微分方程：修订间差异

2026年9月20日 (日) 07:16的最新版本

微分方程（differential equation）是含有未知函数及其导数的方程。普通代数方程求一个数，微分方程则寻找随时间或位置变化的整条函数。变化规律与起始状态怎样共同确定函数，可以从冷却问题看起。

温度每分钟下降多少，由什么决定

一杯80摄氏度的水放在20摄氏度的室内。一个简单模型假定：温差每大一倍，散热造成的降温速率也大一倍。取教学系数每分钟0.2，起初温差60度，降温速率为每分钟12度；等水温降到40度，温差只剩20度，降温速率便减为每分钟4度。因此温度不是每分钟减少同一个数。

令 $T (t)$ 为温度， $T_{a}$ 为固定环境温度， $k > 0$ 为比例系数。在物体内部温度近似均匀、环境与系数稳定的假设下，变化规律写成 $\frac{d T}{d t} = - k (T - T_{a}), T (0) = T_{0} .$ 负号表示高于环境时降温，低于环境时升温； $k$ 的单位为时间的倒数。令温差 $u = T - T_{a}$ ，便有 $u^{'} = - k u$ 。

要从这个变化规律找出温度函数，试把左侧凑成乘积的导数。乘以 $e^{k t}$ 后，由乘积法则， $(e^{k t} u)^{'} = e^{k t} (u^{'} + k u) = 0$ ，所以 $e^{k t} u$ 为常数。初值确定该常数为 $T_{0} - T_{a}$ ，得到 $T (t) = T_{a} + (T_{0} - T_{a}) e^{- k t} .$ 求导得 $T^{'} = - k (T_{0} - T_{a}) e^{- k t}$ ，而 $- k (T - T_{a})$ 也等于这一式子；代入 $t = 0$ 则回到 $T_{0}$ 。此推导也包含 $T_{0} = T_{a}$ 时温度恒定的平衡解。

下图的实线按此公式绘制。它一开始较陡，随后逐渐变平；图中的离散点来自后文的欧拉法。

温度从八十摄氏度接近二十摄氏度环境温度，离散欧拉近似点与解析曲线相比较 — 连续曲线是理想冷却模型的解析解；离散点展示有限步长产生的数值误差。

取教学参数 $T_{a} = 20$ 摄氏度、 $T_{0} = 80$ 摄氏度、 $k = 0.2$ 每分钟，5 分钟后 $T (5) = 20 + 60 e^{- 1} \approx 42.07$ 摄氏度。要降到 30 摄氏度，解 $60 e^{- 0.2 t} = 10$ ，得 $t = 5 \log 6 \approx 8.96$ 分钟。模型在有限时间内不会恰好达到环境温度，但仪器分辨率可能使剩余温差无法识别。

若环境温度也随时间变化，原来的简单指数式一般不再适用；方程会变成一阶线性微分方程。若物体内部存在显著温度梯度，就可能需要空间相关的热方程。

从局部规律反推整个过程

普通求导从已知函数出发，例如从 $y (t) = e^{2 t}$ 得到 $y^{'} (t) = 2 e^{2 t}$ 。微分方程则从关系 $y^{'} = 2 y$ 出发，寻找满足它的函数。这条关系说明瞬时增长率始终是当前数量的两倍，却没有说明起始数量，所以 $e^{2 t}$ 、 $3 e^{2 t}$ 和零函数都符合。

加入 $y (0) = 3$ ，才选出对应的解 $y (t) = 3 e^{2 t}$ 。冷却方程也一样：环境温度与系数固定时，80度、40度或10度的初始温度分别选出不同曲线，曲线都遵守同一条变化规则。

下图把三种初始温度放在一起。80度与40度的物体从上方降向20度，10度的物体则从下方升向20度。环境温度和系数相同，变化规则完全一样；起点不同，就选中了不同的解。

同一冷却微分方程的三条解从八十度四十度和十度出发，分别由上方或下方接近二十度环境温度 — 方程确定规律，初始值确定轨迹；本图时间单位为分钟。

振动为什么还要给出初始速度

考虑 $y^{″} + 4 y = 0$ ，给定 $y (0) = 3$ 、 $y^{'} (0) = - 2$ 。由于 $\cos 2 t$ 与 $\sin 2 t$ 分别代入都满足方程，尝试 $y (t) = A \cos 2 t + B \sin 2 t .$ 因为 $\cos 0 = 1, \sin 0 = 0$ ，第一个初值给出 $A = 3$ 。求导得 $y^{'} = - 2 A \sin 2 t + 2 B \cos 2 t$ ，于是 $y^{'} (0) = 2 B = - 2$ ，所以 $B = - 1$ 。于是解为 $y (t) = 3 \cos 2 t - \sin 2 t$ 。再次求二阶导数得到 $y^{″} = - 4 y$ ，两项初值也均匹配。

