一阶线性微分方程：修订间差异

2026年9月20日 (日) 07:18的最新版本

一阶线性微分方程（first-order linear differential equation）研究未知函数的一阶导数与函数本身之间的线性关系。它常出现在“持续流入，同时按现有数量流出”的问题中。下面从水箱的盐量出发，推导解法，再说明它为何适用于一般的连续系数。

水一直在流，盐量怎样变化

设水箱始终有100升液体，每分钟流入、流出各5升；流入浓度为每升2克，箱内充分混合，初始是清水。令 $M (t)$ 为 $t$ 分钟时的盐质量，单位为克。

每分钟流入的盐为 $5 \times 2 = 10$ 克。流出液浓度与箱内相同，是 $M / 100$ 克每升，因此每分钟流出的盐为 $5 M / 100 = M / 20$ 克。盐量变化率等于流入减流出： $M^{'} = 10 - \frac{M}{20}, M (0) = 0.$ 开始没有盐流出，质量以每分钟10克增加；盐量升高后，流出部分也增多。若达到200克，流出恰为每分钟10克，与流入平衡。

图中流入和流出的体积速率相等，因此液体体积保持100升；两个盐质量速率却不同，因为流入浓度固定，流出浓度随箱内盐量变化。把图上两个质量速率相减，就得到方程右侧。

一百升充分混合水箱每分钟流入流出五升，入口浓度每升二克，出口浓度为盐量除以一百，质量速率分别为十和盐量除以二十 — 先算浓度乘体积流量，再写盐质量的收支；M的单位为克。

把两个未知项合成一个导数

整理得 $M^{'} + M / 20 = 10$ 。左侧有导数，也有函数本身。乘积求导公式提示： $\frac{d}{d t} (e^{t / 20} M) = e^{t / 20} M^{'} + \frac{1}{20} e^{t / 20} M = e^{t / 20} (M^{'} + \frac{M}{20}) .$ 乘上 $e^{t / 20}$ 后，左侧恰好变成这个乘积的导数。于是从0积分到 $t$ ， $e^{t / 20} M (t) - M (0) = \int_{0}^{t} 10 e^{s / 20} d s = 200 (e^{t / 20} - 1) .$ 代入初值，再除以正数 $e^{t / 20}$ ，得到 $M (t) = 200 (1 - e^{- t / 20}) .$ 10分钟后盐量约为78.69克；累计流入100克，其中约21.31克已随水流走。长期浓度趋于 $200 / 100 = 2$ 克每升，与流入液相同。求导可得 $M^{'} = 10 e^{- t / 20}$ ，与 $10 - M / 20$ 一致，初值也为零。

一般的一阶线性方程

水箱方程中的未知量是 $M$ 。把未知量统一记成 $y$ ，一般形式为 $y^{'} (t) + p (t) y (t) = q (t) .$ 已知函数 $p$ 决定随当前状态变化的那部分， $q$ 表示外加输入。水箱例中 $p = 1 / 20, q = 10$ 。若两系数在区间上连续，给出其中一个时刻的初值，便有该区间上的唯一解。

方程 $y^{'} + t^{2} y = \sin t$ 是线性的，虽然时间依赖可能相当复杂； $y^{'} + y^{2} = t$ 则不是，因为出现未知函数的平方。 $y y^{'} + y = 0$ 也不是所说的线性方程，因为未知函数与其导数相乘。这里的“线性”与解的图像是否笔直无关，指数曲线可以是线性微分方程的解。

若原式为 $a (t) y^{'} + b (t) y = c (t)$ ，需要先在 $a (t) \neq 0$ 的区间内除以 $a (t)$ ，才能识别 $p = b / a$ 与 $q = c / a$ 。最高阶导数的系数在哪里为零，会影响可用区间，不能在标准化时自动删去而忘记。

当 $q = 0$ 时，称为齐次线性方程；否则称为非齐次。对齐次方程，解的常数倍和线性组合仍是解。对非齐次方程，两个解相减满足齐次方程，但直接相加一般不再满足原方程，因为外加项也被加了两遍。线性结构提供的是有条件的叠加规律。

