程组是有唯一解、无解，还是有无穷多解。

先看平面上的两条直线： $$2x+y=5,x-y=1.$$ 同时满足两式的点，就是两条直线的交点。第二式乘 2 后，从第一式减去它，得 $3y=3$，所以 $y=1$、$x=2$。图上的交点 $(2,1)$ 与代入核对一致。

每一条方程限定一条直线；同时满足两条，才是方程组的解。

消元保持解集

对两个方程 $E_1=0$、$E_2=0$，把第二个改成 $E_2-c{E}_1=0$。若原来两式成立，新式当然成立；反过来，保留第一式后，用 $(E_2-c{E}_1)+c{E}_1=E_2$ 可以恢复第二式。因此这一步前后的共同解完全相同。

交换两行、把某一行乘非零常数，也都能反向恢复。三种操作叫初等行变换。但把一行乘零会抹掉信息，不能算可逆操作；“把两行相加后只保留和”若同时丢掉两条原式，也不能保证等价。

三元方程组的完整计算

考虑 $$\{\begin{array}{c}x+y+z=6,\\ 2x+y-z=1,\\ x-y+2z=5.\end{array}$$ 按变量 $x,y,z$ 的顺序，把系数和右端写成增广矩阵。竖线右侧是常数，不是第四个未知数： $$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 2& 1& -1& 1\\ 1& -1& 2& 5\end{array}\right].$$ 用第一行消去下面两行的 $x$，即 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$、$R_3\leftarrow R_3-R_1$： $$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& -1& -3& -11\\ 0& -2& 1& -1\end{array}\right].$$ 第二行乘 $-1$ 后是 $y+3z=11$。再用它消去第三行的 $y$，即新第三行加上新第二行的两倍： $$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& 3& 11\\ 0& 0& 7& 21\end{array}\right].$$ 从最后一行得到 $z=3$；第二行给出 $y=11-3\cdot 3=2$；第一行给出 $x=6-2-3=1$。代回原式，三个左端分别为 $6,1,5$，验证了 $(1,2,3)$ 的确是解。因为每一步可逆，而且每个未知数都有一个非零主元，这里没有剩下可自由选择的变量，解也唯一。

若某列预定的主元为零，可以与下方非零行交换；若整列下方都为零，就跳过这一列，留待辨认自由变量。计算机使用浮点数时，还常优先选绝对值较大的主元，以减轻舍入误差；精确代数和数值稳定性是两件事。

零行与解的三种情形

考虑第二行是第一行两倍的方程组 $$x+y=3,2x+2y=6.$$ 消元后第二行变成 $0=0$。它没有增加新约束，因此可令 $y=t$，得到全部解 $(x,y)=(3-t,t)$；图上是两条完全重合的直线。

若右端的 6 改成 7，消元后第二行变为 $0=1$。没有数能满足，原方程组无解；几何上两条直线平行且不同。非零主元覆盖所有未知数且不出现矛盾行时，才有唯一解。这个判断以后可用矩阵的秩精确表述。

矩阵语言和方法的边界

把系数矩阵记为 $A$、未知量列向量记为 $u$、右端记为 $b$，方程组便是 $Au=b$。行变换等于对所有方程同时做等价改写；它不会改变解，但通常会改变系数矩阵原来的几何映射，所以中途的矩阵不应被误认为原来的变换。

高斯消元适合求精确的小方程组，也是一系列数值方法的基础。对巨大稀疏矩阵或含测量误差的数据，还需考虑存储、舍入和问题是否本来就无精确解；后一种情况可转向最小二乘法。若只想知道方阵是否可逆，行列式也给出一个判据，但实际求解时通常仍要消元。

若右端全是零，方程组称为齐次，总有零解；有自由变量时还会有非零解。若右端不全为零，必须先检查有无矛盾行：存在一个解时，全部解是它加上齐次方程组的全部解。这个判断与三维平面的交集及秩的条件，见三元线性方程组的解集。当三阶系数矩阵的行列式非零，还可以用克拉默法则逐列写出三个未知量；它适合小规模的符号计算。

参考资料

• OpenStax，College Algebra 2e，§7.6 Solving Systems with Gaussian Elimination：增广矩阵和行阶梯形。
• MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra：消元、主元与矩阵空间的课程路径。
• 继续阅读：矩阵的秩、行列式、线性代数。