群：修订间差异

2026年9月20日 (日) 07:16的最新版本

群（group）是由一个集合和一种运算组成的数学结构：任意两个元素都能运算，结果仍在集合中；运算满足结合律，有单位元，每个元素都有逆元。群适合描述能够组合、能够撤销的操作，例如转动一个图形、置换一组对象，或给整数加上某个数。

理解群，可以从一个正方形出发。我们记录每次操作对顶点的影响，再从这些操作中提炼一般规则。

转动正方形：四种操作的计算

把正方形放在平面上，中心固定。令 $r$ 表示逆时针旋转九十度， $e$ 表示保持不动。连续做两次 $r$ 记为 $r^{2}$ ，三次记为 $r^{3}$ 。做四次便转完一圈，故 $r^{4} = e$ 。

保持正方形轮廓的旋转恰有四种： $C_{4} = {e, r, r^{2}, r^{3}} .$ 我们把“先后执行两个操作”作为运算，写成乘法。这里的幂表示反复做同一个操作，而不是给坐标逐项乘方。例如 $r^{3} r^{2} = r^{5} = r$ 表示总共转五个四分之一圈，效果与转一次相同。计算旋转次数时，只需保留除以四的余数，见同余。

正方形的四个旋转状态，有色顶点依次移动到相邻位置并在第四次回到原位 — 跟踪有色顶点可以区别四种旋转。颜色只帮助追踪，不属于必须固定的对称条件。

图中正方形的轮廓每次都重合，但有色顶点的位置不同，所以这四种操作彼此不同。旋转九十度的撤销操作是旋转二百七十度： $r r^{3} = r^{3} r = e$ 。旋转一百八十度则可以用自身撤销。

先做列中的操作，再做行中的操作
复合	$e$	$r$	$r^{2}$	$r^{3}$
$e$	$e$	$r$	$r^{2}$	$r^{3}$
$r$	$r$	$r^{2}$	$r^{3}$	$e$
$r^{2}$	$r^{2}$	$r^{3}$	$e$	$r$
$r^{3}$	$r^{3}$	$e$	$r$	$r^{2}$

每个格子的结果仍是四种旋转之一。整张表可用“次数相加，再取模四”独立算出。

从旋转中提取群的定义

设 $G$ 是集合， $a b$ 表示两个元素的运算。它构成群，需要以下规则。

首先是封闭性：任意 $a, b \in G$ ， $a b$ 都有唯一结果，且属于 $G$ 。对于旋转，连续旋转的效果仍是四种旋转之一。

其次是结合律：对任意三个元素， $(a b) c = a (b c) .$ 括号决定先把哪两步合并为一步，不改变三步本来的执行次序。对函数复合，两边作用在任意对象 $x$ 上都给出 $a (b (c (x)))$ ，所以满足结合律。

第三，存在单位元 $e$ ，使 $e a = a e = a$ 。第四，每个 $a$ 都有逆元 $a^{- 1}$ ，使 $a a^{- 1} = a^{- 1} a = e .$ 旋转群的单位元是不动操作，逆元是撤销该旋转的操作。

这些规则也适用于数字：整数在加法下构成群，单位元是零， $a$ 的逆元是 $- a$ ；非零实数在乘法下构成群，单位元是一，逆元是倒数。运算写作乘法只是通用记号，不要求它真的是数的乘法。

若使用非负整数与加法，正整数没有加法逆元，便不构成群；若使用所有实数与乘法，零没有乘法逆元，也不构成群。整数减法虽然封闭，却有 $(5 - 3) - 1 = 1$ 和 $5 - (3 - 1) = 3$ ，不满足结合律。每个例子都表明：集合与运算必须一起指定。

为什么群不要求交换律

在旋转群里， $a b = b a$ 成立。但把反射也加入，情况就不同了。取以原点为中心的正方形，定义 $r (x, y) = (- y, x), s (x, y) = (x, - y),$ 分别表示逆时针转九十度与关于横轴反射。约定 $r s$ 是先做右边的 $s$ ，再做左边的 $r$ 。跟踪点 $(1, 0)$ ： $(1, 0) \overset{s}{\to} (1, 0) \overset{r}{\to} (0, 1),$ $(1, 0) \overset{r}{\to} (0, 1) \overset{s}{\to} (0, - 1) .$