怎样选择积分因子

问题的难点是 $y^{'}$ 与 $p (t) y$ 同时出现。乘积法则给出 $(μ y)^{'} = μ y^{'} + μ^{'} y$ 。如果希望把原方程乘以 $μ$ 后的左侧合并为这个导数，就需要 $μ^{'} = p μ$ 。因此取 $P (t) = \int_{t_{0}}^{t} p (s) d s, μ (t) = e^{P (t)} .$ 这里 $t_{0}$ 可以选初始时刻， $s$ 是积分变量。指数从不为零，且 $μ (t_{0}) = 1$ ，于是原方程等价于 $(μ (t) y (t))^{'} = μ (t) q (t) .$ 水箱例的 $p = 1 / 20$ 给出 $P = t / 20$ ，正好恢复此前的因子。由于指数不为零，乘法及后续除法始终等价。

解公式及唯一性

对上式从 $t_{0}$ 到 $t$ 积分，并用初值 $y (t_{0}) = y_{0}$ ，得到 $μ (t) y (t) - y_{0} = \int_{t_{0}}^{t} μ (s) q (s) d s .$ 所以唯一候选为 $y (t) = e^{- P (t)} [y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} e^{P (s)} q (s) d s] .$ 若 $p, q$ 在所讨论区间连续，积分函数可导，令方括号内的函数为 $B (t)$ ，基本定理给出 $B^{'} = e^{P} q$ ，又有 $P^{'} = p$ 。因此 $y^{'} = - p e^{- P} B + e^{- P} B^{'} = - p y + q$ ；代入 $t = t_{0}$ ，积分为零且 $P (t_{0}) = 0$ ，得到 $y_{0}$ 。因此候选确实是解，存在性得到证明。

若还有另一个解 $\tilde{y}$ ，两者之差 $w = y - \tilde{y}$ 满足 $w^{'} + p w = 0$ 且 $w (t_{0}) = 0$ 。乘同一个积分因子，得到 $(μ w)^{'} = 0$ ，所以 $μ w$ 恒为零。由于 $μ \neq 0$ ，必有 $w = 0$ ，唯一性得到证明。这一论证不需要先知道一般非线性方程的存在唯一性定理。

上述结论适用于系数连续的整个区间：对区间内任意有限端点，积分都是有限闭子区间上的积分。即使区间无限，也不意味着解必须有界；例如 $y^{'} = y$ 的指数解可以一直存在而不断增大。关于本方法的教材讨论见 Jiří Lebl，§1.4。

更换初值以后，解相差多少

求解 $y^{'} + 2 y = 6$ ，初值 $y (0) = 1$ 。积分因子为 $e^{2 t}$ ，因此 $(e^{2 t} y)^{'} = 6 e^{2 t}, e^{2 t} y = 3 e^{2 t} + C .$ 解为 $y = 3 + C e^{- 2 t}$ ，初值给出 $C = - 2$ ，所以 $y = 3 - 2 e^{- 2 t}$ 。验证时，导数为 $4 e^{- 2 t}$ ，加上两倍原函数正好等于 6；初值也确为 1。

常数解 3 来自输入与衰减的平衡；指数项记录初始状态偏离平衡的程度，并随时间消失。解从 1 单调增加但始终低于 3。要求达到 2.9，解 $2 e^{- 2 t} = 0.1$ ，得 $t = (\log 20) / 2 \approx 1.498$ 。

若初值改为 5，则解成为 $3 + 2 e^{- 2 t}$ ，从上方降向同一个平衡。它说明同一外力下初值影响如何随时间衰减，并为后文的稳定性分析提供最简单的例子。

解对初值和外力有多敏感

相同外力下，两组初值相差 $d_{0}$ ，对应解的差精确为 $d (t) = d_{0} e^{- P (t)}$ 。若在未来时间上 $p (t) \geq α > 0$ ，则 $| d (t) | \leq | d_{0} | e^{- α (t - t_{0})}$ ，初值误差指数衰减。若 $p = - 2$ ，误差反而按 $e^{2 (t - t_{0})}$ 放大。线性并不自动意味着稳定。

对常系数 $p = k > 0$ ，如果外力又有误差 $δ q$ ，且 $| δ q (t) | \leq η$ ，同初值下的响应误差满足 $| d (t) | \leq \int_{t_{0}}^{t} e^{- k (t - s)} η d s = \frac{η}{k} (1 - e^{- k (t - t_{0})}), t \geq t_{0} .$ 这个界解释了持续的小输入误差不会无限累加，而受衰减机制限制。它也给出了量纲正确的误差规模：输入速率误差除以衰减率，才成为状态误差。

