欧拉公式：修订间差异

2026年9月20日 (日) 07:15的最新版本

欧拉公式（Euler's formula）把指数函数与圆周运动联系起来： $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ .$ 这里 $i^{2} = - 1$ ， $θ$ 是以弧度表示的实数角度。理解这条公式，可以先看一个具体问题：怎样用一次乘法，把平面上的向量转过一个指定角度？

乘一个数，怎样使向量转动

把平面上的点 $(x, y)$ 记作复数 $x + i y$ 。例如 $1 + i$ 表示从原点指向 $(1, 1)$ 的向量。乘以 $i$ 后， $i (1 + i) = i + i^{2} = - 1 + i,$ 终点变成 $(- 1, 1)$ ：向量长度未变，方向逆时针转了直角。对一般向量也一样， $i (x + i y) = - y + i x$ ，新坐标是 $(- y, x)$ 。

要转过别的角度，就需要单位圆上别的点。下图中，半径与横轴的夹角为 $θ$ ，横、纵坐标分别是 $\cos θ$ 与 $\sin θ$ 。因此这个点对应复数 $\cos θ + i \sin θ$ ，其长度为1。

复平面单位圆上角度为θ的点，横纵投影分别为余弦θ和正弦θ — 单位圆上的点同时记录两个坐标和一个方向角。

将 $x + i y$ 乘以它，展开得到 $(x + i y) (\cos θ + i \sin θ) = (x \cos θ - y \sin θ) + i (x \sin θ + y \cos θ) .$ 若原向量长为 $r$ 、方向角为 $α$ ，代入 $x = r \cos α$ 、 $y = r \sin α$ ，再用和角公式，新坐标就是 $(r \cos (α + θ), r \sin (α + θ))$ 。乘法确实把方向转过 $θ$ ，同时保留长度。

现在转动最初的 $1 + i$ ，取 $θ = π / 3$ ，也就是60度： $\begin{matrix} (1 + i) (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) & = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} + i \frac{1 + \sqrt{3}}{2} . \end{matrix}$ 新坐标约为 $(- 0.366, 1.366)$ ，平方和仍为2。原方向为45度，转后为105度，落在第二象限，与坐标符号吻合。用矩阵写同一变换，就是 $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) .$

为什么这个旋转数恰好是指数

前面的计算解释了 $\cos θ + i \sin θ$ ，还没有解释 $e^{i θ}$ 。实指数延伸到复数时，可以采用幂级数定义： $e^{z} = 1 + z + \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{3}}{3!} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} .$ 其中 $n! = 1 \cdot 2 \dots n$ ，规定 $0! = 1$ 。对任何固定复数 $z$ ，相邻项绝对值的比是 $| z | / (n + 1)$ ；从某项起小于 $1 / 2$ ，后面的绝对值之和受到收敛等比级数控制。因此级数绝对收敛，偶数项、奇数项可以分别收集。

代入 $z = i θ$ 。由于 $i^{2} = - 1$ 、 $i^{3} = - i$ 、 $i^{4} = 1$ ，幂次按四项循环： $\begin{matrix} e^{i θ} & = 1 + i θ - \frac{θ^{2}}{2!} - i \frac{θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{4}}{4!} + \dots \\ = (1 - \frac{θ^{2}}{2!} + \frac{θ^{4}}{4!} - \dots) + i (θ - \frac{θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{5}}{5!} - \dots) . \end{matrix}$ 两个括号分别是余弦与正弦的泰勒级数，欧拉公式由此成立。从圆的几何定义三角函数时，泰勒定理可以证明这两个展开：各阶导数的绝对值不超过1，余项不超过 $| θ |^{n + 1} / (n + 1)!$ ，对固定角度趋于零。标准三角函数导数采用弧度，所以这里的角度也采用弧度。

复指数还保留加法律。把两个绝对收敛的级数相乘，按总次数 $n$ 收集项，其系数为 $\sum_{k = 0}^{n} \frac{z^{k} w^{n - k}}{k! (n - k)!} = \frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) z^{k} w^{n - k} = \frac{(z + w)^{n}}{n!} .$ 最后一步是二项式定理，因而 $e^{z} e^{w} = e^{z + w}$ 。对纯虚指数，这恰好说先转 $α$ 再转 $β$ ，等于转 $α + β$ 。级数的代数性质与平面的旋转规律在这里相接。

