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'''量纲分析'''（dimensional analysis）通过长度、时间、质量等基本量的幂次关系，检查物理公式，找出不受单位选择影响的组合，并比较不同尺度的系统。它常能在完整求解之前确定某种比例关系。

== 摆长增加四倍，周期怎样变化 ==
一个理想单摆的摆长为 <math>\ell</math>，重力加速度为 <math>g</math>，摆球质量为 <math>m</math>。在相同振幅角下，把摆长从一米改成四米，周期是否也变为四倍？

先不求摆的运动方程，而是寻找能组成时间的量。长度的量纲记为 <math>L</math>，时间记为 <math>T</math>，质量记为 <math>M</math>。摆长的量纲是 <math>L</math>，重力加速度是 <math>LT^{-2}</math>，质量是 <math>M</math>。假设周期 <math>P</math> 可按这些量写成幂乘积
<math display="block">P=C\ell^ag^bm^c.</math>
<math>C</math> 是无量纲系数，<math>a,b,c</math> 是待求指数。左右量纲应相同，所以
<math display="block">T=L^{a+b}T^{-2b}M^c.</math>
逐项比较指数：左边没有质量因子，故 <math>c=0</math>；时间指数给出 <math>-2b=1</math>，故 <math>b=-1/2</math>；长度指数为零，故 <math>a+b=0</math>，得到 <math>a=1/2</math>。于是
<math display="block">P=C\sqrt{\frac\ell g}.</math>
在同一重力、相同振幅及这些模型假设下，摆长增加四倍，周期便增加 <math>\sqrt4=2</math> 倍。质量没有形成独立的时间尺度。

系数 <math>C</math> 仍未确定。振幅角 <math>\theta_0</math> 没有量纲，但它可以变化，所以更一般的关系是 <math>P=\sqrt{\ell/g}\,F(\theta_0)</math>。理想小振幅近似进一步给出方程 <math>\theta''+(g/\ell)\theta=0</math>，其角频率为 <math>\sqrt{g/\ell}</math>，这才得到 <math>P\approx2\pi\sqrt{\ell/g}</math>。平方根尺度来自量纲，<math>2\pi</math> 和小振幅适用范围来自运动方程。

== 一米与一百厘米，哪些东西变了 ==
摆长是一项物理量；长度 <math>L</math> 是它的量纲；米和厘米是可选择的单位。换成厘米时，一米记为一百厘米，<math>g</math> 的数值也由约 <math>9.8</math> 米每二次方秒变为约 <math>980</math> 厘米每二次方秒。比值 <math>\ell/g</math> 没变，所以算出的周期仍相同。

速度的量纲为 <math>LT^{-1}</math>，加速度为 <math>LT^{-2}</math>，力为 <math>MLT^{-2}</math>。相乘时量纲指数相加，相除时相减；可以相加的物理项则必须量纲相同。例如位移公式
<math display="block">s=v_0t+\frac12at^2</math>
右边两项都是长度。如果漏写一个 <math>t</math>，成为 <math>at/2</math>，这一项是速度，便不能与位移相加。

但把正确公式中的系数改成十七和九，量纲仍然一致。量纲检查可排除不一致式子，不能单独确定数值系数。类似地，功和力矩虽然量纲相同，物理含义仍不同。

指数、对数与三角函数的输入也应采用无量纲组合。例如 <math>e^{-t/\tau}</math> 中 <math>\tau</math> 是时间尺度，比值与秒或分钟的选择无关；直接写“负三秒”的指数就缺少这种单位不变性。摄氏温度与开尔文读数还涉及零点平移，热力学公式应使用其要求的绝对温度，不能只改单位名称。

== 无量纲组合怎样由矩阵找到 ==
将单摆变量 <math>P,\ell,g,m</math> 的量纲指数按列排好，按质量、长度、时间排列行，得到
<math display="block">D=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&1&1&0\\1&0&-2&0\end{pmatrix}.</math>
例如第三列 <math>(0,1,-2)^{\mathsf T}</math> 就表示 <math>g</math> 的量纲。若希望乘积 <math>\Pi=P^{z_1}\ell^{z_2}g^{z_3}m^{z_4}</math> 无量纲，三种总指数都应为零，即
<math display="block">Dz=0.</math>
逐行求解：<math>z_4=0</math>，<math>z_2+z_3=0</math>，<math>z_1-2z_3=0</math>。令 <math>z_1=1</math>，得到 <math>z=(1,-1/2,1/2,0)</math>，于是
<math display="block">\Pi=P\sqrt{g/\ell}.</math>
它没有单位，且无论用米还是厘米算，数值相同。