上下两排跟踪正方形右边中点，先反射再转动到上边，先转动再反射到下边 — 金点初始都在右边中点。上行先做 s 再做 r，下行先做 r 再做 s，最后落在不同位置。

结果不同，因此 $r s \neq s r$ 。群的定义仍然成立，只是不满足交换律。满足交换律的群称为阿贝尔群。

正方形的全部对称共有八种：四个旋转，以及四个反射。它们组成正方形的二面体群，可写成 ${e, r, r^{2}, r^{3}, s, r s, r^{2} s, r^{3} s} .$ 反射两次回到原处，所以 $s^{2} = e$ 。对一般点计算， $s r (x, y) = (- y, - x) = r^{- 1} s (x, y),$ 故 $s r = r^{- 1} s$ ：把反射移过一次旋转，旋转方向会反过来。例如 $s r^{2} = (s r) r = (r^{- 1} s) r = r^{- 1} (s r) = r^{- 2} s,$ 于是 $(r s) (r^{2} s) = r (s r^{2}) s = r r^{- 2} s s = r^{- 1} = r^{3} .$ 每一步只使用结合律和已证明的关系。少数基本操作与关系，便可以代替一张很大的运算表。

群中怎样解方程

逆元使我们能够撤销运算。若 $a x = b$ ，两边左乘 $a^{- 1}$ ： $a^{- 1} (a x) = a^{- 1} b, (a^{- 1} a) x = a^{- 1} b, x = a^{- 1} b .$ 相反，若 $x a = b$ ，应在右侧乘逆元，得到 $x = b a^{- 1}$ 。在非交换群中，乘在哪一侧会影响结果。

同样，若 $a b = a c$ ，左乘 $a^{- 1}$ 得 $b = c$ ，这称为消去律。它解释了旋转表中每行为何没有重复：若同一行两格相同，消去行元素后，两列元素也必须相同。有限群中每行与每列因此恰好各出现所有元素一次。

单位元和逆元也是唯一的。若 $e, f$ 都是单位元，则 $e = e f = f$ 。若 $b, c$ 都是 $a$ 的逆元，则 $b = b e = b (a c) = (b a) c = e c = c .$ 因此使用“该元素的逆元”不会产生歧义。

撤销两个连续操作时，顺序要反过来： $(a b)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1} .$ 直接检查即可看到原因： $(a b) (b^{- 1} a^{- 1}) = a (b b^{- 1}) a^{- 1} = e$ ；反向相乘也等于 $e$ 。这与矩阵乘积求逆使用同一条规律。

子群与等大的分块

群中的某些元素，如果使用原运算仍构成群，就形成子群。在正方形旋转群中，只取不动与转半圈，得到 $H = {e, r^{2}} .$ 它们相乘仍在其中，每个元素也有逆元，所以是子群。若取 ${e, r}$ ，因 $r r = r^{2}$ 不在其中，就不是子群。

把 $H$ 中每个元素左乘 $r$ ，得到另一组 $r H = {r, r^{3}}$ 。这两组恰好把四个旋转分完，而且每组都有两个元素。这种分组称为陪集。

一般地，子群 $H$ 的左陪集为 $g H = {g h : h \in H}$ 。为什么每组大小相同？映射 $h \mapsto g h$ 覆盖整个 $g H$ ；若 $g h_{1} = g h_{2}$ ，消去 $g$ 得 $h_{1} = h_{2}$ ，所以没有合并，元素逐一对应。

为什么不同组不会只重叠一部分？若 $a H$ 和 $b H$ 有共同元素，就有 $a h_{1} = b h_{2}$ ，从而 $a = b h_{2} h_{1}^{- 1}$ 。对任意 $h \in H$ ， $a h = b (h_{2} h_{1}^{- 1} h) \in b H,$ 因为括号内仍是子群元素。故 $a H \subseteq b H$ ；交换两者可得反向包含，所以两个陪集相同。

每个元素 $g$ 都属于 $g H$ ，因此陪集把整个群分成不重叠且等大的块。若群有限，就有拉格朗日定理： $| G | = [G : H] | H | .$ 竖线表示元素个数， $[G : H]$ 表示陪集个数。于是子群的大小必定整除群的大小。

一个元素 $a$ 的所有整数次幂组成循环子群；若最小正整数 $m$ 满足 $a^{m} = e$ ，则称 $m$ 为元素的阶，该子群恰有 $m$ 个元素。因此有限群中元素的阶也整除群的阶。正方形的四分之一圈旋转阶为四，半圈旋转阶为二。拉格朗日定理给出必要条件，并不保证群阶的每个因子都对应一个子群。

不同对象之间怎样保留运算

整数加法和正方形旋转可以联系起来：把整数 $n$ 送到 $r^{n}$ ，则 $r^{m + n} = r^{m} r^{n} .$ 先加整数再转换，与先分别转换再复合，效果相同。这样的映射叫群同态，一般写作 $φ (a b) = φ (a) φ (b)$ 。