积分公式即使不能化成初等表达式，也已经给出解的表示。可以进一步使用数值积分近似其中的积分，并把系数、输入和数值误差分别记录。没有简洁闭式并不意味着该线性初值问题没有解。

系数随时间改变的例子

考虑 $y^{'} + (2 / t) y = t$ ，给定 $y (1) = 2$ 。由于系数在 0 无定义，先选择包含初始点的区间 $t > 0$ 。积分因子可取 $t^{2}$ ，因为其对数导数为 $2 / t$ 。于是 $(t^{2} y)^{'} = t^{3}, t^{2} y = \frac{t^{4}}{4} + C .$ 初值给出 $C = 7 / 4$ ，故 $y (t) = \frac{t^{2}}{4} + \frac{7}{4 t^{2}}, t > 0.$ 求导为 $t / 2 - 7 / (2 t^{3})$ ；再加 $(2 / t) y = t / 2 + 7 / (2 t^{3})$ ，总和正好为 $t$ ，验证通过。该解在 $t \to 0^{+}$ 时无界，不能跨过 0 继续作为有限解。

失效边界：不能跨过最高阶系数的零点

原式 $t y^{'} = y$ 在 $t \neq 0$ 可标准化为 $y^{'} - (1 / t) y = 0$ ，在每个正、负区间有解 $y = C t$ 。在 $t = 0$ ，原方程要求 $y (0) = 0$ ，但这个初始值不能确定斜率：所有 $C t$ 都通过原点。因此若从 $t = 0$ 给初值，前面的连续系数唯一性结论不适用。

反过来，给 $y (0) = 1$ 则根本不可能满足原方程在零点的等式。这里既可能失去唯一性，也可能失去存在性，原因不是积分因子“算坏了”，而是最高阶系数消失后，初值问题发生了结构变化。

分离变量法与积分因子法也应区分。 $y^{'} + p (t) y = q (t)$ 一般不能分成“只含 $y$ 的一边”和“只含 $t$ 的一边”；即便偶尔可以，除以未知函数也可能暂时排除零解。积分因子通过非零乘法处理，天然保留了齐次零解。

常数变易与叠加的另一种理解

齐次方程的解为 $y_{h} = C e^{- P (t)}$ 。为了处理非齐次项，让原来固定的 $C$ 变成未知函数 $C (t)$ ，代入 $y = C (t) e^{- P (t)}$ ，会发现涉及 $p C$ 的两项相消，只留下 $C^{'} (t) e^{- P (t)} = q (t)$ 。积分后正好得到相同的解公式，这就是常数变易思想在一阶情形的表现。

把解分成“齐次解加一个特解”，并不说明该分解唯一。若给特解加一个齐次解，再从齐次部分减去同一项，总解不变。真正确定的是满足给定初值的总解。对于外力 $q_{1} + q_{2}$ ，可以分别求相应的零初值响应后相加；初始响应只加入一次，才不会重复计算初始条件。

周期外力：瞬态如何让位给稳态

考虑 $y^{'} + 2 y = \cos t$ 。猜测一个同频率的特解 $y_{p} = A \cos t + B \sin t$ ，求导并比较正余弦系数，得到 $B + 2 A = 1$ 与 $- A + 2 B = 0$ ，所以 $A = 2 / 5, B = 1 / 5$ 。全部解因此为 $y (t) = C e^{- 2 t} + \frac{2}{5} \cos t + \frac{1}{5} \sin t .$ 若给定初值，只需代入一次确定 $C$ 。未来时间足够长时指数项消失，留下周期响应；其振幅为 $1 / \sqrt{5}$ ，相对输入存在相位滞后。可以用欧拉公式把这个三角计算组织成复数代数，但实系数线性结构仍然是取实部得到解的依据。

这个例子把两个常被混淆的词分开：稳态不一定是常数状态，可以是最终保留的周期行为；瞬态也不意味着严格持续一段有限时间后突然消失，指数项只是逐渐变小。若要报告“已稳定”，应给出允许误差，例如初始项的绝对值低于某个阈值，而不是把数学极限当成某个精确截止时刻。

输入突然改变时如何接合解

若外力在某个时刻突然切换，可以在各连续区间分别求解，再把前一区间的末状态作为后一区间初值。例如 $y^{'} + 2 y = 0$ 从初值零出发，在 $t = 1$ 后外力改为 6，则前段 $y = 0$ ，后段为 $y = 3 (1 - e^{- 2 (t - 1)})$ 。函数在切换时连续，但左导数为 0、右导数为 6，因此在该时刻没有通常的双侧导数。

