矩阵：修订间差异

2026年9月20日 (日) 07:16的最新版本

矩阵（matrix）是把一组数按行、列排成的长方形数表。矩阵的运算可以把多个数量之间的关系放在一起计算：一组方程的系数、一次平面变换，或几种投入与产出的关系，都能用矩阵表示。

理解矩阵，可以先记住一个具体含义：每一列记录一种单位输入会产生多少输出。 下面先用这个含义计算，再解释矩阵的乘法、方程和逆。本文主要使用实数；复数矩阵的基本运算遵循相同规则。

一张数表怎样表示一个计算过程

设有两种原料包，含有甲、乙两种成分。第一种包含甲一份、乙零份，第二种包含甲一份、乙一份。按“每行一种成分，每列一种原料包”排列，得到 $A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .$ 第一列 $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ 是第一种包的成分，第二列 $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ 是第二种包的成分。

取第一种包两包、第二种包一包，总成分是多少？先分别计算两类成分：甲有 $1 \times 2 + 1 \times 1 = 3$ 份，乙有 $0 \times 2 + 1 \times 1 = 1$ 份。把输入的两种包数竖排，计算可简写成 $A (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \times 2 + 1 \times 1 \\ 0 \times 2 + 1 \times 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) .$ 这就是矩阵乘向量。左边的向量记录投入，右边的向量记录产出。把两包和一包换成任意数量 $u, v$ ，便有 $A (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) = u (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + v (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} u + v \\ v \end{matrix}) .$ 中间的式子尤其有用：矩阵乘向量，就是用输入的各个数给矩阵各列加权，再相加。 实际配料量应非负；作为数学运算，这个式子对任意实数 $u, v$ 都有定义。

行、列与元素的记号

有 $m$ 行、 $n$ 列的矩阵称为 $m \times n$ 矩阵，第 $i$ 行、第 $j$ 列的数记作 $a_{i j}$ 。例如 $C = (\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 3 & 4 & 5 \end{matrix})$ 是一个二行三列矩阵， $c_{23} = 5$ 。下标先写行号，再写列号。

由于每列对应一种输入， $C$ 可以接收三个数；由于每行计算一种输出，结果有两个数。例如 $C (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \times 1 + 0 \times 2 - 1 \times 3 \\ 3 \times 1 + 4 \times 2 + 5 \times 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 26 \end{matrix}) .$ 因此 $m \times n$ 矩阵把 $n$ 个输入变成 $m$ 个输出。一般公式是 $(A x)_{i} = a_{i 1} x_{1} + \dots + a_{i n} x_{n} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j} .$ 求和号只是把前面逐项相乘再相加的过程压缩写下；它没有增加新的运算规则。

同形状矩阵的加法按对应位置进行；数乘则把每个元素乘以同一个数。例如 $(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 5 & 0 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 & 2 \\ 2 & 6 \end{matrix}) .$ 若两张表的行列分别表示相同种类的量，相加便是在合计它们。若一列是长度、另一列是时间，组合这些列以前仍需说明计算的实际含义。

矩阵乘矩阵：把两个过程接起来

回到原料矩阵 $A$ 。再设 $B = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), B (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 u \\ v \end{matrix}) .$ $B$ 先把第一种投入加倍， $A$ 再把投入换算成成分。连续计算得到 $A (B (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix})) = A (\begin{matrix} 2 u \\ v \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 u + v \\ v \end{matrix}) .$ 若想只用一个矩阵完成这两步，它的第一列应是输入 $(1, 0)$ 时的输出 $(2, 0)$ ，第二列应是输入 $(0, 1)$ 时的输出 $(1, 1)$ 。所以 $A B = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .$ 这里右边的 $B$ 先做，左边的 $A$ 后做。乘积的每一列，也就是把 $B$ 的对应列交给 $A$ 计算。由此得到通常的“行乘列”规则： $(A B)_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j} .$ 若 $A$ 是 $m \times n$ ， $B$ 是 $n \times p$ ，中间的 $n$ 相同，表示前一步输出的数量恰好等于后一步需要的输入数量；乘积是 $m \times p$ 。

交换两步会怎样？先做 $A$ ，再做 $B$ ，得到 $B (A (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix})) = B (\begin{matrix} u + v \\ v \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 u + 2 v \\ v \end{matrix}), B A = (\begin{matrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .$

