群：修订间差异

2026年9月20日 (日) 07:16的最新版本

群（group）是由一个集合和一种运算组成的数学结构：任意两个元素都能运算，结果仍在集合中；运算满足结合律，有单位元，每个元素都有逆元。群适合描述能够组合、能够撤销的操作，例如转动一个图形、置换一组对象，或给整数加上某个数。

理解群，可以从一个正方形出发。我们记录每次操作对顶点的影响，再从这些操作中提炼一般规则。

转动正方形：四种操作的计算

把正方形放在平面上，中心固定。令 $r$ 表示逆时针旋转九十度， $e$ 表示保持不动。连续做两次 $r$ 记为 $r^{2}$ ，三次记为 $r^{3}$ 。做四次便转完一圈，故 $r^{4} = e$ 。

保持正方形轮廓的旋转恰有四种： $C_{4} = {e, r, r^{2}, r^{3}} .$ 我们把“先后执行两个操作”作为运算，写成乘法。这里的幂表示反复做同一个操作，而不是给坐标逐项乘方。例如 $r^{3} r^{2} = r^{5} = r$ 表示总共转五个四分之一圈，效果与转一次相同。计算旋转次数时，只需保留除以四的余数，见同余。

正方形的四个旋转状态，有色顶点依次移动到相邻位置并在第四次回到原位 — 跟踪有色顶点可以区别四种旋转。颜色只帮助追踪，不属于必须固定的对称条件。

图中正方形的轮廓每次都重合，但有色顶点的位置不同，所以这四种操作彼此不同。旋转九十度的撤销操作是旋转二百七十度： $r r^{3} = r^{3} r = e$ 。旋转一百八十度则可以用自身撤销。

先做列中的操作，再做行中的操作
复合	$e$	$r$	$r^{2}$	$r^{3}$
$e$	$e$	$r$	$r^{2}$	$r^{3}$
$r$	$r$	$r^{2}$	$r^{3}$	$e$
$r^{2}$	$r^{2}$	$r^{3}$	$e$	$r$
$r^{3}$	$r^{3}$	$e$	$r$	$r^{2}$

每个格子的结果仍是四种旋转之一。整张表可用“次数相加，再取模四”独立算出。

从旋转中提取群的定义

设 $G$ 是集合， $a b$ 表示两个元素的运算。它构成群，需要以下规则。

首先是封闭性：任意 $a, b \in G$ ， $a b$ 都有唯一结果，且属于 $G$ 。对于旋转，连续旋转的效果仍是四种旋转之一。

其次是结合律：对任意三个元素， $(a b) c = a (b c) .$ 括号决定先把哪两步合并为一步，不改变三步本来的执行次序。对函数复合，两边作用在任意对象 $x$ 上都给出 $a (b (c (x)))$ ，所以满足结合律。

第三，存在单位元 $e$ ，使 $e a = a e = a$ 。第四，每个 $a$ 都有逆元 $a^{- 1}$ ，使 $a a^{- 1} = a^{- 1} a = e .$ 旋转群的单位元是不动操作，逆元是撤销该旋转的操作。

这些规则也适用于数字：整数在加法下构成群，单位元是零， $a$ 的逆元是 $- a$ ；非零实数在乘法下构成群，单位元是一，逆元是倒数。运算写作乘法只是通用记号，不要求它真的是数的乘法。

若使用非负整数与加法，正整数没有加法逆元，便不构成群；若使用所有实数与乘法，零没有乘法逆元，也不构成群。整数减法虽然封闭，却有 $(5 - 3) - 1 = 1$ 和 $5 - (3 - 1) = 3$ ，不满足结合律。每个例子都表明：集合与运算必须一起指定。

为什么群不要求交换律

在旋转群里， $a b = b a$ 成立。但把反射也加入，情况就不同了。取以原点为中心的正方形，定义 $r (x, y) = (- y, x), s (x, y) = (x, - y),$ 分别表示逆时针转九十度与关于横轴反射。约定 $r s$ 是先做右边的 $s$ ，再做左边的 $r$ 。跟踪点 $(1, 0)$ ： $(1, 0) \overset{s}{\to} (1, 0) \overset{r}{\to} (0, 1),$ $(1, 0) \overset{r}{\to} (0, 1) \overset{s}{\to} (0, - 1) .$