仅证明这个表达式是解，还没有证明它是唯一的。对任意两个满足相同初值的解，令其差为 $w$ ，则 $w^{″} + 4 w = 0$ 且初始位置、速度均为零。定义能量量 $E = (w^{'})^{2} + 4 w^{2}$ ，有 $E^{'} = 2 w^{'} (w^{″} + 4 w) = 0$ ，故 $E$ 恒为初值 0。平方项只能同时为零，所以 $w = 0$ ，唯一性得到证明。

若只给初始位置3，系数B仍可任取，表示物体从同一位置以不同速度出发。第二个数据确定B，能量论证则保证没有遗漏另一种满足这两项初值的解。

把高阶方程改写成状态系统

对二阶方程 $y^{″} + 4 y = 0$ ，令 $x_{1} = y, x_{2} = y^{'}$ ，即可写成两个一阶关系 ${x_{1}}^{'} = x_{2}, {x_{2}}^{'} = - 4 x_{1}$ 。状态 $(x_{1}, x_{2})$ 同时记录位置和速度，只知道位置通常不足以决定下一刻向哪里运动。

在状态平面中，量 $x_{2}^{2} + 4 x_{1}^{2}$ 沿轨迹保持不变，因此非零轨迹位于椭圆上。这不是说时间图像也是椭圆；时间图像表示位置如何随时间起伏，状态轨迹表示位置与速度之间的关系。区分这两种图像，有助于理解相平面分析与通常函数图像的不同用途。

解为什么存在，为什么可能不唯一

一阶初值问题 $y^{'} = f (t, y), y (t_{0}) = y_{0}$ 等价于积分方程 $y (t) = y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f (s, y (s)) d s .$ 一个常用的局部存在唯一性定理要求 $f$ 在初始点附近连续，并且存在一个固定常数 $L$ ，使该邻域内同一时刻的两个状态满足 $| f (t, u) - f (t, v) | \leq L | u - v | .$ 这称为关于状态的局部Lipschitz条件，意思是状态差对变化率差的放大倍数在邻域内有共同上界。满足它便能保证在某个小时间区间存在唯一解。常用的更容易检查的充分条件是 $f$ 与偏导数 $\partial f / \partial y$ 在邻域内连续。教材陈述见 Lebl，§1.2.2。

证明思路。 从常函数 $y_{0}$ 开始，把上一次近似代入积分右侧，产生下一次近似。取足够短的时间区间，可以保证这些函数不跑出所讨论的矩形区域；若区间长度为 $h$ ，两条候选函数的最大差为 $D$ ，代入积分后，最大差至多为 $L h D$ ：被积差至多 $L D$ ，再乘积分长度。选 $L h < 1$ ，这种更新就会缩小函数间的距离。压缩映射原理给出唯一的不动点，也就是所求解。这是证明概要，完整论证需要连续函数空间的完备性与相应估计。

连续性本身不保证唯一。例如在 $t \geq 0$ 上， $y^{'} = 2 \sqrt{| y |}, y (0) = 0$ 有零解；对每个 $c \geq 0$ ，先在 $0 \leq t \leq c$ 取零、再在 $t \geq c$ 取 $(t - c)^{2}$ ，也得到可导的解。接合点两侧导数都是零，而右端不满足零附近的 Lipschitz 条件。初值没有选择出何时“离开零”的唯一时刻。

局部唯一也不保证解存在到所有时间。 $y^{'} = y^{2}, y (0) = 1$ 的解为 $y = 1 / (1 - t)$ ，在 $t = 1$ 前趋于无穷，不能作为有限实值解穿过该时刻。这是有限时间爆破；它不违背局部定理，它只保证初始时刻附近的存在性。

