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'''2021年国赛A题：“FAST”主动反射面的形状调节'''研究射电望远镜的反射面调节。已知面板、索网与促动器的几何数据，需要在实际调节限制下，让球面的一部分接近适合观测方向的抛物面，并评价信号接收效果。

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== 反射面怎样改变形状 ==
FAST 的主索网由三角网格组成，网格上安装反射面板，周边由支承结构固定。主索节点通过下拉索与地面的促动器相连。促动器伸缩时带动节点移动，从而改变反射面的整体形状。相邻面板留有缝隙，使调节过程中面板不因相互挤压或拉扯而变形。

[[File:Gezhi-contest-figures-2021-national-A-figure-1.png|frame|center|alt=原题图1：FAST整体三维示意。|原题图1：FAST整体三维示意。]]

[[File:Gezhi-contest-figures-2021-national-A-figure-2.png|frame|center|alt=原题图2：整体索网结构。|原题图2：整体索网结构。]]

[[File:Gezhi-contest-figures-2021-national-A-figure-3.png|frame|center|alt=原题图3：反射面板、主索网、下拉索及连接。|原题图3：反射面板、主索网、下拉索及连接。]]

题目区分两个状态：

* '''基准态：'''反射面属于半径约 300 米的球面，整体口径 500 米。
* '''工作态：'''其中口径 300 米的一部分被调节为近似旋转抛物面，用来把某一方向的平行电磁波汇聚到馈源舱。

设基准球面球心为 <math>C</math>、半径为 <math>R</math>。馈源舱接收平面的中心只能在另一个与基准球面同心的球面上移动，这个球面称为'''焦面'''。两球面的半径相差 <math>F=0.466R</math>；<math>F/R</math> 是题面使用的焦径比。

观测天体 <math>S</math> 时，馈源舱中心位于直线 <math>SC</math> 与焦面的相应交点 <math>P</math>。理想工作抛物面以 <math>SC</math> 为对称轴、以 <math>P</math> 为焦点。馈源舱真正接收信号的有效区域，是以其中心为圆心、直径 '''1 米'''的圆盘。

[[File:Gezhi-contest-figures-2021-national-A-figure-4.png|frame|center|alt=原题图4：基准球面、工作抛物面与馈源位置的剖面关系。|原题图4：基准球面、工作抛物面与馈源位置的剖面关系。]]

天体方向用方位角 <math>\alpha</math> 和仰角 <math>\beta</math> 表示：前者描述方向在水平 <math>xy</math> 平面上的投影与 <math>x</math> 正向的夹角，后者描述天体方向与该水平投影的夹角。坐标原点设在球心 <math>C</math>。

[[File:Gezhi-contest-figures-2021-national-A-figure-5.png|frame|center|alt=原题图5：天体方向的方位角与仰角定义。|原题图5：天体方向的方位角与仰角定义。]]

== 已知数据与调节限制 ==
系统给定 '''2226 个主索节点、6525 根主索、4300 块反射面板'''；面板数不计与周边支承结构连接的部分面板。各附件分别给出节点、促动器和面板之间的对应关系：

* 附件 1：全部主索节点的编号和坐标。
* 附件 2：促动器下端地锚点、基准态上端点的坐标，以及对应的主索节点编号。
* 附件 3：4300 块反射面板各自对应的主索节点编号。
* 附件 4：计算结果的填写格式。

建立模型时须保留以下条件。

# 基准态下，所有主索节点均在基准球面上；以节点坐标作为面板顶点坐标，每块面板本身是该球面的一部分。
# 面板上的排水孔直径小于 5 毫米，也小于所观测电磁波的波长。本题可把面板视为无孔面板。
# 入射及反射电磁波均按直线传播处理。
# 相邻节点间距离可随调节略有变化，但变化幅度不得超过 '''0.07%'''。
# 节点与促动器顶端之间的下拉索长度固定，不能把它当成可独立伸缩的部件。
# 促动器沿基准球面径向运动，以朝向球心为正方向。基准态伸缩量记为 0，允许范围为 '''−0.6 至 +0.6 米'''。

== 问题1：观测正上方天体 ==
当天体方向为 <math>\alpha=0^\circ,\ \beta=90^\circ</math> 时，结合面板调节条件，确定对应的理想抛物面。

== 问题2：倾斜观测方向的面板调节 ==
当天体方向变为 <math>\alpha=36.795^\circ,\ \beta=78.169^\circ</math> 时，确定理想抛物面，并建立反射面板调节模型，给出有关促动器的伸缩量，使实际反射面尽量接近这一理想形状。

按附件 4 的格式，把以下结果保存到 <code>result.xlsx</code>：理想抛物面的顶点坐标，以及调节后 300 米口径范围内主索节点的编号、位置坐标和相应促动器的伸缩量。

== 问题3：比较信号接收效果 ==
采用问题2得到的调节方案，计算馈源舱的'''接收比'''：分子为馈源舱有效区域接收到的反射信号，分母为 300 米口径范围内反射面的反射信号。将调节后的接收比与基准反射球面的接收比进行比较。

== 附件与来源 ==
* [https://www.mcm.edu.cn/upload_cn/node/669/HtbJEt9Nb655e46bebfa2a66ec63f940e2da156b.rar 下载2021年国赛官方赛题包]：A 题目录中包含原题 PDF、三份输入数据与结果格式附件。
* [https://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/90d223833c1eb50f899aa096a66c6896.html 全国大学生数学建模竞赛组委会：2021年赛题发布页]。本题正文依据完整的 3 页官方题面整理。

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[[分类:国赛赛题]]