矩阵有四列、秩为三，零空间是一维。加上无量纲振幅 <math>\theta_0</math> 后，多了一列全零，便有两组独立无量纲量：<math>P\sqrt{g/\ell}</math> 与 <math>\theta_0</math>。前一节的未知函数 <math>F</math> 正是这两个量之间的关系。

Buckingham Π 定理把这一过程推广到 <math>n</math> 个变量：在量纲齐次、单位缩放适用及相应变量范围条件下，量纲矩阵秩为 <math>r</math>，就有 <math>n-r</math> 组独立的无量纲幂乘积，可用来表达关系。对正变量取对数后，单位变化成为线性平移；零空间中的向量与这些单位变化方向正交，给出保持不变的组合。这是“变量数减秩”的线性代数来源。

组合不唯一，例如对正值的 <math>\Pi</math> 使用 <math>\Pi^2</math> 也可表达同一尺度信息。若能把输出单值地解出，才进一步写成一个无量纲量等于其他无量纲量的函数；定理本身并不决定这个函数。

== 从流动变量中找出雷诺数 ==
考虑流体密度 <math>\rho</math>、速度尺度 <math>U</math>、长度尺度 <math>L_0</math>、动力黏度 <math>\mu</math>。量纲分别是 <math>ML^{-3}</math>、<math>LT^{-1}</math>、<math>L</math>、<math>ML^{-1}T^{-1}</math>。寻找无量纲乘积 <math>\rho^aU^bL_0^c\mu^d</math>，逐项列出指数条件：
<math display="block">a+d=0,\qquad -3a+b+c-d=0,\qquad-b-d=0.</math>
先选 <math>a=1</math>，第一式给出 <math>d=-1</math>，第三式给出 <math>b=1</math>，第二式再给出 <math>c=1</math>，得到雷诺数
<math display="block">\operatorname{Re}=\frac{\rho UL_0}{\mu}=\frac{UL_0}{\nu},\qquad\nu=\frac\mu\rho.</math>
<math>\nu</math> 称为运动黏度，量纲为 <math>L^2T^{-1}</math>，与动力黏度不同。

取教学数值 <math>\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}</math>、<math>U=0.2\ \mathrm{m/s}</math>、<math>L_0=0.01\ \mathrm m</math>、<math>\mu=0.001\ \mathrm{Pa\,s}</math>，代入得 <math>\operatorname{Re}=2000</math>。在流动方程中，惯性项的尺度为 <math>\rho U^2/L_0</math>，黏性项的尺度为 <math>\mu U/L_0^2</math>；两者相除正是雷诺数。因此它比较的是惯性与黏性效应的相对大小。

具体流态还与几何和边界条件有关，不能只由二千这个数判断任意流动是否转捩。雷诺数的物理用途来自它在方程中的位置。

== 预测阻力时，输出也要列入变量 ==
若目标是固定形状物体的阻力 <math>F_D</math>，还要把输出力列入清单，成为 <math>F_D,\rho,U,L_0,\mu</math> 五个量。对不可压缩、无相关自由表面作用的模型，量纲秩为三，可取两组独立组合：
<math display="block">\Pi_1=\frac{F_D}{\rho U^2L_0^2},\qquad\Pi_2=\operatorname{Re}.</math>
分母 <math>\rho U^2L_0^2</math> 的量纲为 <math>MLT^{-2}</math>，恰好是力。于是可在单值范围写成 <math>F_D/(\rho U^2L_0^2)=\Phi(\operatorname{Re})</math>，通过实验或流动计算确定 <math>\Phi</math>。[https://ocw.mit.edu/courses/res-12-001-topics-in-fluid-dynamics-fall-2024/pages/essay-2-dimensional-analysis-of-models-and-data-sets-similarity-solutions-and-scaling-analysis/ MIT：量纲分析与模型相似]