从半周旋转到方程的全部根

转过半周，单位圆上的点为 $(- 1, 0)$ ，所以 $e^{i π} = - 1, e^{i π} + 1 = 0.$ 这称为欧拉恒等式。转过整周则回到原来的方向： $e^{i (θ + 2 π k)} = e^{i θ}$ ，其中 $k$ 是整数。方向相同不意味着角度数值只有一个。

这点在求根时尤其有用。求 $z^{3} = 8$ ，先写成 $z = r e^{i ϕ}$ ，其中 $r = | z | > 0$ 。代入得 $r^{3} e^{3 i ϕ} = 8$ 。比较长度， $r^{3} = 8$ ，所以 $r = 2$ ；比较方向， $3 ϕ = 2 π k$ 。取三个互不重复的方向，得到 $z = 2, 2 e^{2 π i / 3} = - 1 + i \sqrt{3}, 2 e^{4 π i / 3} = - 1 - i \sqrt{3} .$ 再增加 $k$ 就只是给这些根的角度增加整周，没有新根。三个根在半径2的圆上等角排列；它们的和为零，也与多项式 $z^{3} - 8$ 缺少二次项一致。

同理，对正整数 $n$ ， $z^{n} = 1$ 的全部根为 $e^{2 π i k / n}$ ， $k = 0, 1, \dots, n - 1$ 。令 $ζ = e^{2 π i / n}$ ，当 $n > 1$ 时，和 $S = 1 + ζ + \dots + ζ^{n - 1}$ 满足 $(1 - ζ) S = 1 - ζ^{n} = 0.$ 因为 $ζ \neq 1$ ，故 $S = 0$ 。这证明圆周上均匀排列的向量相互抵消。把公比换成 $ζ^{m}$ ，若整数 $m$ 不是 $n$ 的倍数，同样得到和为零；若是倍数，每项为1，和为 $n$ 。

把两个同频振动合成一个

考虑 $\cos t + \sqrt{3} \sin t$ 。欧拉公式允许把两项放进同一个复乘法： $(1 - i \sqrt{3}) e^{i t} = (\cos t + \sqrt{3} \sin t) + i (\sin t - \sqrt{3} \cos t) .$ 我们要的恰好是实部。系数 $1 - i \sqrt{3}$ 长为2，方向为 $- π / 3$ ，所以等于 $2 e^{- i π / 3}$ 。于是 $\cos t + \sqrt{3} \sin t = Re (2 e^{i (t - π / 3)}) = 2 \cos (t - π / 3) .$ 符号 $Re$ 表示取实部。原来的两项合成振幅2、相位 $- π / 3$ 的振动。振幅不是把1与 $\sqrt{3}$ 直接相加，因为两项的峰值并不同时到达。

同频振动都带有共同因子 $e^{i ω t}$ ，计算时可先相加复系数，再取实部。不同频率没有同一个这样的时间因子，通常仍需保留各自的振动。复指数在微分方程中也方便求导：一次求导乘以 $i ω$ ，两次乘以 $- ω^{2}$ ，因而直接给出 $y^{″} + ω^{2} y = 0$ 的振动解。

从圆周回到一般复指数

对实数 $x, y$ ，加法律给出 $e^{x + i y} = e^{x} (\cos y + i \sin y)$ ：实部 $x$ 控制长度 $e^{x}$ ，虚部 $y$ 控制方向。复指数从不等于零。

反过来，给定 $z = r e^{i θ} \neq 0$ ，求所有 $e^{w} = z$ 的解，会得到 $w = \log r + i (θ + 2 π k), k \in ℤ .$ 这就是复对数有多个值的原因。若只选幅角位于 $(- π, π]$ 的主值， $Log (- 1) = i π$ ，但 $Log (1) = 0$ ，故 $Log ((- 1) (- 1))$ 不等于两个 $Log (- 1)$ 之和。实数对数的乘积法则在复数中需要同时处理角度的选择。

共轭把角度反号： $\overline{e^{i θ}} = e^{- i θ}$ 。将这两个数相加、相减，分别保留实部、虚部，便有 $\cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}, \sin θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i} .$ 三角函数既可以画成圆上的坐标，也可以写成旋转指数的组合。

历史

棣莫弗在十八世纪研究复数的幂与角度之间的关系，欧拉则系统发展了指数、对数、三角函数与无穷级数的联系。《无穷分析引论》第一卷出版于1748年；Euler Archive E101保存了原著及书目信息。MacTutor：De Moivre与Euler记录了相关人物的工作。