不求闭式也能看懂：相线与稳定性

对自治方程 $y^{'} = F (y)$ ，满足 $F (y_{*}) = 0$ 的常值解称为平衡解。把这些零点标在数轴上，在各间隔检查 $F$ 的符号，便知道轨迹向增大还是减小的方向移动。若两侧箭头都指向平衡点，小扰动会被拉回；若都背离，平衡点不稳定。

若右端在平衡点附近连续可导， $F^{'} (y_{*}) < 0$ 给出局部渐近稳定的充分条件， $F^{'} (y_{*}) > 0$ 给出不稳定；导数为零时需要进一步分析。例如 $y^{'} = - y^{3}$ 的零点仍会吸引附近轨迹，而 $y^{'} = y^{3}$ 的零点则会排斥它们。线性化没有判定能力时，不能把“没有得到结论”当成“中性稳定”。

洛吉斯蒂模型利用相线解释零种群、承载量与单调趋近，不必先背出解公式。稳定性讨论的是附近轨迹随时间的变化；它不同于求解算法的数值稳定性，也不同于模型参数是否能从观测数据可靠估计。

数值解：离散近似也有自己的条件

显式欧拉法以步长 $h$ 用当前切线推进： $y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n}, y_{n}), t_{n + 1} = t_{n} + h .$ 在冷却模型中取 $h = 1$ 分钟，第一步得到 $T_{1} = 80 - 0.2 (80 - 20) = 68$ ，而解析值约为 69.12 摄氏度。误差来自用整段切线变化代替逐渐减小的真实冷却率。

对温差 $u^{'} = - k u$ ，迭代为 $u_{n + 1} = (1 - k h) u_{n}$ 。要使离散温差渐近衰减，需要 $| 1 - k h | < 1$ ，即 $0 < k h < 2$ ；若还要求不出现正负交替的温差，需进一步限制 $0 < k h \leq 1$ 。真实解始终从同一侧接近环境，不会来回穿越，离散计算却可能因步长不当表现出假振荡。

方程残差很小意味着什么

对候选近似 $\tilde{y}$ ，把它代回方程得到的差 ${\tilde{y}}^{'} - f (t, \tilde{y})$ 称为残差。残差衡量它在局部多接近满足方程，却不单独保证它接近所需的初值解。候选可能满足方程非常精确，但用了错误的初值；也可能在不稳定系统中把很小的误差随时间放大。

例如 $y^{'} = y, y (0) = 1$ 的真解为 $e^{t}$ ，而 $(1 + ε) e^{t}$ 的方程残差恰为零，却有绝对误差 $ε e^{t}$ 。这个误差完全来自初值，长时间后可能很大。数值检查因而应同时查看初值误差、局部残差和系统的传播性质。

如何识别方程的结构

方程的阶数由出现的最高阶导数决定。 $y^{'} = k y$ 是一阶， $y^{″} + ω^{2} y = 0$ 是二阶； $(y^{'})^{3} + y = 0$ 仍是一阶，导数的幂次不等于求导次数。对于常微分方程，如果未知函数及其各阶导数只以一次形式出现，彼此不相乘，且系数只依赖自变量，就称为线性方程。

例如 $y^{'} + t^{2} y = \sin t$ 是线性的，虽然系数并不简单； $y^{'} + y^{2} = 0$ 是非线性的。线性不是说解曲线一定是直线，而是说作用在未知函数上的运算符合线性结构。热方程中的 $u (t, x)$ 表示温度， $κ > 0$ 是热扩散系数，下标表示相应变量的偏导数。标准分类见 Jiří Lebl，§0.3。

方程	类型	额外数据的典型形式
$y^{'} + p (t) y = q (t)$	一阶线性常微分方程	一个初值
$y^{'} = r y (1 - y / K)$	一阶非线性、自治方程	一个初值与参数范围
$y^{″} + ω^{2} y = 0$	二阶线性常微分方程	初始位置与初始速度
$u_{t} = κ u_{x x}$	热方程，偏微分方程	初始温度分布及边界条件

“自治”表示右端不显含时间，前面的冷却方程就是一例；在线性方程中，“齐次”表示外加项为零。只有一个自变量的称常微分方程；热方程中温度还随空间位置变化，出现偏导数，属于偏微分方程。