相同输入一一先经过B再经过A得到三一，先A后B得到四一 — 从左向右跟踪同一个输入。上行对应 AB，下行对应 BA；两行中间结果相同，第二步不同使最终结果分开。

图中的箭头按实际执行顺序排列；乘积记号则把先执行的矩阵写在右边。

取 $(u, v) = (1, 1)$ ，两种次序分别得到 $(3, 1)$ 和 $(4, 1)$ 。这就说明矩阵乘法通常不交换。它仍满足结合律：三个过程依次执行，先把哪两步合并不改变总效果，因此 $A (B C) = (A B) C$ 。

从数表看到图形的变化

把 $(u, v)$ 看作平面点， $A$ 的作用仍是 $(u, v) \mapsto (u + v, v)$ ：点的高度不变，水平位置增加一个高度值。横轴上的点不动，越高的点向右移动得越多，这种变换称为剪切。

单位正方形的两个边向量经过剪切后变为一零和一一，围成平行四边形 — 先找两条从原点出发的边，再看它们的和：右上顶点由 (1,1) 移到 (2,1)。

图中单位正方形的四个顶点依次变为 $(0, 0), (1, 0), (2, 1), (1, 1)$ 。下边保持不变，上边整体右移一格，于是得到平行四边形。它的底和高仍为一，面积也仍为一。

一般二阶矩阵的两列 $(a, c)$ 与 $(b, d)$ 围成平行四边形。用四边形的有向面积公式，按顶点 $(0, 0), (a, c), (a + b, c + d), (b, d)$ 绕行一周，所得有向面积是 $\frac{1}{2} [a (c + d) + (a + b) d - c (a + b) - (c + d) b] = a d - b c .$ 这就是二阶行列式 $det A$ ；普通面积是它的绝对值，符号记录绕行方向。剪切矩阵的行列式为一。如果两列在同一直线上，围成的面积为零，平面就被压到一条线或一个点。

两列二一与一二围成面积三的平行四边形，两列一一与二二共线时面积为零 — 左图两列独立，面积为 2×2−1×1=3；右图两列共线，面积为 1×2−2×1=0。

图中每个小格的面积是一。右图虽然列向量都不为零，所有输入仍只能产生同一条线上的输出；行列式为零反映的是方向之间的依赖。

亲手改变矩阵

先保持 $a = d = 1, c = 0$ ，只改变 $b$ 。上边沿左右移动，底边与高都不变，因而面积不变。再选择“压成直线”，观察两个列向量怎样变得共线，正方形怎样失去面积。最后试着找一个面积仍为 1、方向却翻转的矩阵，用 $a d - b c$ 核验。

矩阵怎样改变平面

改变矩阵的四个数，观察单位正方形、两个基向量与面积怎样变化。

静态配图与完整推导见本节正文；交互演示需浏览器启用 JavaScript。

反过来计算：由输出寻找输入

现在给定目标输出 $b$ ，要找输入 $x$ ，就得到矩阵方程 $A x = b$ 。每一行是一条普通方程。例如 $(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 9 \end{matrix})$ 表示 ${\begin{matrix} x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 4, \\ 2 x_{1} + 4 x_{2} + 3 x_{3} = 9. \end{matrix}$ 第二式减去第一式的两倍： $(2 x_{1} - 2 x_{1}) + (4 x_{2} - 4 x_{2}) + (3 x_{3} - 2 x_{3}) = 9 - 8$ ，于是 $x_{3} = 1$ 。代回第一式，剩下 $x_{1} + 2 x_{2} = 3$ 。任取 $x_{2} = t$ ，就得到 $x = (\begin{matrix} 3 - 2 t \\ t \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), t \in ℝ .$ 例如 $t = 0$ 给出 $(3, 0, 1)$ ， $t = 1$ 给出 $(1, 1, 1)$ ，两者代入都产生同一输出。三个未知量只有两条独立约束，还留下一个可以自由改变的方向。

在第三坐标固定为一的平面中，解集为横坐标加两倍纵坐标等于三的直线，标出三零一与一一一两个解 — 这里画的是 x₃=1 这一层，横纵轴只表示 x₁、x₂，点旁仍标出完整的三个坐标。