重复变量法可以选 <math>\rho,U,L_0</math>，因为它们的三列量纲独立；分别与阻力、黏度组合即可消去量纲。若选择量纲相关的变量，便缺少消去某个基本量纲的自由度。

这里默认尺度 <math>\rho,U,L_0</math> 为正，速度为零时应另外处理。若表面粗糙度 <math>k</math> 也影响阻力，就需加入 <math>k/L_0</math>；改变物体形状时，还要保留长宽比等几何量。遗漏一个重要变量不会被矩阵运算自动发现，变量清单首先来自物理问题。

== 为什么缩小的模型未必能同时保持所有相似条件 ==
设模型的长度为原型的 <math>\lambda</math> 倍，速度比记为 <math>q=U_{\mathrm m}/U_{\mathrm p}</math>。同一种流体意味着运动黏度相同，于是
<math display="block">\frac{\operatorname{Re}_{\mathrm m}}{\operatorname{Re}_{\mathrm p}}=q\lambda.</math>
保持雷诺数，必须取 <math>q=1/\lambda</math>。长度缩为十分之一，就需把速度增为十倍。

若流动还有重力自由表面效应，需要比较弗劳德数 <math>\operatorname{Fr}=U/\sqrt{gL_0}</math>。在同一重力下，它的比值为 <math>q/\sqrt\lambda</math>；保持它不变则要求 <math>q=\sqrt\lambda</math>。长度缩为十分之一时，速度反而应降到约 <math>0.316</math> 倍。

[[File:Gezhi-teaching-similarity-scales.svg|frame|center|alt=长度缩为十分之一的模型在同一流体同一重力下，匹配雷诺数要求速度十倍，匹配弗劳德数要求速度约零点三一六倍|同一个长度缩尺，对两种无量纲数提出不同的速度要求。]]

图中两条箭头从同一缩尺条件出发。上方保持惯性与黏性比，下方保持速度与重力波动尺度的比，它们不能由同一速度同时实现。若优先匹配弗劳德数，雷诺数比就成为 <math>\lambda^{3/2}\approx0.0316</math>；若还要匹配雷诺数，运动黏度也必须降到原型的约 <math>0.0316</math> 倍。[https://ocw.mit.edu/courses/2-20-marine-hydrodynamics-13-021-spring-2005/b014d38899d92006e897830ac4c6e3e2_lecture19.pdf MIT：Marine Hydrodynamics，Lecture 19]

量纲分析把这种冲突明确列了出来。实验中需根据主要机制决定匹配哪些量，并分析未匹配量的影响；只有当几何、边界条件和相关无量纲参数相应一致时，才可把模型结果换算到原型。

== 历史 ==
Buckingham 于 1914 年发表关于物理相似系统的工作，系统表达了后来称为 Π 定理的无量纲化方法。[https://www.nist.gov/blogs/taking-measure/life-buckingham-pi NIST：The Life of (Buckingham) Pi] 这一框架把已有的尺度与相似思想联系到单位变换，使多变量实验问题能够改写为更少的无量纲关系。

== 参考来源与延伸阅读 ==
* [https://www.nist.gov/blogs/taking-measure/life-buckingham-pi NIST：The Life of (Buckingham) Pi]，历史与单位缩放说明。
* [https://ocw.mit.edu/courses/res-12-001-topics-in-fluid-dynamics-fall-2024/pages/essay-2-dimensional-analysis-of-models-and-data-sets-similarity-solutions-and-scaling-analysis/ MIT：Dimensional Analysis of Models and Data Sets]，模型相似与尺度分析。
* [https://ocw.mit.edu/courses/2-20-marine-hydrodynamics-13-021-spring-2005/b014d38899d92006e897830ac4c6e3e2_lecture19.pdf MIT：Marine Hydrodynamics，Lecture 19]：雷诺数与弗劳德数同时匹配的限制。
* 先修：[[矩阵]]、[[向量空间]]；相关：[[数学建模]]、[[微分方程]]、[[一阶线性微分方程]]。
[[分类:应用与建模]]