罗尔定理

罗尔定理（Rolle’s theorem）规定：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导，而且 $f(a)=f(b)$，那么至少有一个 $c\in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(c)=0$。两端高度相同，曲线若在中途鼓起或凹下，就会出现水平切线；若完全平坦，每个内部点都满足结论。

用极值定理完成证明

闭区间连续函数的最值定理保证函数在该区间能取到最大值和最小值。如果两者都等于共同端点值，函数是常数，结论立即成立。否则最大值或最小值中至少有一个不同于端点值，只能在内部某点 $c$ 取得。函数在这个内部极值点可导：当 $c$ 为最大值时，右侧差商不大于零，左侧差商不小于零；两侧若趋向同一个导数，那个数只能为零。最小值同理。这一步叫费马驻点定理，连同闭区间极值定理给出罗尔定理。

取 $f(x)=x(2-x)$、区间 $[0,2]$。两端函数值都是 0，$f^{\prime }(x)=2-2x$，所以 $c=1$。曲线顶点 $(1,1)$ 正处在中间。若把函数换成 $|x-1|$，端点值仍相等，谷底却不可导；区间内部找不到导数为零的点。可导条件正是排除这种尖点。

闭区间连续也不能省去。令 $f(x)=x$（$0\le x<1$）、$f(1)=0$，则 $f(0)=f(1)$ 且内部导数始终为 1；在右端的跳跃使极值论证失效。罗尔定理是拉格朗日中值定理的直接起点：从函数中减去端点连线，使新的两个端点等高即可。

端点同为零，曲线在内部最高处取得水平切线；定理不要求最高点一定落在区间中点。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§4.4：罗尔定理与中值定理。
• 同书 §4.3：闭区间极值与驻点。