两个标出的解之差是 $(- 2, 1, 0)$ ，沿这个方向移动，输出保持不变；直线上每个点都代表一个解。

消元之所以保留全部解，是因为操作可以撤销：交换两行可以换回来，加上另一行的倍数可以再减去。右端必须跟随同样的操作。若消元得到 $0 = 1$ ，则没有解；若每个未知量都被确定，则解唯一；否则保留自由参数。这比单纯比较方程数和未知数个数更准确。

核是所有产生零输出的输入，记作 $\ker A$ ；秩是列向量中独立方向的个数。上例第二列是第一列的两倍，第一、第三列独立，所以秩为二；核由 $(- 2, 1, 0)$ 的所有倍数组成。一般的维数关系及证明见线性代数，线性无关的含义见向量空间。

逆矩阵：完整撤销一次变换

若每种目标输出都对应唯一输入，就可以把计算反向进行。对方阵，这个反向过程用逆矩阵表示： $A^{- 1} A = A A^{- 1} = I .$ 单位矩阵 $I$ 的对角线为一，其余为零，乘上它等于不改变输入。

以 $M = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ 为例。给定输出 $(p, q)$ ，输入满足 $2 x + y = p$ 、 $x + y = q$ 。两式相减得 $x = p - q$ ，再代回得 $y = 2 q - p$ 。所以 $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} p \\ q \end{matrix}), M^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) .$ 逆矩阵的元素由反解方程得来，并非把原元素各自取倒数。给定输出 $(5, 3)$ ，逆运算得到 $(2, 1)$ ；代回有 $2 \times 2 + 1 = 5$ 、 $2 + 1 = 3$ 。

二阶矩阵 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 在 $a d - b c \neq 0$ 时，其逆为 $\frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}) .$ 将两矩阵相乘，非对角项分别是 $- a b + b a = 0$ 和 $c d - d c = 0$ ，两个对角项都是 $a d - b c$ ，除去这个数便得到 $I$ 。若行列式为零，两列不能提供两个独立方向，变换丢失信息，因而无法用双侧逆恢复整个平面。

逆若存在就是唯一的。若 $B, C$ 都能撤销 $A$ ，则 $B = B (A C) = (B A) C = C$ 。撤销两个连续操作还要倒序进行，因此 $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ 。

可逆与容易计算并不是一回事

考虑两个很接近的方程 ${\begin{matrix} x + y = 2, \\ x + (1 + ε) y = 2 + ε, \end{matrix} ε \neq 0.$ 相减得 $ε y = ε$ ，故 $x = y = 1$ 。如果第二个测量值增加 $δ$ ，相减后变为 $ε y = ε + δ$ ，于是 $y = 1 + \frac{δ}{ε}, x = 1 - \frac{δ}{ε} .$ 例如 $ε = 0.001$ ， $δ = 0.0001$ ，右端只改变万分之一，解却从 $(1, 1)$ 变成 $(0.9, 1.1)$ 。两条约束几乎在说同一件事，细小差异决定的那个方向就很敏感。

实际求解大矩阵时，通常直接消元或分解求解，而不先算完整逆矩阵。算出答案后，应把它代回原方程检查残差；若问题本身敏感，还需结合数据误差评价解的可靠程度。投影与不精确数据的拟合继续见最小二乘法。

矩阵语言怎样形成

《九章算术》的“方程”章已经用算筹排列系数并消去未知量，排列方向与今天的行列习惯不同，但可以辨认出对应的消元步骤。MAA 的研究介绍展示了原问题及其算法。

现代术语 matrix 由 Sylvester 于 1850 年使用，Cayley 在 1858 年的论文中系统研究矩阵运算。行列式、方程求解与线性变换逐渐汇入同一套记号，形成今天的矩阵理论。MacTutor 的矩阵与行列式史记载了这些工作。

参考资料与后续阅读

MIT OpenCourseWare，Gilbert Strang，18.06 Linear Algebra：矩阵乘法、消元、秩和逆矩阵。
Strang，《Introduction to Linear Algebra》第 3.5 节：行变换与四个基本子空间。
J. J. O’Connor、E. F. Robertson，Matrices and determinants：术语与理论形成史。
后续可读向量空间、线性代数、最小二乘法和图论。