此处讨论的复指数恒等式，与多面体顶点、棱、面之间的 $V - E + F = 2$ 同称“欧拉公式”，但属于不同问题。

来源与继续阅读

Euler Archive，E101：《Introductio in analysin infinitorum》卷一，1748：原著与出版记录。
Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》§2.2：复数、欧拉公式与常系数方程。
MacTutor：Leonhard Euler；Abraham de Moivre：历史背景。
相关：导数、矩阵、群、微分方程。

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-欧拉公式将复指数函数与三角函数联系起来，让代数、几何与分析在同一个等式中相遇。
+'''欧拉公式'''（Euler's formula）把指数函数与圆周运动联系起来：
+<math display="block">e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.</math>
+这里 <math>i^2=-1</math>，<math>\theta</math> 是以弧度表示的实数角度。理解这条公式，可以先看一个具体问题：怎样用一次乘法，把平面上的向量转过一个指定角度？
-{{定理|名称=欧拉公式|内容=<math display="block">e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math>|说明=对任意实数 <math>\theta</math> 成立，其中 <math>i^2=-1</math>。}}
+== 乘一个数，怎样使向量转动 ==
+把平面上的点 <math>(x,y)</math> 记作复数 <math>x+iy</math>。例如 <math>1+i</math> 表示从原点指向 <math>(1,1)</math> 的向量。乘以 <math>i</math> 后，
+<math display="block">i(1+i)=i+i^2=-1+i,</math>
+终点变成 <math>(-1,1)</math>：向量长度未变，方向逆时针转了直角。对一般向量也一样，<math>i(x+iy)=-y+ix</math>，新坐标是 <math>(-y,x)</math>。
-== 几何意义 ==
+要转过别的角度，就需要单位圆上别的点。下图中，半径与横轴的夹角为 <math>\theta</math>，横、纵坐标分别是 <math>\cos\theta</math> 与 <math>\sin\theta</math>。因此这个点对应复数 <math>\cos\theta+i\sin\theta</math>，其长度为1。
-<div class="math-unit-circle" role="img" aria-label="复平面上的单位圆，点的坐标为余弦θ与正弦θ"></div>
-在复平面上，复数 <math>e^{i\theta}</math> 表示单位圆上的一个点：它的实部是 <math>\cos\theta</math>，虚部是 <math>\sin\theta</math>，模长为 1。
-因此，乘以 <math>e^{i\theta}</math> 可以理解为绕原点逆时针旋转角度 <math>\theta</math>。指数的乘法法则恰好对应旋转角度的相加：
+[[File:Gezhi-euler-circle-theme.svg|frame|center|alt=复平面单位圆上角度为θ的点，横纵投影分别为余弦θ和正弦θ|单位圆上的点同时记录两个坐标和一个方向角。]]
-<math display="block">e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}.</math>
+将 <math>x+iy</math> 乘以它，展开得到
+<math display="block">(x+iy)(\cos\theta+i\sin\theta)=(x\cos\theta-y\sin\theta)+i(x\sin\theta+y\cos\theta).</math>
+若原向量长为 <math>r</math>、方向角为 <math>\alpha</math>，代入 <math>x=r\cos\alpha</math>、<math>y=r\sin\alpha</math>，再用和角公式，新坐标就是 <math>(r\cos(\alpha+\theta),r\sin(\alpha+\theta))</math>。乘法确实把方向转过 <math>\theta</math>，同时保留长度。
-这里的角度以弧度表示。随着角度变化，点在单位圆上连续运动；角度增加 <math>2\pi</math> 时，它回到原来的位置。
+现在转动最初的 <math>1+i</math>，取 <math>\theta=\pi/3</math>，也就是60度：
-<div style="clear:both"></div>
+<math display="block">\begin{aligned}
+(1+i)\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}2\right)
+&=\frac12+i\frac{\sqrt3}2+\frac i2-\frac{\sqrt3}2\\
+&=\frac{1-\sqrt3}2+i\frac{1+\sqrt3}2.
+\end{aligned}</math>
+新坐标约为 <math>(-0.366,1.366)</math>，平方和仍为2。原方向为45度，转后为105度，落在第二象限，与坐标符号吻合。用[[矩阵]]写同一变换，就是
+<math display="block">\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.</math>
-== 一个简短的证明 ==
+== 为什么这个旋转数恰好是指数 ==
-利用指数函数、正弦和余弦在原点的幂级数展开，可以直接看出三者的联系。对任意复数 <math>z</math>，指数函数可以用绝对收敛的级数定义：
+前面的计算解释了 <math>\cos\theta+i\sin\theta</math>，还没有解释 <math>e^{i\theta}</math>。实指数延伸到复数时，可以采用幂级数定义：