这是分段经典解：它在切换时刻连续，并在两侧各自满足方程。有限输入的跃变改变变化率，积分累计得到的状态仍连续。

正性与比较：有些结论无需算出积分

由于积分因子始终为正，若初值非负且未来外力 $q (t) \geq 0$ ，解公式中的括号也非负，因此状态保持非负。这个结论与 $p$ 的正负无关；系数会改变增长或衰减的速度，却不会在这些条件下把状态凭空推到负值。

类似地，同一个系数函数下，若一个问题的初值和外力都不小于另一个，则把两个方程相减并用积分公式，得到前者的解也始终不小于后者。这是比较原理的一阶线性版本。对于流量、质量等不应为负的量，它既能提供定性信息，也能检查数值结果：若严格满足这些前提的精确模型给出负状态，应先排查公式、代码或步长。

积分因子本身并不唯一，乘任意非零常数仍是积分因子。最终解中这个倍数会从两边消去，不产生新的物理参数。采用从初始时刻出发的定积分，只是固定归一化，让初值项写得清楚；采用不定积分也能得到相同结果，但应避免把无关的积分常数重复计入。

历史与后续发展

一阶方程的系统求解伴随十七、十八世纪微积分发展。雅各布·伯努利在 1695 年提出后来以其命名的方程，莱布尼茨于 1697 年说明可用变量替换将它化为线性方程；有关书目线索见 MacTutor：Bernoulli's equation。这体现了线性方程作为可归约目标的早期地位。

积分因子还用于更广泛的微分方程。欧拉在十八世纪进一步发展其应用，相关工作记于 Euler 的学术传记。

来源与继续阅读

Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》§1.4：线性方程与积分因子。
MacTutor：Earliest Known Uses，Bernoulli's equation：1695、1697 年历史线索。
MacTutor 收录，Euler 学术传记：积分因子方法的十八世纪发展。
先修：导数、积分；相关：微分方程、洛吉斯蒂模型、向量空间。