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-矩阵是按行与列排列的元素构成的矩形数组。一个 <math>m\times n</math> 矩阵有 <math>m</math> 行、<math>n</math> 列；元素通常来自实数或复数。矩阵既可以记录数据，也可以在选定基后表示[[向量空间]]之间的线性映射。
+'''矩阵'''（matrix）是把一组数按行、列排成的长方形数表。矩阵的运算可以把多个数量之间的关系放在一起计算：一组方程的系数、一次平面变换，或几种投入与产出的关系，都能用矩阵表示。
-== 形状决定运算是否有意义 ==
+理解矩阵，可以先记住一个具体含义：'''每一列记录一种单位输入会产生多少输出。''' 下面先用这个含义计算，再解释矩阵的乘法、方程和逆。本文主要使用实数；复数矩阵的基本运算遵循相同规则。
-记 <math>A=(a_{ij})</math>，下标 <math>i</math> 表示行，<math>j</math> 表示列。同形状矩阵可逐项相加；数乘是把每项乘以同一个数。矩阵乘法则不是逐项相乘。
-若 <math>A</math> 是 <math>m\times n</math> 矩阵，<math>B</math> 是 <math>n\times p</math> 矩阵，乘积 <math>AB</math> 的形状为 <math>m\times p</math>，其元素是
+== 一张数表怎样表示一个计算过程 ==
-<math display="block">(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}.</math>
+设有两种原料包，含有甲、乙两种成分。第一种包含甲一份、乙零份，第二种包含甲一份、乙一份。按“每行一种成分，每列一种原料包”排列，得到
-中间维数必须相同。这条规则使得 <math>A(Bx)=(AB)x</math>，也就是先做 <math>B</math> 再做 <math>A</math> 的复合变换。
+<math display="block">A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.</math>
+第一列 <math>\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}</math> 是第一种包的成分，第二列 <math>\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}</math> 是第二种包的成分。
-== 矩阵乘向量：列的线性组合 ==
+取第一种包两包、第二种包一包，总成分是多少？先分别计算两类成分：甲有 <math>1\times2+1\times1=3</math> 份，乙有 <math>0\times2+1\times1=1</math> 份。把输入的两种包数竖排，计算可简写成
-设
+<math display="block">A\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+1\times1\\0\times2+1\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}.</math>
-<math display="block">A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}.</math>
+这就是矩阵乘向量。左边的向量记录投入，右边的向量记录产出。把两包和一包换成任意数量 <math>u,v</math>，便有
-那么 <math>Ax=(u+v,v)^{\mathsf T}</math>，也可看作第一列的 <math>u</math> 倍与第二列的 <math>v</math> 倍相加。上标 <math>\mathsf T</math> 表示转置，把行排列转为列排列。
+<math display="block">A\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=u\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+v\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u+v\\v\end{pmatrix}.</math>
+中间的式子尤其有用：'''矩阵乘向量，就是用输入的各个数给矩阵各列加权，再相加。''' 实际配料量应非负；作为数学运算，这个式子对任意实数 <math>u,v</math> 都有定义。
-[[File:Gezhi-matrix-shear.svg|frame|center|alt=单位正方形经过矩阵一一零一变换成为面积不变的平行四边形|变换 (u,v)→(u+v,v) 是水平剪切：横向基向量不变，纵向基向量移动到 (1,1)。]]
+== 行、列与元素的记号 ==
-例如 <math>A(1,1)^{\mathsf T}=(2,1)^{\mathsf T}</math>。这种“看列向量”的方法比孤立记忆乘法口令更容易理解矩阵的作用。
+有 <math>m</math> 行、<math>n</math> 列的矩阵称为 <math>m\times n</math> 矩阵，第 <math>i</math> 行、第 <math>j</math> 列的数记作 <math>a_{ij}</math>。例如
+<math display="block">C=\begin{pmatrix}2&0&-1\\3&4&5\end{pmatrix}</math>
+是一个二行三列矩阵，<math>c_{23}=5</math>。下标先写行号，再写列号。
-== 次序为什么不能交换 ==
+由于每列对应一种输入，<math>C</math> 可以接收三个数；由于每行计算一种输出，结果有两个数。例如
-取 <math>B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}</math>，表示横向拉伸两倍。计算得到