+<math display="block">e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.</math>
+其中 <math>n!=1\cdot2\cdots n</math>，规定 <math>0!=1</math>。对任何固定复数 <math>z</math>，相邻项绝对值的比是 <math>|z|/(n+1)</math>；从某项起小于 <math>1/2</math>，后面的绝对值之和受到收敛等比级数控制。因此级数绝对收敛，偶数项、奇数项可以分别收集。
-<math display="block">e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.</math>
+代入 <math>z=i\theta</math>。由于 <math>i^2=-1</math>、<math>i^3=-i</math>、<math>i^4=1</math>，幂次按四项循环：
+<math display="block">\begin{aligned}
+e^{i\theta}
+&=1+i\theta-\frac{\theta^2}{2!}-i\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\cdots\\
+&=\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\right)
++i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots\right).
+\end{aligned}</math>
+两个括号分别是余弦与正弦的泰勒级数，欧拉公式由此成立。从圆的几何定义三角函数时，泰勒定理可以证明这两个展开：各阶导数的绝对值不超过1，余项不超过 <math>|\theta|^{n+1}/(n+1)!</math>，对固定角度趋于零。标准三角函数导数采用弧度，所以这里的角度也采用弧度。
-令 <math>z=i\theta</math>，把偶数次项与奇数次项分开。由于 <math>i^{2k}=(-1)^k</math>、<math>i^{2k+1}=i(-1)^k</math>，得到
+复指数还保留加法律。把两个绝对收敛的级数相乘，按总次数 <math>n</math> 收集项，其系数为
+<math display="block">\sum_{k=0}^n\frac{z^kw^{n-k}}{k!(n-k)!}=\frac1{n!}\sum_{k=0}^n\binom nk z^kw^{n-k}=\frac{(z+w)^n}{n!}.</math>
+最后一步是二项式定理，因而 <math>e^ze^w=e^{z+w}</math>。对纯虚指数，这恰好说先转 <math>\alpha</math> 再转 <math>\beta</math>，等于转 <math>\alpha+\beta</math>。级数的代数性质与平面的旋转规律在这里相接。
-<div class="math-proof">
+== 从半周旋转到方程的全部根 ==
-<math display="block">e^{i\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.</math>
+转过半周，单位圆上的点为 <math>(-1,0)</math>，所以
+<math display="block">e^{i\pi}=-1,\qquad e^{i\pi}+1=0.</math>
+这称为欧拉恒等式。转过整周则回到原来的方向：<math>e^{i(\theta+2\pi k)}=e^{i\theta}</math>，其中 <math>k</math> 是整数。方向相同不意味着角度数值只有一个。
-右边两个级数分别是 <math>\cos\theta</math> 和 <math>\sin\theta</math> 的幂级数，所以欧拉公式成立。
+这点在求根时尤其有用。求 <math>z^3=8</math>，先写成 <math>z=re^{i\phi}</math>，其中 <math>r=|z|>0</math>。代入得 <math>r^3e^{3i\phi}=8</math>。比较长度，<math>r^3=8</math>，所以 <math>r=2</math>；比较方向，<math>3\phi=2\pi k</math>。取三个互不重复的方向，得到
-<div class="math-proof-end">□</div>
+<math display="block">z=2,\quad 2e^{2\pi i/3}=-1+i\sqrt3,\quad 2e^{4\pi i/3}=-1-i\sqrt3.</math>
-</div>
+再增加 <math>k</math> 就只是给这些根的角度增加整周，没有新根。三个根在半径2的圆上等角排列；它们的和为零，也与多项式 <math>z^3-8</math> 缺少二次项一致。
-== 特殊情形 ==
+同理，对正整数 <math>n</math>，<math>z^n=1</math> 的全部根为 <math>e^{2\pi ik/n}</math>，<math>k=0,1,\ldots,n-1</math>。令 <math>\zeta=e^{2\pi i/n}</math>，当 <math>n>1</math> 时，和 <math>S=1+\zeta+\cdots+\zeta^{n-1}</math> 满足
-当 <math>\theta=\pi</math> 时，<math>\cos\pi=-1</math> 且 <math>\sin\pi=0</math>，于是得到欧拉恒等式：
+<math display="block">(1-\zeta)S=1-\zeta^n=0.</math>
+因为 <math>\zeta\ne1</math>，故 <math>S=0</math>。这证明圆周上均匀排列的向量相互抵消。把公比换成 <math>\zeta^m</math>，若整数 <math>m</math> 不是 <math>n</math> 的倍数，同样得到和为零；若是倍数，每项为1，和为 <math>n</math>。