这个例子中，四的倍数都被送到单位元；它们组成同态的核。两个整数得到同一旋转，当且仅当它们之差为四的倍数。如果先把整数按模四余数分为四类，再与四个旋转对应，就既保持运算，又一一对应，这称为同构。模四加法与四元素旋转群因而有相同的群结构，尽管一个用数字表示，另一个用图形操作表示。

群也可以作用在对象上。正方形的八种对称作用于四个顶点，固定一个顶点后，能把它送到任意另外的顶点。把它留在原处的对称只有两个：不动，以及沿经过它与对面顶点的对角线反射。因此八种操作按“把这个顶点送到哪里”分为四组，每组两种。这里群元素是操作，顶点是操作的对象；两者的数量无需相同。这种区分在研究对称计数时很有用，参见组合数学。

历史

十九世纪的群论与方程根的置换密切相关。Galois 用根之间允许的置换研究多项式方程何时能够用根式求解；Cauchy 系统研究置换的组合。Cayley 在 1854 年给出脱离具体置换的抽象群表述，后来的研究进一步形成现代公理体系。MacTutor 的抽象群史介绍了相关原著与贡献。

从旋转、置换到数字运算，群论保留下来的是组合和撤销的规律。正因如此，在矩阵中出现的可逆矩阵、在向量空间中出现的向量加法，也都可以用群的语言研究。

参考资料与后续阅读

Thomas W. Judson，Abstract Algebra: Theory and Applications，Definitions and Examples：群的定义与模型。
同书，Subgroups：子群与判据。
J. J. O’Connor、E. F. Robertson，Abstract groups：抽象群概念的历史。
前置可读集合、函数、同余；继续阅读矩阵、向量空间、欧拉公式。