+<math display="block">C\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+0\times2-1\times3\\3\times1+4\times2+5\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\26\end{pmatrix}.</math>
-<math display="block">AB=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}2&2\\0&1\end{pmatrix}.</math>
+因此 <math>m\times n</math> 矩阵把 <math>n</math> 个输入变成 <math>m</math> 个输出。一般公式是
-因此 <math>AB\ne BA</math>。先拉伸再剪切与先剪切再拉伸不是同一变换。即使两个乘积都能计算，也不能默认相等；有时反过来的乘积甚至没有定义。
+<math display="block">(Ax)_i=a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j.</math>
+求和号只是把前面逐项相乘再相加的过程压缩写下；它没有增加新的运算规则。
-== 可逆性、秩与信息损失 ==
+同形状矩阵的加法按对应位置进行；数乘则把每个元素乘以同一个数。例如
-方阵 <math>A</math> 若存在 <math>A^{-1}</math> 使 <math>A^{-1}A=AA^{-1}=I</math>，称为可逆。上例的逆矩阵为 <math>\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}</math>，能把剪切还原。
+<math display="block">\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5&0\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&2\\2&6\end{pmatrix}.</math>
+若两张表的行列分别表示相同种类的量，相加便是在合计它们。若一列是长度、另一列是时间，组合这些列以前仍需说明计算的实际含义。
-矩阵的秩是列向量张成空间的维数，也等于行秩。例如 <math>C=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}</math> 的第二列是第一列的两倍，秩为 1。它把平面压缩到一条直线，不同输入可能得到相同输出，所以没有逆矩阵。
+== 矩阵乘矩阵：把两个过程接起来 ==
+回到原料矩阵 <math>A</math>。再设
+<math display="block">B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad B\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2u\\v\end{pmatrix}.</math>
+<math>B</math> 先把第一种投入加倍，<math>A</math> 再把投入换算成成分。连续计算得到
+<math display="block">A\left(B\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\right)=A\begin{pmatrix}2u\\v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2u+v\\v\end{pmatrix}.</math>
+若想只用一个矩阵完成这两步，它的第一列应是输入 <math>(1,0)</math> 时的输出 <math>(2,0)</math>，第二列应是输入 <math>(0,1)</math> 时的输出 <math>(1,1)</math>。所以
+<math display="block">AB=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}.</math>
+这里右边的 <math>B</math> 先做，左边的 <math>A</math> 后做。乘积的每一列，也就是把 <math>B</math> 的对应列交给 <math>A</math> 计算。由此得到通常的“行乘列”规则：
+<math display="block">(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.</math>
+若 <math>A</math> 是 <math>m\times n</math>，<math>B</math> 是 <math>n\times p</math>，中间的 <math>n</math> 相同，表示前一步输出的数量恰好等于后一步需要的输入数量；乘积是 <math>m\times p</math>。
-对 <math>2\times2</math> 矩阵，行列式为 <math>ad-bc</math>。实二维情形下，其绝对值给出面积缩放倍数，符号记录定向是否翻转。上例剪切的行列式为 1，所以保面积；<math>C</math> 的行列式为 0，面积被压为零。只有方阵才有通常意义下的行列式与双侧逆矩阵。
+交换两步会怎样？先做 <math>A</math>，再做 <math>B</math>，得到
+<math display="block">B\left(A\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\right)=B\begin{pmatrix}u+v\\v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2u+2v\\v\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}2&2\\0&1\end{pmatrix}.</math>
+[[File:Gezhi-teaching-matrix-order.svg|frame|center|alt=相同输入一一先经过B再经过A得到三一，先A后B得到四一|从左向右跟踪同一个输入。上行对应 AB，下行对应 BA；两行中间结果相同，第二步不同使最终结果分开。]]