上下两排跟踪正方形右边中点，先反射再转动到上边，先转动再反射到下边 — 金点初始都在右边中点。上行先做 s 再做 r，下行先做 r 再做 s，最后落在不同位置。

结果不同，因此 $r s \neq s r$ 。群的定义仍然成立，只是不满足交换律。满足交换律的群称为阿贝尔群。

正方形的全部对称共有八种：四个旋转，以及四个反射。它们组成正方形的二面体群，可写成 ${e, r, r^{2}, r^{3}, s, r s, r^{2} s, r^{3} s} .$ 反射两次回到原处，所以 $s^{2} = e$ 。对一般点计算， $s r (x, y) = (- y, - x) = r^{- 1} s (x, y),$ 故 $s r = r^{- 1} s$ ：把反射移过一次旋转，旋转方向会反过来。例如 $s r^{2} = (s r) r = (r^{- 1} s) r = r^{- 1} (s r) = r^{- 2} s,$ 于是 $(r s) (r^{2} s) = r (s r^{2}) s = r r^{- 2} s s = r^{- 1} = r^{3} .$ 每一步只使用结合律和已证明的关系。少数基本操作与关系，便可以代替一张很大的运算表。

群中怎样解方程

逆元使我们能够撤销运算。若 $a x = b$ ，两边左乘 $a^{- 1}$ ： $a^{- 1} (a x) = a^{- 1} b, (a^{- 1} a) x = a^{- 1} b, x = a^{- 1} b .$ 相反，若 $x a = b$ ，应在右侧乘逆元，得到 $x = b a^{- 1}$ 。在非交换群中，乘在哪一侧会影响结果。

同样，若 $a b = a c$ ，左乘 $a^{- 1}$ 得 $b = c$ ，这称为消去律。它解释了旋转表中每行为何没有重复：若同一行两格相同，消去行元素后，两列元素也必须相同。有限群中每行与每列因此恰好各出现所有元素一次。

单位元和逆元也是唯一的。若 $e, f$ 都是单位元，则 $e = e f = f$ 。若 $b, c$ 都是 $a$ 的逆元，则 $b = b e = b (a c) = (b a) c = e c = c .$ 因此使用“该元素的逆元”不会产生歧义。

撤销两个连续操作时，顺序要反过来： $(a b)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1} .$ 直接检查即可看到原因： $(a b) (b^{- 1} a^{- 1}) = a (b b^{- 1}) a^{- 1} = e$ ；反向相乘也等于 $e$ 。这与矩阵乘积求逆使用同一条规律。

子群与等大的分块

群中的某些元素，如果使用原运算仍构成群，就形成子群。在正方形旋转群中，只取不动与转半圈，得到 $H = {e, r^{2}} .$ 它们相乘仍在其中，每个元素也有逆元，所以是子群。若取 ${e, r}$ ，因 $r r = r^{2}$ 不在其中，就不是子群。

把 $H$ 中每个元素左乘 $r$ ，得到另一组 $r H = {r, r^{3}}$ 。这两组恰好把四个旋转分完，而且每组都有两个元素。这种分组称为陪集。

一般地，子群 $H$ 的左陪集为 $g H = {g h : h \in H}$ 。为什么每组大小相同？映射 $h \mapsto g h$ 覆盖整个 $g H$ ；若 $g h_{1} = g h_{2}$ ，消去 $g$ 得 $h_{1} = h_{2}$ ，所以没有合并，元素逐一对应。

为什么不同组不会只重叠一部分？若 $a H$ 和 $b H$ 有共同元素，就有 $a h_{1} = b h_{2}$ ，从而 $a = b h_{2} h_{1}^{- 1}$ 。对任意 $h \in H$ ， $a h = b (h_{2} h_{1}^{- 1} h) \in b H,$ 因为括号内仍是子群元素。故 $a H \subseteq b H$ ；交换两者可得反向包含，所以两个陪集相同。