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-'''群'''（group）是由一个集合及该集合上的二元运算组成的代数结构：运算满足结合律，存在单位元，且每个元素都有逆元。群把整数加法、模运算、几何对称和可逆变换中的共同规律抽取出来。群的对象不仅是元素集合，还包括指定的运算；同一个集合换一种运算，可能不再构成群。一般群不要求交换律，满足交换律的群称为阿贝尔群。
+'''群'''（group）是由一个集合和一种运算组成的数学结构：任意两个元素都能运算，结果仍在集合中；运算满足结合律，有单位元，每个元素都有逆元。群适合描述能够组合、能够撤销的操作，例如转动一个图形、置换一组对象，或给整数加上某个数。
-== 从可撤销的操作看见共同结构 ==
+理解群，可以从一个正方形出发。我们记录每次操作对顶点的影响，再从这些操作中提炼一般规则。
-把一张无标记的正方形绕中心旋转九十度，轮廓与原来重合；再旋转九十度，仍然如此。做若干次这样的操作，其合成依然保持轮廓。什么也不做是一种操作，每次旋转也都能通过反向旋转撤销。这些事实分别提示封闭性、单位元和逆元。连续操作无论先把哪几步括成一组，最终效果不变，则对应结合律。
-这里研究的是保持对象指定结构的变换，而不是所有看起来相似的动作。对正方形来说，“保持结构”可以指保持距离并把正方形映到自身；任意拉伸虽可逆，却不保持这个正方形。若给四个顶点永久涂上不同颜色并要求颜色不动，对称群还会缩小。因此谈论对称群时，必须说明哪些信息要求保持。
+== 转动正方形：四种操作的计算 ==
+把正方形放在平面上，中心固定。令 <math>r</math> 表示逆时针旋转九十度，<math>e</math> 表示保持不动。连续做两次 <math>r</math> 记为 <math>r^2</math>，三次记为 <math>r^3</math>。做四次便转完一圈，故 <math>r^4=e</math>。
-群也不一定来自图形。整数与加法构成群，单位元是零，整数的逆元是相反数；非零实数与乘法构成群，单位元是一，逆元是倒数。加法逆元与乘法逆元形态不同，但都承担“撤销该运算”的角色。把一般群运算写成乘法，只是一种符号约定，并不表示每个群都在做普通数字乘法。
+保持正方形轮廓的旋转恰有四种：
+<math display="block">C_4=\{e,r,r^2,r^3\}.</math>
+我们把“先后执行两个操作”作为运算，写成乘法。这里的幂表示反复做同一个操作，而不是给坐标逐项乘方。例如
+<math display="block">r^3r^2=r^5=r</math>
+表示总共转五个四分之一圈，效果与转一次相同。计算旋转次数时，只需保留除以四的余数，见[[同余]]。
-== 定义中的条件各排除什么 ==
+[[File:Gezhi-group-rotation-theme.svg|frame|center|alt=正方形的四个旋转状态，有色顶点依次移动到相邻位置并在第四次回到原位|跟踪有色顶点可以区别四种旋转。颜色只帮助追踪，不属于必须固定的对称条件。]]
-设集合为 <math>G</math>，运算记为 <math>\circ:G\times G\to G</math>。这个写法已经要求任意两个群元素的运算结果唯一且仍属于群，即运算封闭。其余条件为：
-* 对任意 <math>a,b,c\in G</math>，有 <math>(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)</math>。
-* 存在 <math>e\in G</math>，使 <math>e\circ a=a\circ e=a</math>。
-* 对每个 <math>a\in G</math>，存在 <math>a^{-1}\in G</math>，使 <math>a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e</math>。
-运算次序可以有影响，括号位置却没有影响。结合律与交换律处理的是不同问题，不能因为数字加法同时满足二者，就把它们合成一个条件。
-自然数加法即使包括零，仍缺少正整数的加法逆元，因此不是群。全体实数在乘法下失败于零没有逆元；只删去零就得到一个群。整数的非零部分在乘法下也不是群，因为二的倒数不在其中。这说明要同时检查运算和元素范围，不能只检查单位元。
+图中正方形的轮廓每次都重合，但有色顶点的位置不同，所以这四种操作彼此不同。旋转九十度的撤销操作是旋转二百七十度：<math>rr^3=r^3r=e</math>。旋转一百八十度则可以用自身撤销。
-整数上的减法是封闭的，却不满足结合律：<math>(5-3)-1=1</math>，而 <math>5-(3-1)=3</math>。它也没有双侧单位元，因为零虽然满足 <math>a-0=a</math>，却不满足 <math>0-a=a</math>。一个方便计算的运算并不必然构成群；缺失哪条规则应当明确指出。
+<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="正方形旋转群的运算表" tabindex="0">
-== 正方形旋转的完整运算 ==
-令 <math>r</math> 表示逆时针旋转九十度，<math>e</math> 表示不动。保持正方形的旋转恰为
-<math display="block">C_4=\{e,r,r^2,r^3\},\qquad r^4=e.</math>
-幂表示重复复合，不是把坐标逐项乘方。计算 <math>r^3r^2=r^5=r</math>，相当于先转一百八十度再转二百七十度，总计四百五十度，与九十度的效果相同。逆元分别为 <math>e^{-1}=e</math>、<math>r^{-1}=r^3</math>、<math>(r^2)^{-1}=r^2</math>、<math>(r^3)^{-1}=r</math>。
-[[File:Gezhi-group-rotation.svg|frame|center|alt=正方形在零度九十度一百八十度二百七十度旋转下的四种状态，用有色顶点跟踪位置|四次四分之一圈旋转回到初始状态。有色点只是跟踪工具；这里的对称条件不要求跟踪颜色固定。]]