-== 从方程组到数据 ==
+图中的箭头按实际执行顺序排列；乘积记号则把先执行的矩阵写在右边。
-方程组可以写成 <math>Ax=b</math>，但实际数值求解通常直接采用消元或矩阵分解，不必先显式计算逆矩阵。矩阵还用于图的邻接关系、坐标变换、最小二乘拟合等；若仅把表格存成矩阵，仍需解释每一行、每一列与单位代表什么。
-== 延伸阅读 ==
+取 <math>(u,v)=(1,1)</math>，两种次序分别得到 <math>(3,1)</math> 和 <math>(4,1)</math>。这就说明矩阵乘法通常不交换。它仍满足结合律：三个过程依次执行，先把哪两步合并不改变总效果，因此 <math>A(BC)=(AB)C</math>。
-* [https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/ MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra]：矩阵运算、列空间与线性方程组。
-* [[线性代数]] · [[向量空间]] · [[图论]]
+== 从数表看到图形的变化 ==
+把 <math>(u,v)</math> 看作平面点，<math>A</math> 的作用仍是 <math>(u,v)\mapsto(u+v,v)</math>：点的高度不变，水平位置增加一个高度值。横轴上的点不动，越高的点向右移动得越多，这种变换称为'''剪切'''。
+[[File:Gezhi-matrix-shear-theme.svg|frame|center|alt=单位正方形的两个边向量经过剪切后变为一零和一一，围成平行四边形|先找两条从原点出发的边，再看它们的和：右上顶点由 (1,1) 移到 (2,1)。]]
+图中单位正方形的四个顶点依次变为 <math>(0,0),(1,0),(2,1),(1,1)</math>。下边保持不变，上边整体右移一格，于是得到平行四边形。它的底和高仍为一，面积也仍为一。
+一般二阶矩阵的两列 <math>(a,c)</math> 与 <math>(b,d)</math> 围成平行四边形。用四边形的有向面积公式，按顶点
+<math display="block">(0,0),\ (a,c),\ (a+b,c+d),\ (b,d)</math>
+绕行一周，所得有向面积是
+<math display="block">\frac12\bigl[a(c+d)+(a+b)d-c(a+b)-(c+d)b\bigr]=ad-bc.</math>
+这就是二阶'''行列式''' <math>\det A</math>；普通面积是它的绝对值，符号记录绕行方向。剪切矩阵的行列式为一。如果两列在同一直线上，围成的面积为零，平面就被压到一条线或一个点。
+[[File:Gezhi-teaching-determinant-area.svg|frame|center|alt=两列二一与一二围成面积三的平行四边形，两列一一与二二共线时面积为零|左图两列独立，面积为 2×2−1×1=3；右图两列共线，面积为 1×2−2×1=0。]]
+图中每个小格的面积是一。右图虽然列向量都不为零，所有输入仍只能产生同一条线上的输出；行列式为零反映的是方向之间的依赖。
+=== 亲手改变矩阵 ===
+先保持 <math>a=d=1,c=0</math>，只改变 <math>b</math>。上边沿左右移动，底边与高都不变，因而面积不变。再选择“压成直线”，观察两个列向量怎样变得共线，正方形怎样失去面积。最后试着找一个面积仍为 1、方向却翻转的矩阵，用 <math>ad-bc</math> 核验。
+<math-experiment type="matrix" />
+== 反过来计算：由输出寻找输入 ==
+现在给定目标输出 <math>b</math>，要找输入 <math>x</math>，就得到矩阵方程 <math>Ax=b</math>。每一行是一条普通方程。例如
+<math display="block">\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}</math>
+表示
+<math display="block">\begin{cases}x_1+2x_2+x_3=4,\\2x_1+4x_2+3x_3=9.\end{cases}</math>
+第二式减去第一式的两倍：<math>(2x_1-2x_1)+(4x_2-4x_2)+(3x_3-2x_3)=9-8</math>，于是 <math>x_3=1</math>。代回第一式，剩下 <math>x_1+2x_2=3</math>。任取 <math>x_2=t</math>，就得到
+<math display="block">x=\begin{pmatrix}3-2t\\t\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb R.</math>
+例如 <math>t=0</math> 给出 <math>(3,0,1)</math>，<math>t=1</math> 给出 <math>(1,1,1)</math>，两者代入都产生同一输出。三个未知量只有两条独立约束，还留下一个可以自由改变的方向。
+[[File:Gezhi-teaching-matrix-solutions.svg|frame|center|alt=在第三坐标固定为一的平面中，解集为横坐标加两倍纵坐标等于三的直线，标出三零一与一一一两个解|这里画的是 x₃=1 这一层，横纵轴只表示 x₁、x₂，点旁仍标出完整的三个坐标。]]
+两个标出的解之差是 <math>(-2,1,0)</math>，沿这个方向移动，输出保持不变；直线上每个点都代表一个解。
+消元之所以保留全部解，是因为操作可以撤销：交换两行可以换回来，加上另一行的倍数可以再减去。右端必须跟随同样的操作。若消元得到 <math>0=1</math>，则没有解；若每个未知量都被确定，则解唯一；否则保留自由参数。这比单纯比较方程数和未知数个数更准确。