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-'''一阶线性微分方程'''（first-order linear differential equation）是能够在某个区间写成
+'''一阶线性微分方程'''（first-order linear differential equation）研究未知函数的一阶导数与函数本身之间的线性关系。它常出现在“持续流入，同时按现有数量流出”的问题中。下面从水箱的盐量出发，推导解法，再说明它为何适用于一般的连续系数。
-<math display="block">y'(t)+p(t)y(t)=q(t)</math>
-的[[微分方程]]。未知函数为 <math>y</math>，已知系数 <math>p</math> 与外加项 <math>q</math> 仅依赖自变量 <math>t</math>。若两者在区间上连续，给定区间内一个初始值，就能得到该区间上的唯一解。积分因子法把左侧变成一个乘积的导数，从而将求解归结为一次积分。
+== 水一直在流，盐量怎样变化 ==
+设水箱始终有100升液体，每分钟流入、流出各5升；流入浓度为每升2克，箱内充分混合，初始是清水。令 <math>M(t)</math> 为 <math>t</math> 分钟时的盐质量，单位为克。
+每分钟流入的盐为 <math>5\times2=10</math> 克。流出液浓度与箱内相同，是 <math>M/100</math> 克每升，因此每分钟流出的盐为 <math>5M/100=M/20</math> 克。盐量变化率等于流入减流出：
+<math display="block">M'=10-\frac M{20},\qquad M(0)=0.</math>
+开始没有盐流出，质量以每分钟10克增加；盐量升高后，流出部分也增多。若达到200克，流出恰为每分钟10克，与流入平衡。
+图中流入和流出的体积速率相等，因此液体体积保持100升；两个盐质量速率却不同，因为流入浓度固定，流出浓度随箱内盐量变化。把图上两个质量速率相减，就得到方程右侧。
+[[File:Gezhi-analysis-linear-balance.svg|frame|center|alt=一百升充分混合水箱每分钟流入流出五升，入口浓度每升二克，出口浓度为盐量除以一百，质量速率分别为十和盐量除以二十|先算浓度乘体积流量，再写盐质量的收支；M的单位为克。]]
+== 把两个未知项合成一个导数 ==
+整理得 <math>M'+M/20=10</math>。左侧有导数，也有函数本身。乘积求导公式提示：
+<math display="block">\frac d{dt}(e^{t/20}M)=e^{t/20}M'+\frac1{20}e^{t/20}M=e^{t/20}\left(M'+\frac M{20}\right).</math>
+乘上 <math>e^{t/20}</math> 后，左侧恰好变成这个乘积的导数。于是从0积分到 <math>t</math>，
+<math display="block">e^{t/20}M(t)-M(0)=\int_0^t10e^{s/20}\,ds=200(e^{t/20}-1).</math>
+代入初值，再除以正数 <math>e^{t/20}</math>，得到
+<math display="block">M(t)=200(1-e^{-t/20}).</math>
+分钟后盐量约为78.69克；累计流入100克，其中约21.31克已随水流走。长期浓度趋于 <math>200/100=2</math> 克每升，与流入液相同。求导可得 <math>M'=10e^{-t/20}</math>，与 <math>10-M/20</math> 一致，初值也为零。
+== 一般的一阶线性方程 ==
+水箱方程中的未知量是 <math>M</math>。把未知量统一记成 <math>y</math>，一般形式为
+<math display="block">y'(t)+p(t)y(t)=q(t).</math>
+已知函数 <math>p</math> 决定随当前状态变化的那部分，<math>q</math> 表示外加输入。水箱例中 <math>p=1/20,q=10</math>。若两系数在区间上连续，给出其中一个时刻的初值，便有该区间上的唯一解。
-== 线性指的是未知量的出现方式 ==
 方程 <math>y'+t^2y=\sin t</math> 是线性的，虽然时间依赖可能相当复杂；<math>y'+y^2=t</math> 则不是，因为出现未知函数的平方。<math>yy'+y=0</math> 也不是所说的线性方程，因为未知函数与其导数相乘。这里的“线性”与解的图像是否笔直无关，指数曲线可以是线性微分方程的解。
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 当 <math>q=0</math> 时，称为齐次线性方程；否则称为非齐次。对齐次方程，解的常数倍和线性组合仍是解。对非齐次方程，两个解相减满足齐次方程，但直接相加一般不再满足原方程，因为外加项也被加了两遍。线性结构提供的是有条件的叠加规律。
-== 为何要乘一个看似额外的函数 ==
+== 怎样选择积分因子 ==
 问题的难点是 <math>y'</math> 与 <math>p(t)y</math> 同时出现。乘积法则给出 <math>(\mu y)'=\mu y'+\mu' y</math>。如果希望把原方程乘以 <math>\mu</math> 后的左侧合并为这个导数，就需要 <math>\mu'=p\mu</math>。因此取
 <math display="block">P(t)=\int_{t_0}^t p(s)\,ds,\qquad \mu(t)=e^{P(t)}.</math>
 这里 <math>t_0</math> 可以选初始时刻，<math>s</math> 是积分变量。指数从不为零，且 <math>\mu(t_0)=1</math>，于是原方程等价于