-<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="正方形旋转群的乘法表" tabindex="0">
 {| class="wikitable"
-|+ 行元素与列元素复合后的结果
+|+ 先做列中的操作，再做行中的操作
-! <math>\circ</math> !! <math>e</math> !! <math>r</math> !! <math>r^2</math> !! <math>r^3</math>
+! 复合 !! <math>e</math> !! <math>r</math> !! <math>r^2</math> !! <math>r^3</math>
 |-
 ! <math>e</math>
@@ 第44行： / 第34行： @@
 |}
 </div>
+每个格子的结果仍是四种旋转之一。整张表可用“次数相加，再取模四”独立算出。
-表中每行每列恰好包含每个元素一次，这源于群中的消去律。不过一张具有这种排列性质的表，尚不能单独保证结合律；验证群仍需全部条件。这个旋转群可以用模四加法记录，元素对应旋转次数的余数。图形操作与整数运算之间的这种精确对应，是同构的第一个例子。
+== 从旋转中提取群的定义 ==
+设 <math>G</math> 是集合，<math>ab</math> 表示两个元素的运算。它构成群，需要以下规则。
-== 加入反射为什么改变了结构 ==
-再加入关于横轴的反射 <math>s(x,y)=(x,-y)</math>，而 <math>r(x,y)=(-y,x)</math>。约定 <math>rs</math> 表示先做右边的 <math>s</math>，再做左边的 <math>r</math>。作用于点 <math>(1,0)</math> 时，
-<math display="block">rs(1,0)=(0,1),\qquad sr(1,0)=(0,-1).</math>
-两个输出不同，因此 <math>rs\ne sr</math>。检查一个输入就足以证明两个函数不相等；若要证明它们相等，则必须对全部输入论证。
-正方形的全部旋转与反射组成八元素二面体群。它的元素可以写成 <math>e,r,r^2,r^3,s,rs,r^2s,r^3s</math>，并满足 <math>s^2=e</math> 和 <math>sr=r^{-1}s</math>。后一关系说明反射会反转旋转的方向。例如
-<math display="block">(rs)(r^2s)=r(sr^2)s=rr^{-2}s^2=r^{-1}=r^3.</math>
-计算中没有擅自交换因子，而是使用已知关系搬移反射。不同教材可能用不同下标记二面体群，所以明确“正方形的八元素群”比孤立写一个符号更可靠。
-这也解释了群论中“生成元和关系”的思想：少数基本操作可以生成很多元素，关系说明哪些操作串表示相同结果。不过列出一些关系不一定足以证明已经完整描述目标群，还需要检查没有遗漏或多算元素。对正方形，可以直接列出四个旋转、四个反射并验证它们不同，完成这一核验。
+首先是'''封闭性'''：任意 <math>a,b\in G</math>，<math>ab</math> 都有唯一结果，且属于 <math>G</math>。对于旋转，连续旋转的效果仍是四种旋转之一。
-== 逆元、消去与方程的证明 ==
+其次是'''结合律'''：对任意三个元素，
-群公理保证单位元唯一。若 <math>e</math> 与 <math>f</math> 都是单位元，则 <math>e=ef=f</math>。若 <math>b,c</math> 都是 <math>a</math> 的逆元，利用结合律，
+<math display="block">(ab)c=a(bc).</math>
-<math display="block">b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c.</math>
+括号决定先把哪两步合并为一步，不改变三步本来的执行次序。对函数复合，两边作用在任意对象 <math>x</math> 上都给出 <math>a(b(c(x)))</math>，所以满足结合律。
-因此“逆元”可以使用确定记号，而不是每次任选一个。结合律在中间一步承担了实质作用。
-若 <math>ab=ac</math>，在两边左乘 <math>a^{-1}</math> 得到 <math>b=c</math>，这叫左消去律；右消去同理。在方程 <math>ax=b</math> 中，唯一解为 <math>x=a^{-1}b</math>，而方程 <math>xa=b</math> 的解是 <math>x=ba^{-1}</math>。在非交换群中，这两种答案不能互换。
+第三，存在'''单位元''' <math>e</math>，使 <math>ea=ae=a</math>。第四，每个 <math>a</math> 都有'''逆元''' <math>a^{-1}</math>，使
+<math display="block">aa^{-1}=a^{-1}a=e.</math>
+旋转群的单位元是不动操作，逆元是撤销该旋转的操作。
-乘积的逆元要倒序：<math>(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}</math>，因为先撤销最后执行的一步，才能继续撤销前一步。代数核验为 <math>(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=e</math>，另一个方向也成立。若把这个公式误写成同序，问题根源通常是把群的结合律误当成了交换律。
+这些规则也适用于数字：整数在加法下构成群，单位元是零，<math>a</math> 的逆元是 <math>-a</math>；非零实数在乘法下构成群，单位元是一，逆元是倒数。运算写作乘法只是通用记号，不要求它真的是数的乘法。
-== 子群与陪集怎样控制元素个数 ==