+'''核'''是所有产生零输出的输入，记作 <math>\ker A</math>；'''秩'''是列向量中独立方向的个数。上例第二列是第一列的两倍，第一、第三列独立，所以秩为二；核由 <math>(-2,1,0)</math> 的所有倍数组成。一般的维数关系及证明见[[线性代数]]，线性无关的含义见[[向量空间]]。
+== 逆矩阵：完整撤销一次变换 ==
+若每种目标输出都对应唯一输入，就可以把计算反向进行。对方阵，这个反向过程用'''逆矩阵'''表示：
+<math display="block">A^{-1}A=AA^{-1}=I.</math>
+单位矩阵 <math>I</math> 的对角线为一，其余为零，乘上它等于不改变输入。
+以 <math>M=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}</math> 为例。给定输出 <math>(p,q)</math>，输入满足 <math>2x+y=p</math>、<math>x+y=q</math>。两式相减得 <math>x=p-q</math>，再代回得 <math>y=2q-p</math>。所以
+<math display="block">\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix},\qquad M^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.</math>
+逆矩阵的元素由反解方程得来，并非把原元素各自取倒数。给定输出 <math>(5,3)</math>，逆运算得到 <math>(2,1)</math>；代回有 <math>2\times2+1=5</math>、<math>2+1=3</math>。
+二阶矩阵 <math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math> 在 <math>ad-bc\ne0</math> 时，其逆为
+<math display="block">\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.</math>
+将两矩阵相乘，非对角项分别是 <math>-ab+ba=0</math> 和 <math>cd-dc=0</math>，两个对角项都是 <math>ad-bc</math>，除去这个数便得到 <math>I</math>。若行列式为零，两列不能提供两个独立方向，变换丢失信息，因而无法用双侧逆恢复整个平面。
+逆若存在就是唯一的。若 <math>B,C</math> 都能撤销 <math>A</math>，则 <math>B=B(AC)=(BA)C=C</math>。撤销两个连续操作还要倒序进行，因此 <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>。
+== 可逆与容易计算并不是一回事 ==
+考虑两个很接近的方程
+<math display="block">\begin{cases}x+y=2,\\x+(1+\varepsilon)y=2+\varepsilon,\end{cases}\qquad \varepsilon\ne0.</math>
+相减得 <math>\varepsilon y=\varepsilon</math>，故 <math>x=y=1</math>。如果第二个测量值增加 <math>\delta</math>，相减后变为 <math>\varepsilon y=\varepsilon+\delta</math>，于是
+<math display="block">y=1+\frac\delta\varepsilon,\qquad x=1-\frac\delta\varepsilon.</math>
+例如 <math>\varepsilon=0.001</math>，<math>\delta=0.0001</math>，右端只改变万分之一，解却从 <math>(1,1)</math> 变成 <math>(0.9,1.1)</math>。两条约束几乎在说同一件事，细小差异决定的那个方向就很敏感。
+实际求解大矩阵时，通常直接消元或分解求解，而不先算完整逆矩阵。算出答案后，应把它代回原方程检查残差；若问题本身敏感，还需结合数据误差评价解的可靠程度。投影与不精确数据的拟合继续见[[最小二乘法]]。
+== 矩阵语言怎样形成 ==
+《九章算术》的“方程”章已经用算筹排列系数并消去未知量，排列方向与今天的行列习惯不同，但可以辨认出对应的消元步骤。[https://old.maa.org/press/periodicals/convergence/a-classic-from-china-the-nine-chapters-matrices MAA 的研究介绍]展示了原问题及其算法。
+现代术语 matrix 由 Sylvester 于 1850 年使用，Cayley 在 1858 年的论文中系统研究矩阵运算。行列式、方程求解与线性变换逐渐汇入同一套记号，形成今天的矩阵理论。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants/ MacTutor 的矩阵与行列式史]记载了这些工作。
+== 参考资料与后续阅读 ==
+* [https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/ MIT OpenCourseWare，Gilbert Strang，18.06 Linear Algebra]：矩阵乘法、消元、秩和逆矩阵。
+* [https://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/ila5/linearalgebra5_3-5.pdf Strang，《Introduction to Linear Algebra》第 3.5 节]：行变换与四个基本子空间。
+* [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants/ J. J. O’Connor、E. F. Robertson，Matrices and determinants]：术语与理论形成史。
+* 后续可读[[向量空间]]、[[线性代数]]、[[最小二乘法]]和[[图论]]。
 [[分类:代数]]