初值与边界值不是同一类约束

二阶方程通常可以在同一时刻给位置与速度，也可以在不同位置或时刻给两个函数值。这两种安排的理论性质不一样。例如 $y^{″} + y = 0$ 的初值 $y (0) = 0, y^{'} (0) = 1$ 唯一确定 $y = \sin t$ ；但边界条件 $y (0) = 0, y (π) = 0$ 允许所有 $C \sin t$ ，并不唯一。如果改为 $y (0) = 0, y (π) = 1$ ，则根本没有解。

因此“二阶方程给了两个数”还不足以判断存在唯一性，必须说明这些数是什么数据、放在哪里。边界值问题常与特征值、振动频率和空间约束联系，初值问题则更直接描述从一个状态出发的演化。偏微分方程中，边界条件的种类和几何区域还会进一步影响问题是否适定。

历史与概念关系

微分方程随十七世纪微积分和力学问题发展起来。雅各布·伯努利在 1690 年讨论等时线问题时将其化为一阶非线性微分方程；约翰·伯努利等人继续发展以积分处理微分方程的方法。这些具体工作见 MacTutor：Jacob Bernoulli 与 Johann Bernoulli。

欧拉在十八世纪扩展了求解方法与数值近似，十九世纪研究进一步重视存在性、唯一性和定性行为。

来源与继续阅读

Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》§0.3：方程分类。
同书 §1.2：存在唯一性与反例。
同书 §1.4：积分因子。
同书 §1.7：欧拉法。
MacTutor：Jacob Bernoulli；Johann Bernoulli：早期发展。