 <math display="block">(\mu(t)y(t))'=\mu(t)q(t).</math>
-额外因子并非凭空猜到的技巧，而是由“把两项配成一个导数”的要求确定。其非零性保证乘法与之后的除法不会丢失解。
+水箱例的 <math>p=1/20</math> 给出 <math>P=t/20</math>，正好恢复此前的因子。由于指数不为零，乘法及后续除法始终等价。
-== 解公式、存在性与唯一性的完整推导 ==
+== 解公式及唯一性 ==
 对上式从 <math>t_0</math> 到 <math>t</math> 积分，并用初值 <math>y(t_0)=y_0</math>，得到
 <math display="block">\mu(t)y(t)-y_0=\int_{t_0}^t\mu(s)q(s)\,ds.</math>
 所以唯一候选为
 <math display="block">y(t)=e^{-P(t)}\left[y_0+\int_{t_0}^t e^{P(s)}q(s)\,ds\right].</math>
-若 <math>p,q</math> 在所讨论区间连续，积分函数可导，直接对这个式子求导，乘积法则与基本定理给出 <math>y'+py=q</math>；代入 <math>t=t_0</math> 又得到 <math>y_0</math>。因此候选确实是解，存在性得到证明。
+若 <math>p,q</math> 在所讨论区间连续，积分函数可导，令方括号内的函数为 <math>B(t)</math>，基本定理给出 <math>B'=e^Pq</math>，又有 <math>P'=p</math>。因此 <math>y'=-pe^{-P}B+e^{-P}B'=-py+q</math>；代入 <math>t=t_0</math>，积分为零且 <math>P(t_0)=0</math>，得到 <math>y_0</math>。因此候选确实是解，存在性得到证明。
 若还有另一个解 <math>\widetilde y</math>，两者之差 <math>w=y-\widetilde y</math> 满足 <math>w'+pw=0</math> 且 <math>w(t_0)=0</math>。乘同一个积分因子，得到 <math>(\mu w)'=0</math>，所以 <math>\mu w</math> 恒为零。由于 <math>\mu\ne0</math>，必有 <math>w=0</math>，唯一性得到证明。这一论证不需要先知道一般非线性方程的存在唯一性定理。
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 上述结论适用于系数连续的整个区间：对区间内任意有限端点，积分都是有限闭子区间上的积分。即使区间无限，也不意味着解必须有界；例如 <math>y'=y</math> 的指数解可以一直存在而不断增大。关于本方法的教材讨论见 [https://www.jirka.org/diffyqs/html/intfactor_section.html Jiří Lebl，§1.4]。
-== 算例一：常系数外力与初值 ==
+== 更换初值以后，解相差多少 ==
 求解 <math>y'+2y=6</math>，初值 <math>y(0)=1</math>。积分因子为 <math>e^{2t}</math>，因此
 <math display="block">(e^{2t}y)'=6e^{2t},\qquad e^{2t}y=3e^{2t}+C.</math>
 解为 <math>y=3+Ce^{-2t}</math>，初值给出 <math>C=-2</math>，所以 <math>y=3-2e^{-2t}</math>。验证时，导数为 <math>4e^{-2t}</math>，加上两倍原函数正好等于 6；初值也确为 1。
-常数解 3 来自输入与衰减的平衡；指数项记录初始状态偏离平衡的程度，并随时间消失。解从 1 单调增加但始终低于 3。要求达到 2.9，解 <math>2e^{-2t}=0.1</math>，得 <math>t=(\log20)/2\approx1.498</math>。这些陈述都可从公式或方程的符号直接验证，不是看到曲线“趋稳”后的猜测。
+常数解 3 来自输入与衰减的平衡；指数项记录初始状态偏离平衡的程度，并随时间消失。解从 1 单调增加但始终低于 3。要求达到 2.9，解 <math>2e^{-2t}=0.1</math>，得 <math>t=(\log20)/2\approx1.498</math>。
 若初值改为 5，则解成为 <math>3+2e^{-2t}</math>，从上方降向同一个平衡。它说明同一外力下初值影响如何随时间衰减，并为后文的稳定性分析提供最简单的例子。
-== 算例二：变系数决定解的有效区间 ==
-考虑 <math>y'+(2/t)y=t</math>，给定 <math>y(1)=2</math>。由于系数在 0 无定义，先选择包含初始点的区间 <math>t>0</math>。积分因子可取 <math>t^2</math>，因为其对数导数为 <math>2/t</math>。于是
-<math display="block">(t^2y)'=t^3,\qquad t^2y=\frac{t^4}{4}+C.</math>
-初值给出 <math>C=7/4</math>，故
-<math display="block">y(t)=\frac{t^2}{4}+\frac7{4t^2},\qquad t>0.</math>
-求导为 <math>t/2-7/(2t^3)</math>；再加 <math>(2/t)y=t/2+7/(2t^3)</math>，总和正好为 <math>t</math>，验证通过。该解在 <math>t\to0^+</math> 时无界，不能跨过 0 继续作为有限解。
-某些特别选择的常数可能使表达式在 0 有有限延拓，但原标准形式的系数仍然在 0 无定义，必须回到原方程另行讨论。这一点尤其容易在符号软件给出简洁公式后被忽略：一个表达式可以在更大范围有值，不代表它在更大范围仍然解决最初的问题。