+若使用非负整数与加法，正整数没有加法逆元，便不构成群；若使用所有实数与乘法，零没有乘法逆元，也不构成群。整数减法虽然封闭，却有 <math>(5-3)-1=1</math> 和 <math>5-(3-1)=3</math>，不满足结合律。每个例子都表明：集合与运算必须一起指定。
-群中一个子集若使用原运算也构成群，就称子群。例如偶整数是整数加法群的子群；正方形的旋转群是其全部对称群的子群。集合 <math>\{e,r^2\}</math> 是旋转群的子群，而 <math>\{e,r\}</math> 不是，因为两个 <math>r</math> 的积不在其中。一个常用判据是子集非空且对 <math>ab^{-1}</math> 封闭。
-子群判据的理由可以逐步展开。任取子集中一个元素，与它自身的逆相乘，得到单位元；再用单位元与任意元素构造逆元；最后有了逆元，就可由对“元素乘逆元”封闭推出对普通乘法封闭。结合律直接从原群继承。这个证明也说明为什么“非空”不能漏掉。
+== 为什么群不要求交换律 ==
+在旋转群里，<math>ab=ba</math> 成立。但把反射也加入，情况就不同了。取以原点为中心的正方形，定义
+<math display="block">r(x,y)=(-y,x),\qquad s(x,y)=(x,-y),</math>
+分别表示逆时针转九十度与关于横轴反射。约定 <math>rs</math> 是先做右边的 <math>s</math>，再做左边的 <math>r</math>。跟踪点 <math>(1,0)</math>：
+<math display="block">(1,0)\xrightarrow{s}(1,0)\xrightarrow{r}(0,1),</math>
+<math display="block">(1,0)\xrightarrow{r}(0,1)\xrightarrow{s}(0,-1).</math>
+[[File:Gezhi-teaching-group-order.svg|frame|center|alt=上下两排跟踪正方形右边中点，先反射再转动到上边，先转动再反射到下边|金点初始都在右边中点。上行先做 s 再做 r，下行先做 r 再做 s，最后落在不同位置。]]
-设 <math>H</math> 是有限群 <math>G</math> 的子群，左陪集 <math>gH</math> 是所有 <math>gh</math> 的集合。映射 <math>h\mapsto gh</math> 是双射，所以每个陪集都与 <math>H</math> 一样大。两个陪集若相交，从同一个交点出发使用逆元消去，就可证明它们完全相同；否则它们不相交。因此陪集把整个群分成等大的块，得到拉格朗日定理：
+结果不同，因此 <math>rs\ne sr</math>。群的定义仍然成立，只是不满足交换律。满足交换律的群称为'''阿贝尔群'''。
-<math display="block">|G|=[G:H]\,|H|.</math>
-这里 <math>[G:H]</math> 是陪集数，竖线表示有限元素个数。这个证明的关键是“分块且等大”，而不是偶然观察几个例子的除法。
-在四元素旋转群中，子群 <math>H=\{e,r^2\}</math> 有两个陪集，分别为 <math>H</math> 和 <math>rH=\{r,r^3\}</math>，所以 <math>4=2\cdot2</math>。一个元素反复相乘生成循环子群，因而其阶整除有限群的阶。元素的阶是回到单位元所需的最小正次数；若永远不回到单位元，则为无限阶。反过来，有限群阶的每个因子不一定对应某个子群，拉格朗日定理不能随意倒用。
+正方形的全部对称共有八种：四个旋转，以及四个反射。它们组成正方形的二面体群，可写成
+<math display="block">\{e,r,r^2,r^3,s,rs,r^2s,r^3s\}.</math>
+反射两次回到原处，所以 <math>s^2=e</math>。对一般点计算，
+<math display="block">sr(x,y)=(-y,-x)=r^{-1}s(x,y),</math>
+故 <math>sr=r^{-1}s</math>：把反射移过一次旋转，旋转方向会反过来。例如
+<math display="block">sr^2=(sr)r=(r^{-1}s)r=r^{-1}(sr)=r^{-2}s,</math>
+于是
+<math display="block">(rs)(r^2s)=r(sr^2)s=rr^{-2}ss=r^{-1}=r^3.</math>
+每一步只使用结合律和已证明的关系。少数基本操作与关系，便可以代替一张很大的运算表。
-== 同态让不同系统共享运算规律 ==
+== 群中怎样解方程 ==
-群同态 <math>\varphi:G\to H</math> 满足 <math>\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)</math>。它要求先运算再翻译，与先翻译再运算结果一致。把整数送到模四余数，是从整数加法群到模四加法群的同态；把余数送到对应的正方形旋转，是同构，因为还具有双射性。
+逆元使我们能够撤销运算。若 <math>ax=b</math>，两边左乘 <math>a^{-1}</math>：
+<math display="block">a^{-1}(ax)=a^{-1}b,\qquad (a^{-1}a)x=a^{-1}b,\qquad x=a^{-1}b.</math>
+相反，若 <math>xa=b</math>，应在右侧乘逆元，得到 <math>x=ba^{-1}</math>。在非交换群中，乘在哪一侧会影响结果。
-同态不一定保留所有信息。模四映射把相差四的倍数的整数合并，它的核恰为所有四的倍数。一般同态的核由映到目标单位元的元素构成，记录被遗忘的部分。若核只有原群单位元，同态就单射：两个元素有相同像时，它们的适当商落在核中，于是二者相同。这个证明把“信息不丢失”转成一个可检验的代数条件。