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-微分方程是包含未知函数及其导数的方程，用来描述量与变化率之间的关系。
+'''微分方程'''（differential equation）是含有未知函数及其[[导数]]的方程。普通代数方程求一个数，微分方程则寻找随时间或位置变化的整条函数。变化规律与起始状态怎样共同确定函数，可以从冷却问题看起。
-== 核心表达 ==
+== 温度每分钟下降多少，由什么决定 ==
-{{定义|内容=<math display="block">\frac{dy}{dt}=ky\quad\Longrightarrow\quad y(t)=Ce^{kt}</math>}}
+一杯80摄氏度的水放在20摄氏度的室内。一个简单模型假定：温差每大一倍，散热造成的降温速率也大一倍。取教学系数每分钟0.2，起初温差60度，降温速率为每分钟12度；等水温降到40度，温差只剩20度，降温速率便减为每分钟4度。因此温度不是每分钟减少同一个数。
-== 直觉与例子 ==
+令 <math>T(t)</math> 为温度，<math>T_a</math> 为固定环境温度，<math>k>0</math> 为比例系数。在物体内部温度近似均匀、环境与系数稳定的假设下，变化规律写成
-当变化率与当前数量成正比时，就得到指数增长或衰减模型。常数 C 由初始条件确定，k 的正负决定增长或衰减。
+<math display="block">\frac{dT}{dt}=-k(T-T_a),\qquad T(0)=T_0.</math>
+负号表示高于环境时降温，低于环境时升温；<math>k</math> 的单位为时间的倒数。令温差 <math>u=T-T_a</math>，便有 <math>u'=-ku</math>。
-== 继续阅读 ==
+要从这个变化规律找出温度函数，试把左侧凑成乘积的导数。乘以 <math>e^{kt}</math> 后，由乘积法则，<math>(e^{kt}u)'=e^{kt}(u'+ku)=0</math>，所以 <math>e^{kt}u</math> 为常数。初值确定该常数为 <math>T_0-T_a</math>，得到
-* [[导数]]
+<math display="block">T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}.</math>
-* [[欧拉公式]]
+求导得 <math>T'=-k(T_0-T_a)e^{-kt}</math>，而 <math>-k(T-T_a)</math> 也等于这一式子；代入 <math>t=0</math> 则回到 <math>T_0</math>。此推导也包含 <math>T_0=T_a</math> 时温度恒定的平衡解。
-* [[数学建模]]
+下图的实线按此公式绘制。它一开始较陡，随后逐渐变平；图中的离散点来自后文的欧拉法。
+[[File:Gezhi-ode-cooling-theme.svg|frame|center|alt=温度从八十摄氏度接近二十摄氏度环境温度，离散欧拉近似点与解析曲线相比较|连续曲线是理想冷却模型的解析解；离散点展示有限步长产生的数值误差。]]
+取教学参数 <math>T_a=20</math> 摄氏度、<math>T_0=80</math> 摄氏度、<math>k=0.2</math> 每分钟，5 分钟后 <math>T(5)=20+60e^{-1}\approx42.07</math> 摄氏度。要降到 30 摄氏度，解 <math>60e^{-0.2t}=10</math>，得 <math>t=5\log6\approx8.96</math> 分钟。模型在有限时间内不会恰好达到环境温度，但仪器分辨率可能使剩余温差无法识别。
+若环境温度也随时间变化，原来的简单指数式一般不再适用；方程会变成[[一阶线性微分方程]]。若物体内部存在显著温度梯度，就可能需要空间相关的热方程。
+== 从局部规律反推整个过程 ==
+普通求导从已知函数出发，例如从 <math>y(t)=e^{2t}</math> 得到 <math>y'(t)=2e^{2t}</math>。微分方程则从关系 <math>y'=2y</math> 出发，寻找满足它的函数。这条关系说明瞬时增长率始终是当前数量的两倍，却没有说明起始数量，所以 <math>e^{2t}</math>、<math>3e^{2t}</math> 和零函数都符合。
+加入 <math>y(0)=3</math>，才选出对应的解 <math>y(t)=3e^{2t}</math>。冷却方程也一样：环境温度与系数固定时，80度、40度或10度的初始温度分别选出不同曲线，曲线都遵守同一条变化规则。
+下图把三种初始温度放在一起。80度与40度的物体从上方降向20度，10度的物体则从下方升向20度。环境温度和系数相同，变化规则完全一样；起点不同，就选中了不同的解。
+[[File:Gezhi-analysis-ode-initials.svg|frame|center|alt=同一冷却微分方程的三条解从八十度四十度和十度出发，分别由上方或下方接近二十度环境温度|方程确定规律，初始值确定轨迹；本图时间单位为分钟。]]
+== 振动为什么还要给出初始速度 ==
+考虑 <math>y''+4y=0</math>，给定 <math>y(0)=3</math>、<math>y'(0)=-2</math>。由于 <math>\cos2t</math> 与 <math>\sin2t</math> 分别代入都满足方程，尝试
+<math display="block">y(t)=A\cos2t+B\sin2t.</math>
+因为 <math>\cos0=1,\sin0=0</math>，第一个初值给出 <math>A=3</math>。求导得 <math>y'=-2A\sin2t+2B\cos2t</math>，于是 <math>y'(0)=2B=-2</math>，所以 <math>B=-1</math>。于是解为 <math>y(t)=3\cos2t-\sin2t</math>。再次求二阶导数得到 <math>y''=-4y</math>，两项初值也均匹配。