-== 算例三：充分混合的水箱 ==
-设水箱始终有 100 升液体，每分钟流入与流出各 5 升；流入溶液含盐量为每升 2 克，箱内瞬时充分混合。令 <math>M(t)</math> 为盐的总质量，单位为克。流入盐速率为每分钟 10 克；流出浓度为 <math>M/100</math> 克每升，流出盐速率为 <math>M/20</math> 克每分钟，所以
-<math display="block">M'+\frac1{20}M=10.</math>
-若初始为清水，<math>M(0)=0</math>，由第一类常系数解法得到 <math>M(t)=200(1-e^{-t/20})</math>。浓度趋于每升 2 克，与流入液体一致。10 分钟后盐质量约为 78.69 克，而非“流入 100 克所以箱中就有 100 克”，因为已有部分盐随流出带走。
-这一推导依赖体积恒定、流量稳定、混合即时均匀且没有反应沉淀等假设。若流入流出不等，体积成为时间函数，流出项的系数也随时间变；若出现液面到顶或水箱排空，则必须在相应时刻停止或改变模型。微分方程的系数并不是只为了方便计算而选择的，它来自收支与单位。
-== 常数变易与叠加的另一种理解 ==
-齐次方程的解为 <math>y_h=Ce^{-P(t)}</math>。为了处理非齐次项，让原来固定的 <math>C</math> 变成未知函数 <math>C(t)</math>，代入 <math>y=C(t)e^{-P(t)}</math>，会发现涉及 <math>pC</math> 的两项相消，只留下 <math>C'(t)e^{-P(t)}=q(t)</math>。积分后正好得到相同的解公式，这就是常数变易思想在一阶情形的表现。
-把解分成“齐次解加一个特解”，并不说明该分解唯一。若给特解加一个齐次解，再从齐次部分减去同一项，总解不变。真正确定的是满足给定初值的总解。对于外力 <math>q_1+q_2</math>，可以分别求相应的零初值响应后相加；初始响应只加入一次，才不会重复计算初始条件。
-这种结构与[[向量空间]]相连：齐次解形成一维实向量空间，非齐次解集则是它的一个平移。借助抽象语言可以解释相减与叠加规则，但具体积分推导仍然给出计算这个空间中元素的方法。
 == 解对初值和外力有多敏感 ==
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 积分公式即使不能化成初等表达式，也已经给出解的表示。可以进一步使用[[数值积分]]近似其中的积分，并把系数、输入和数值误差分别记录。没有简洁闭式并不意味着该线性初值问题没有解。
+== 系数随时间改变的例子 ==
+考虑 <math>y'+(2/t)y=t</math>，给定 <math>y(1)=2</math>。由于系数在 0 无定义，先选择包含初始点的区间 <math>t>0</math>。积分因子可取 <math>t^2</math>，因为其对数导数为 <math>2/t</math>。于是
+<math display="block">(t^2y)'=t^3,\qquad t^2y=\frac{t^4}{4}+C.</math>
+初值给出 <math>C=7/4</math>，故
+<math display="block">y(t)=\frac{t^2}{4}+\frac7{4t^2},\qquad t>0.</math>
+求导为 <math>t/2-7/(2t^3)</math>；再加 <math>(2/t)y=t/2+7/(2t^3)</math>，总和正好为 <math>t</math>，验证通过。该解在 <math>t\to0^+</math> 时无界，不能跨过 0 继续作为有限解。
 == 失效边界：不能跨过最高阶系数的零点 ==
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 分离变量法与积分因子法也应区分。<math>y'+p(t)y=q(t)</math> 一般不能分成“只含 <math>y</math> 的一边”和“只含 <math>t</math> 的一边”；即便偶尔可以，除以未知函数也可能暂时排除零解。积分因子通过非零乘法处理，天然保留了齐次零解。
+== 常数变易与叠加的另一种理解 ==
+齐次方程的解为 <math>y_h=Ce^{-P(t)}</math>。为了处理非齐次项，让原来固定的 <math>C</math> 变成未知函数 <math>C(t)</math>，代入 <math>y=C(t)e^{-P(t)}</math>，会发现涉及 <math>pC</math> 的两项相消，只留下 <math>C'(t)e^{-P(t)}=q(t)</math>。积分后正好得到相同的解公式，这就是常数变易思想在一阶情形的表现。
+把解分成“齐次解加一个特解”，并不说明该分解唯一。若给特解加一个齐次解，再从齐次部分减去同一项，总解不变。真正确定的是满足给定初值的总解。对于外力 <math>q_1+q_2</math>，可以分别求相应的零初值响应后相加；初始响应只加入一次，才不会重复计算初始条件。
 == 周期外力：瞬态如何让位给稳态 ==
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 若外力在某个时刻突然切换，可以在各连续区间分别求解，再把前一区间的末状态作为后一区间初值。例如 <math>y'+2y=0</math> 从初值零出发，在 <math>t=1</math> 后外力改为 6，则前段 <math>y=0</math>，后段为 <math>y=3(1-e^{-2(t-1)})</math>。函数在切换时连续，但左导数为 0、右导数为 6，因此在该时刻没有通常的双侧导数。
-这时不能声称得到了在每一点都可导的经典解；更合适的表述是分段经典解，或在积分形式下理解的解。输入阶跃与状态瞬间跳变并不等价：有限的输入跃变改变的是变化率，状态仍然连续。若模型允许瞬时冲量，则需要额外的广义函数或跳跃规则，不能悄悄用同一光滑理论解释。
+这是分段经典解：它在切换时刻连续，并在两侧各自满足方程。有限输入的跃变改变变化率，积分累计得到的状态仍连续。