-<math display="block">e^{i\pi}+1=0.</math>
+== 把两个同频振动合成一个 ==
+考虑 <math>\cos t+\sqrt3\sin t</math>。欧拉公式允许把两项放进同一个复乘法：
+<math display="block">(1-i\sqrt3)e^{it}=(\cos t+\sqrt3\sin t)+i(\sin t-\sqrt3\cos t).</math>
+我们要的恰好是实部。系数 <math>1-i\sqrt3</math> 长为2，方向为 <math>-\pi/3</math>，所以等于 <math>2e^{-i\pi/3}</math>。于是
+<math display="block">\cos t+\sqrt3\sin t=\operatorname{Re}(2e^{i(t-\pi/3)})=2\cos(t-\pi/3).</math>
+符号 <math>\operatorname{Re}</math> 表示取实部。原来的两项合成振幅2、相位 <math>-\pi/3</math> 的振动。振幅不是把1与 <math>\sqrt3</math> 直接相加，因为两项的峰值并不同时到达。
-当 <math>\theta=\pi/2</math> 时，<math>e^{i\pi/2}=i</math>，对应把正实轴上的单位向量旋转四分之一圈。
+同频振动都带有共同因子 <math>e^{i\omega t}</math>，计算时可先相加复系数，再取实部。不同频率没有同一个这样的时间因子，通常仍需保留各自的振动。复指数在[[微分方程]]中也方便求导：一次求导乘以 <math>i\omega</math>，两次乘以 <math>-\omega^2</math>，因而直接给出 <math>y''+\omega^2y=0</math> 的振动解。
-== 一个应用 ==
+== 从圆周回到一般复指数 ==
-把欧拉公式与它的共轭形式相加或相减，可得
+对实数 <math>x,y</math>，加法律给出 <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>：实部 <math>x</math> 控制长度 <math>e^x</math>，虚部 <math>y</math> 控制方向。复指数从不等于零。
-<math display="block">\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.</math>
+反过来，给定 <math>z=re^{i\theta}\ne0</math>，求所有 <math>e^w=z</math> 的解，会得到
+<math display="block">w=\log r+i(\theta+2\pi k),\qquad k\in\mathbb Z.</math>
+这就是复对数有多个值的原因。若只选幅角位于 <math>(-\pi,\pi]</math> 的主值，<math>\operatorname{Log}(-1)=i\pi</math>，但 <math>\operatorname{Log}(1)=0</math>，故 <math>\operatorname{Log}((-1)(-1))</math> 不等于两个 <math>\operatorname{Log}(-1)</math> 之和。实数对数的乘积法则在复数中需要同时处理角度的选择。
-这使三角函数问题可以转化成指数函数的运算，在振动、波动与微分方程中非常有用。
+共轭把角度反号：<math>\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}</math>。将这两个数相加、相减，分别保留实部、虚部，便有
+<math display="block">\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2,\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.</math>
+三角函数既可以画成圆上的坐标，也可以写成旋转指数的组合。
-== 相关条目 ==
+== 历史 ==
-* [[微积分]]：理解函数的变化与累积。
+棣莫弗在十八世纪研究复数的幂与角度之间的关系，欧拉则系统发展了指数、对数、三角函数与无穷级数的联系。《无穷分析引论》第一卷出版于1748年；[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/101/ Euler Archive E101]保存了原著及书目信息。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_Moivre/ MacTutor：De Moivre]与[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler/ Euler]记录了相关人物的工作。
-* [[微分方程]]：描述随时间演化的系统。
-* [[环面]]：从参数方程走向空间曲面。
+此处讨论的复指数恒等式，与多面体顶点、棱、面之间的 <math>V-E+F=2</math> 同称“欧拉公式”，但属于不同问题。
+== 来源与继续阅读 ==
+* [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/101/ Euler Archive，E101：《Introductio in analysin infinitorum》卷一，1748]：原著与出版记录。
+* [https://www.jirka.org/diffyqs/html/sec_ccsol.html Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》§2.2]：复数、欧拉公式与常系数方程。
+* [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler/ MacTutor：Leonhard Euler]；[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_Moivre/ Abraham de Moivre]：历史背景。
+* 相关：[[导数]]、[[矩阵]]、[[群]]、[[微分方程]]。
 [[分类:分析]]