+仅证明这个表达式是解，还没有证明它是唯一的。对任意两个满足相同初值的解，令其差为 <math>w</math>，则 <math>w''+4w=0</math> 且初始位置、速度均为零。定义能量量 <math>E=(w')^2+4w^2</math>，有 <math>E'=2w'(w''+4w)=0</math>，故 <math>E</math> 恒为初值 0。平方项只能同时为零，所以 <math>w=0</math>，唯一性得到证明。
+若只给初始位置3，系数B仍可任取，表示物体从同一位置以不同速度出发。第二个数据确定B，能量论证则保证没有遗漏另一种满足这两项初值的解。
+== 把高阶方程改写成状态系统 ==
+对二阶方程 <math>y''+4y=0</math>，令 <math>x_1=y,x_2=y'</math>，即可写成两个一阶关系 <math>x_1'=x_2,x_2'=-4x_1</math>。状态 <math>(x_1,x_2)</math> 同时记录位置和速度，只知道位置通常不足以决定下一刻向哪里运动。
+在状态平面中，量 <math>x_2^2+4x_1^2</math> 沿轨迹保持不变，因此非零轨迹位于椭圆上。这不是说时间图像也是椭圆；时间图像表示位置如何随时间起伏，状态轨迹表示位置与速度之间的关系。区分这两种图像，有助于理解相平面分析与通常函数图像的不同用途。
+== 解为什么存在，为什么可能不唯一 ==
+一阶初值问题 <math>y'=f(t,y),y(t_0)=y_0</math> 等价于积分方程
+<math display="block">y(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s,y(s))\,ds.</math>
+一个常用的局部存在唯一性定理要求 <math>f</math> 在初始点附近连续，并且存在一个固定常数 <math>L</math>，使该邻域内同一时刻的两个状态满足
+<math display="block">|f(t,u)-f(t,v)|\le L|u-v|.</math>
+这称为关于状态的局部Lipschitz条件，意思是状态差对变化率差的放大倍数在邻域内有共同上界。满足它便能保证在某个小时间区间存在唯一解。常用的更容易检查的充分条件是 <math>f</math> 与偏导数 <math>\partial f/\partial y</math> 在邻域内连续。教材陈述见 [https://www.jirka.org/diffyqs/html/slopefields_section.html Lebl，§1.2.2]。
+'''证明思路。''' 从常函数 <math>y_0</math> 开始，把上一次近似代入积分右侧，产生下一次近似。取足够短的时间区间，可以保证这些函数不跑出所讨论的矩形区域；若区间长度为 <math>h</math>，两条候选函数的最大差为 <math>D</math>，代入积分后，最大差至多为 <math>LhD</math>：被积差至多 <math>LD</math>，再乘积分长度。选 <math>Lh<1</math>，这种更新就会缩小函数间的距离。压缩映射原理给出唯一的不动点，也就是所求解。这是证明概要，完整论证需要连续函数空间的完备性与相应估计。
+连续性本身不保证唯一。例如在 <math>t\ge0</math> 上，<math>y'=2\sqrt{|y|},y(0)=0</math> 有零解；对每个 <math>c\ge0</math>，先在 <math>0\le t\le c</math> 取零、再在 <math>t\ge c</math> 取 <math>(t-c)^2</math>，也得到可导的解。接合点两侧导数都是零，而右端不满足零附近的 Lipschitz 条件。初值没有选择出何时“离开零”的唯一时刻。
+局部唯一也不保证解存在到所有时间。<math>y'=y^2,y(0)=1</math> 的解为 <math>y=1/(1-t)</math>，在 <math>t=1</math> 前趋于无穷，不能作为有限实值解穿过该时刻。这是有限时间爆破；它不违背局部定理，它只保证初始时刻附近的存在性。
+== 不求闭式也能看懂：相线与稳定性 ==
+对自治方程 <math>y'=F(y)</math>，满足 <math>F(y_*)=0</math> 的常值解称为平衡解。把这些零点标在数轴上，在各间隔检查 <math>F</math> 的符号，便知道轨迹向增大还是减小的方向移动。若两侧箭头都指向平衡点，小扰动会被拉回；若都背离，平衡点不稳定。
+若右端在平衡点附近连续可导，<math>F'(y_*)<0</math> 给出局部渐近稳定的充分条件，<math>F'(y_*)>0</math> 给出不稳定；导数为零时需要进一步分析。例如 <math>y'=-y^3</math> 的零点仍会吸引附近轨迹，而 <math>y'=y^3</math> 的零点则会排斥它们。线性化没有判定能力时，不能把“没有得到结论”当成“中性稳定”。
+[[洛吉斯蒂模型]]利用相线解释零种群、承载量与单调趋近，不必先背出解公式。稳定性讨论的是附近轨迹随时间的变化；它不同于求解算法的数值稳定性，也不同于模型参数是否能从观测数据可靠估计。
+== 数值解：离散近似也有自己的条件 ==
+显式欧拉法以步长 <math>h</math> 用当前切线推进：
+<math display="block">y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n),\qquad t_{n+1}=t_n+h.</math>
+在冷却模型中取 <math>h=1</math> 分钟，第一步得到 <math>T_1=80-0.2(80-20)=68</math>，而解析值约为 69.12 摄氏度。误差来自用整段切线变化代替逐渐减小的真实冷却率。
+对温差 <math>u'=-ku</math>，迭代为 <math>u_{n+1}=(1-kh)u_n</math>。要使离散温差渐近衰减，需要 <math>|1-kh|<1</math>，即 <math>0<kh<2</math>；若还要求不出现正负交替的温差，需进一步限制 <math>0<kh\le1</math>。真实解始终从同一侧接近环境，不会来回穿越，离散计算却可能因步长不当表现出假振荡。