 == 正性与比较：有些结论无需算出积分 ==
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 积分因子本身并不唯一，乘任意非零常数仍是积分因子。最终解中这个倍数会从两边消去，不产生新的物理参数。采用从初始时刻出发的定积分，只是固定归一化，让初值项写得清楚；采用不定积分也能得到相同结果，但应避免把无关的积分常数重复计入。
-齐次解从不改变非零初值的符号，因为指数因子始终为正。这与一般振动方程的行为不同：一阶齐次实线性标量方程没有独立的惯性状态，不能像二阶振子那样自行来回穿过零点。若图像在没有外力的这一模型下持续振荡，就需要重新检查方程类型或数值算法，而不应把振荡视作所有微分方程都可能具有的普通现象。
-外力可以使状态过零，因为它给出额外输入。例如负的持续输入能够推动原本为正的状态下降，最终跨过零。对温度差这样的有符号量，过零可能有明确意义；对质量这样的非负量，过零则可能说明模型应在空箱时停止。线性方程本身不区分这两种解释，允许状态的范围仍由问题设定决定。
 == 历史与后续发展 ==
 一阶方程的系统求解伴随十七、十八世纪微积分发展。雅各布·伯努利在 1695 年提出后来以其命名的方程，莱布尼茨于 1697 年说明可用变量替换将它化为线性方程；有关书目线索见 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/b/ MacTutor：Bernoulli's equation]。这体现了线性方程作为可归约目标的早期地位。
-积分因子还用于更广泛的微分方程。欧拉在十八世纪进一步发展其应用，相关工作记于 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/DSB/Euler.pdf Euler 的学术传记]。本文并不据此断言现代教科书中的每一步由某一人一次发明；一般方法、特殊求解和后来的存在性表述有各自的发展过程。进一步把未知数改为向量，就会进入线性方程组、基本矩阵和状态转移的理论。
+积分因子还用于更广泛的微分方程。欧拉在十八世纪进一步发展其应用，相关工作记于 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/DSB/Euler.pdf Euler 的学术传记]。
-== English overview ==
-<div lang="en" class="math-english-summary">
-A first-order linear differential equation has the form y prime plus p times y equals q, where the coefficients depend only on the independent variable. Linearity describes how the unknown function enters the equation, not the shape of its solution. Standardization requires a nonzero coefficient of the highest derivative on the interval under consideration.
-The integrating factor is chosen so that multiplication turns the left-hand side into a product derivative. With continuous coefficients, the resulting integral formula proves both existence and uniqueness for a prescribed initial value. It also separates the response to the initial state from the response to an external input. The difference between any two solutions with the same forcing solves the homogeneous equation.
-Worked examples include constant forcing, a singular variable coefficient, and a well-mixed tank. Each requires checking the original equation, the initial condition, units, and the domain. The formula remains useful even when its integral has no elementary expression. Sensitivity estimates show when initial errors decay or grow and how bounded forcing errors affect the response. At a point where the highest-derivative coefficient vanishes, the usual theorem may fail; extending an algebraic expression does not automatically extend the original initial-value problem.
-</div>
-== 编者评注（AI 辅助） ==
-本站认为，积分因子应先解释为“配出乘积导数的条件”，再写成可记忆的公式，这是本文的教学安排。只背指数积分式，容易在标准化、积分常数和有效区间上出错。本文使用三种来源不同的方程，显示同一结构如何保持，也用奇异初值说明结构何时失效。方法的价值不仅在算出解，还在于能同时证明唯一性、追踪初始误差，并解释外力如何被系统累积。
 == 来源与继续阅读 ==