+同样，若 <math>ab=ac</math>，左乘 <math>a^{-1}</math> 得 <math>b=c</math>，这称为消去律。它解释了旋转表中每行为何没有重复：若同一行两格相同，消去行元素后，两列元素也必须相同。有限群中每行与每列因此恰好各出现所有元素一次。
-任意子群都能形成陪集，但要让陪集之间的乘法与代表元选择无关，需要正规子群这一额外条件。初学阶段不必展开商群全部理论，却应避免把任意分块都当成新群。同态的核必为正规子群，因而“按同态丢失的信息分组”有自然的运算意义。
+单位元和逆元也是唯一的。若 <math>e,f</math> 都是单位元，则 <math>e=ef=f</math>。若 <math>b,c</math> 都是 <math>a</math> 的逆元，则
+<math display="block">b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c.</math>
+因此使用“该元素的逆元”不会产生歧义。
-可逆 <math>n\times n</math> 矩阵在矩阵乘法下构成群，而全体同阶矩阵不是，因为奇异矩阵没有逆。[[向量空间]]的加法结构本身是阿贝尔群，另外还规定了标量乘法。群保留一种运算，向量空间保留更多相容结构，因此二者不是互相排斥的对象类别。
+撤销两个连续操作时，顺序要反过来：
+<math display="block">(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.</math>
+直接检查即可看到原因：<math>(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=e</math>；反向相乘也等于 <math>e</math>。这与[[矩阵]]乘积求逆使用同一条规律。
-=== 通过作用把抽象群重新连接到对象 ===
+== 子群与等大的分块 ==
-一个群作用在集合上，是给每个群元素指定一个对象集合的可逆变换，并要求单位元不改变对象、群乘法对应变换复合。正方形对称群作用在四个顶点上，就是最直接的例子。这里必须区分群元素和被作用的对象：群有八个元素，顶点集合却只有四个元素，它们不是同一集合。
+群中的某些元素，如果使用原运算仍构成群，就形成'''子群'''。在正方形旋转群中，只取不动与转半圈，得到
+<math display="block">H=\{e,r^2\}.</math>
+它们相乘仍在其中，每个元素也有逆元，所以是子群。若取 <math>\{e,r\}</math>，因 <math>rr=r^2</math> 不在其中，就不是子群。
-固定一个顶点，把所有群元素作用一遍，能到达的顶点组成它的轨道；始终把该顶点留在原处的群元素组成稳定子群。对于正方形的全部对称，四个顶点都能互相到达，所以轨道有四个元素。固定一个指定顶点的对称有两个：不动，以及沿经过该顶点与对面顶点的对角线反射。于是八个变换按目标顶点分成四组，每组两个。
+把 <math>H</math> 中每个元素左乘 <math>r</math>，得到另一组 <math>rH=\{r,r^3\}</math>。这两组恰好把四个旋转分完，而且每组都有两个元素。这种分组称为'''陪集'''。
-一般有限群作用也有“群的大小等于轨道大小乘稳定子群大小”的关系。理由仍是陪集：把指定对象送到同一目标的两个群元素，彼此只差一个稳定它的变换。这不是把图形算例硬套成公式，而是陪集分块在作用语言中的重述。它使群论能够处理“有多少本质不同的配置”，而不必把所有变换都当成彼此不同的结果。
+一般地，子群 <math>H</math> 的左陪集为 <math>gH=\{gh:h\in H\}</math>。为什么每组大小相同？映射 <math>h\mapsto gh</math> 覆盖整个 <math>gH</math>；若 <math>gh_1=gh_2</math>，消去 <math>g</math> 得 <math>h_1=h_2</math>，所以没有合并，元素逐一对应。
-不过轨道关系取决于选定的群。若只允许正方形旋转，反射得到的某些带方向图案未必与原图案同轨；若允许全部对称，它们又可能被视为相同。计数题中“旋转视为相同”“翻转也视为相同”是不同条件。群论不会替问题自动决定等价规则，而是在规则清楚以后提供一致的分类方法。
+为什么不同组不会只重叠一部分？若 <math>aH</math> 和 <math>bH</math> 有共同元素，就有 <math>ah_1=bh_2</math>，从而 <math>a=bh_2h_1^{-1}</math>。对任意 <math>h\in H</math>，
+<math display="block">ah=b(h_2h_1^{-1}h)\in bH,</math>
+因为括号内仍是子群元素。故 <math>aH\subseteq bH</math>；交换两者可得反向包含，所以两个陪集相同。
-同一个群还可能有不同作用，并非每一种作用都区分所有群元素。若某个非单位元把所有对象都固定，它在这次作用中就无法被观察到；只有作用没有这种信息损失时才称为忠实作用。正方形对称作用在全部顶点上是忠实的，而把每个群元素都规定为不改变一个单点集合，便得到不忠实的作用。区分群与具体作用，能避免把一个表示中的重合误认为群元素原本相同。
+每个元素 <math>g</math> 都属于 <math>gH</math>，因此陪集把整个群分成不重叠且等大的块。若群有限，就有'''拉格朗日定理'''：
+<math display="block">|G|=[G:H]\,|H|.</math>
+竖线表示元素个数，<math>[G:H]</math> 表示陪集个数。于是子群的大小必定整除群的大小。
-== 从方程的根到抽象运算 ==
+一个元素 <math>a</math> 的所有整数次幂组成循环子群；若最小正整数 <math>m</math> 满足 <math>a^m=e</math>，则称 <math>m</math> 为元素的阶，该子群恰有 <math>m</math> 个元素。因此有限群中元素的阶也整除群的阶。正方形的四分之一圈旋转阶为四，半圈旋转阶为二。拉格朗日定理给出必要条件，并不保证群阶的每个因子都对应一个子群。