+== 方程残差很小意味着什么 ==
+对候选近似 <math>\widetilde y</math>，把它代回方程得到的差 <math>\widetilde y'-f(t,\widetilde y)</math> 称为残差。残差衡量它在局部多接近满足方程，却不单独保证它接近所需的初值解。候选可能满足方程非常精确，但用了错误的初值；也可能在不稳定系统中把很小的误差随时间放大。
+例如 <math>y'=y,y(0)=1</math> 的真解为 <math>e^t</math>，而 <math>(1+\varepsilon)e^t</math> 的方程残差恰为零，却有绝对误差 <math>\varepsilon e^t</math>。这个误差完全来自初值，长时间后可能很大。数值检查因而应同时查看初值误差、局部残差和系统的传播性质。
+== 如何识别方程的结构 ==
+方程的'''阶数'''由出现的最高阶导数决定。<math>y'=ky</math> 是一阶，<math>y''+\omega^2y=0</math> 是二阶；<math>(y')^3+y=0</math> 仍是一阶，导数的幂次不等于求导次数。对于常微分方程，如果未知函数及其各阶导数只以一次形式出现，彼此不相乘，且系数只依赖自变量，就称为线性方程。
+例如 <math>y'+t^2y=\sin t</math> 是线性的，虽然系数并不简单；<math>y'+y^2=0</math> 是非线性的。线性不是说解曲线一定是直线，而是说作用在未知函数上的运算符合线性结构。热方程中的 <math>u(t,x)</math> 表示温度，<math>\kappa>0</math> 是热扩散系数，下标表示相应变量的偏导数。标准分类见 [https://www.jirka.org/diffyqs/html/classification_section.html Jiří Lebl，§0.3]。
+<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="微分方程的结构比较" tabindex="0">
+{| class="wikitable"
+! 方程 !! 类型 !! 额外数据的典型形式
+|-
+| <math>y'+p(t)y=q(t)</math> || 一阶线性常微分方程 || 一个初值
+|-
+| <math>y'=ry(1-y/K)</math> || 一阶非线性、自治方程 || 一个初值与参数范围
+|-
+| <math>y''+\omega^2y=0</math> || 二阶线性常微分方程 || 初始位置与初始速度
+|-
+| <math>u_t=\kappa u_{xx}</math> || 热方程，偏微分方程 || 初始温度分布及边界条件
+|}
+</div>
+“自治”表示右端不显含时间，前面的冷却方程就是一例；在线性方程中，“齐次”表示外加项为零。只有一个自变量的称常微分方程；热方程中温度还随空间位置变化，出现偏导数，属于偏微分方程。
+== 初值与边界值不是同一类约束 ==
+二阶方程通常可以在同一时刻给位置与速度，也可以在不同位置或时刻给两个函数值。这两种安排的理论性质不一样。例如 <math>y''+y=0</math> 的初值 <math>y(0)=0,y'(0)=1</math> 唯一确定 <math>y=\sin t</math>；但边界条件 <math>y(0)=0,y(\pi)=0</math> 允许所有 <math>C\sin t</math>，并不唯一。如果改为 <math>y(0)=0,y(\pi)=1</math>，则根本没有解。
+因此“二阶方程给了两个数”还不足以判断存在唯一性，必须说明这些数是什么数据、放在哪里。边界值问题常与特征值、振动频率和空间约束联系，初值问题则更直接描述从一个状态出发的演化。偏微分方程中，边界条件的种类和几何区域还会进一步影响问题是否适定。
+== 历史与概念关系 ==
+微分方程随十七世纪微积分和力学问题发展起来。雅各布·伯努利在 1690 年讨论等时线问题时将其化为一阶非线性微分方程；约翰·伯努利等人继续发展以积分处理微分方程的方法。这些具体工作见 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bernoulli_Jacob/ MacTutor：Jacob Bernoulli] 与 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bernoulli_Johann/ Johann Bernoulli]。
+欧拉在十八世纪扩展了求解方法与数值近似，十九世纪研究进一步重视存在性、唯一性和定性行为。
+== 来源与继续阅读 ==
+* [https://www.jirka.org/diffyqs/html/classification_section.html Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》§0.3]：方程分类。
+* [https://www.jirka.org/diffyqs/html/slopefields_section.html 同书 §1.2]：存在唯一性与反例。
+* [https://www.jirka.org/diffyqs/html/intfactor_section.html 同书 §1.4]：积分因子。
+* [https://www.jirka.org/diffyqs/html/numer_section.html 同书 §1.7]：欧拉法。
+* [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bernoulli_Jacob/ MacTutor：Jacob Bernoulli]；[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bernoulli_Johann/ Johann Bernoulli]：早期发展。
+[[分类:微分方程与动力系统]]
 [[分类:应用与建模]]