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'''罗尔定理'''（Rolle’s theorem）规定：若 <math>f</math> 在 <math>[a,b]</math> 连续、在 <math>(a,b)</math> 可导，而且 <math>f(a)=f(b)</math>，那么至少有一个 <math>c\in(a,b)</math> 使 <math>f'(c)=0</math>。两端高度相同，曲线若在中途鼓起或凹下，就会出现水平切线；若完全平坦，每个内部点都满足结论。

== 用极值定理完成证明 ==
[[闭区间连续函数的最值定理]]保证函数在该区间能取到最大值和最小值。如果两者都等于共同端点值，函数是常数，结论立即成立。否则最大值或最小值中至少有一个不同于端点值，只能在内部某点 <math>c</math> 取得。函数在这个内部极值点可导：当 <math>c</math> 为最大值时，右侧差商不大于零，左侧差商不小于零；两侧若趋向同一个导数，那个数只能为零。最小值同理。这一步叫费马驻点定理，连同闭区间极值定理给出罗尔定理。

取 <math>f(x)=x(2-x)</math>、区间 <math>[0,2]</math>。两端函数值都是 0，<math>f'(x)=2-2x</math>，所以 <math>c=1</math>。曲线顶点 <math>(1,1)</math> 正处在中间。若把函数换成 <math>|x-1|</math>，端点值仍相等，谷底却不可导；区间内部找不到导数为零的点。可导条件正是排除这种尖点。

闭区间连续也不能省去。令 <math>f(x)=x</math>（<math>0\le x<1</math>）、<math>f(1)=0</math>，则 <math>f(0)=f(1)</math> 且内部导数始终为 1；在右端的跳跃使极值论证失效。罗尔定理是[[拉格朗日中值定理]]的直接起点：从函数中减去端点连线，使新的两个端点等高即可。

[[File:Gezhi-calculus-rolle.svg|frame|center|alt=抛物线在零与二两个端点等高，在中间一点有水平切线|端点同为零，曲线在内部最高处取得水平切线；定理不要求最高点一定落在区间中点。]]

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-4-the-mean-value-theorem OpenStax《Calculus Volume 1》§4.4]：罗尔定理与中值定理。
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-3-maxima-and-minima 同书 §4.3]：闭区间极值与驻点。
[[分类:分析]]
[[分类:微积分]]