-群论的重要来源之一是多项式方程根的置换。Galois 在十九世纪前期用允许的根置换研究方程何时能用根式求解；这与今天一开始就列出抽象公理的组织方式不同。Cauchy 研究置换的组合，Cayley 在 1854 年尝试脱离具体置换给出抽象群的表述，十九世纪后期的工作进一步稳定了定义。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_groups/ MacTutor：Abstract groups]区分了这些贡献。
-几何变换也是另一条来源，群不只是“解高次方程的一种技巧”。后来研究者把看似不同的系统按运算结构比较，生成元、同态与抽象分类成为核心方法。不能把 Galois 的早期群概念、Cayley 的抽象化和今天完整的教材定义写成同一时刻的单一发现。历史上的对象往往先被操作，随后才提炼出适用于各种对象的规则。
+== 不同对象之间怎样保留运算 ==
+整数加法和正方形旋转可以联系起来：把整数 <math>n</math> 送到 <math>r^n</math>，则
+<math display="block">r^{m+n}=r^m r^n.</math>
+先加整数再转换，与先分别转换再复合，效果相同。这样的映射叫'''群同态'''，一般写作 <math>\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)</math>。
-== English overview ==
+这个例子中，四的倍数都被送到单位元；它们组成同态的'''核'''。两个整数得到同一旋转，当且仅当它们之差为四的倍数。如果先把整数按模四余数分为四类，再与四个旋转对应，就既保持运算，又一一对应，这称为'''同构'''。模四加法与四元素旋转群因而有相同的群结构，尽管一个用数字表示，另一个用图形操作表示。
-<div lang="en" class="math-english-summary">
-A group is a set equipped with an associative binary operation, an identity element, and an inverse for every element. Closure is included in the requirement that the operation maps pairs of group elements back into the set. Commutativity is optional; groups that satisfy it are called abelian groups.
-Rotations of a square form a cyclic group with four elements. Including reflections produces an eight element group in which the order of operations matters. These examples explain why associativity must not be confused with commutativity. The group axioms imply uniqueness of identities and inverses, cancellation laws, and the reversal of order when a product is inverted.
+群也可以作用在对象上。正方形的八种对称作用于四个顶点，固定一个顶点后，能把它送到任意另外的顶点。把它留在原处的对称只有两个：不动，以及沿经过它与对面顶点的对角线反射。因此八种操作按“把这个顶点送到哪里”分为四组，每组两种。这里群元素是操作，顶点是操作的对象；两者的数量无需相同。这种区分在研究对称计数时很有用，参见[[组合数学]]。
-A subgroup is a smaller group using the same operation. Its cosets partition a finite group into equally sized pieces, which proves Lagrange's theorem. Homomorphisms preserve the operation, while their kernels record information that is lost. An isomorphism preserves the complete group structure through a bijection. Historically, permutations of polynomial roots and geometric transformations helped motivate group theory before its abstract formulation became standard.
+== 历史 ==
-</div>
+十九世纪的群论与方程根的置换密切相关。Galois 用根之间允许的置换研究多项式方程何时能够用根式求解；Cauchy 系统研究置换的组合。Cayley 在 1854 年给出脱离具体置换的抽象群表述，后来的研究进一步形成现代公理体系。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_groups/ MacTutor 的抽象群史]介绍了相关原著与贡献。
-== 编者评注（AI 辅助） ==
+从旋转、置换到数字运算，群论保留下来的是组合和撤销的规律。正因如此，在[[矩阵]]中出现的可逆矩阵、在[[向量空间]]中出现的向量加法，也都可以用群的语言研究。
-本条用同一个正方形先展示交换的旋转群，再加入反射展示非交换性，避免把抽象条件堆成孤立清单。单位元、逆元和陪集定理都给出理由，使“按规则运算”与“证明规则后果”分开。历史叙述强调多条来源，未把群论归于一次发明。内容由 AI 辅助整理；评注只是教学选择。进一步学习商群时，应先掌握同态与核，不宜仅凭陪集记号猜测乘法一定成立。
 == 参考资料与后续阅读 ==