每个元素 $g$ 都属于 $g H$ ，因此陪集把整个群分成不重叠且等大的块。若群有限，就有拉格朗日定理： $| G | = [G : H] | H | .$ 竖线表示元素个数， $[G : H]$ 表示陪集个数。于是子群的大小必定整除群的大小。

一个元素 $a$ 的所有整数次幂组成循环子群；若最小正整数 $m$ 满足 $a^{m} = e$ ，则称 $m$ 为元素的阶，该子群恰有 $m$ 个元素。因此有限群中元素的阶也整除群的阶。正方形的四分之一圈旋转阶为四，半圈旋转阶为二。拉格朗日定理给出必要条件，并不保证群阶的每个因子都对应一个子群。

不同对象之间怎样保留运算

整数加法和正方形旋转可以联系起来：把整数 $n$ 送到 $r^{n}$ ，则 $r^{m + n} = r^{m} r^{n} .$ 先加整数再转换，与先分别转换再复合，效果相同。这样的映射叫群同态，一般写作 $φ (a b) = φ (a) φ (b)$ 。

这个例子中，四的倍数都被送到单位元；它们组成同态的核。两个整数得到同一旋转，当且仅当它们之差为四的倍数。如果先把整数按模四余数分为四类，再与四个旋转对应，就既保持运算，又一一对应，这称为同构。模四加法与四元素旋转群因而有相同的群结构，尽管一个用数字表示，另一个用图形操作表示。

群也可以作用在对象上。正方形的八种对称作用于四个顶点，固定一个顶点后，能把它送到任意另外的顶点。把它留在原处的对称只有两个：不动，以及沿经过它与对面顶点的对角线反射。因此八种操作按“把这个顶点送到哪里”分为四组，每组两种。这里群元素是操作，顶点是操作的对象；两者的数量无需相同。这种区分在研究对称计数时很有用，参见组合数学。

历史

十九世纪的群论与方程根的置换密切相关。Galois 用根之间允许的置换研究多项式方程何时能够用根式求解；Cauchy 系统研究置换的组合。Cayley 在 1854 年给出脱离具体置换的抽象群表述，后来的研究进一步形成现代公理体系。MacTutor 的抽象群史介绍了相关原著与贡献。

从旋转、置换到数字运算，群论保留下来的是组合和撤销的规律。正因如此，在矩阵中出现的可逆矩阵、在向量空间中出现的向量加法，也都可以用群的语言研究。

参考资料与后续阅读

Thomas W. Judson，Abstract Algebra: Theory and Applications，Definitions and Examples：群的定义与模型。
同书，Subgroups：子群与判据。
J. J. O’Connor、E. F. Robertson，Abstract groups：抽象群概念的历史。
前置可读集合、函数、同余；继续阅读矩阵、向量空间、欧拉公式。

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-群是由一个集合和该集合上的二元运算组成的代数结构，其运算满足结合律，具有单位元，而且每个元素都有逆元。群把整数加法、几何对称和可逆变换中共同的规律抽取出来。
+'''群'''（group）是由一个集合和一种运算组成的数学结构：任意两个元素都能运算，结果仍在集合中；运算满足结合律，有单位元，每个元素都有逆元。群适合描述能够组合、能够撤销的操作，例如转动一个图形、置换一组对象，或给整数加上某个数。
-== 四项条件 ==
+理解群，可以从一个正方形出发。我们记录每次操作对顶点的影响，再从这些操作中提炼一般规则。
-设运算写作 <math>\circ</math>。集合 <math>G</math> 构成群，需要满足：
-# 封闭性：<math>a,b\in G</math> 时，<math>a\circ b\in G</math>。
-# 结合律：<math>(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)</math>。
-# 单位元：存在 <math>e\in G</math>，使 <math>e\circ a=a\circ e=a</math>。
-# 逆元：每个 <math>a\in G</math> 都存在 <math>a^{-1}\in G</math>，使 <math>a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e</math>。
-运算若还满足 <math>a\circ b=b\circ a</math>，称为阿贝尔群。交换律不是一般群的定义要求。
-例如整数在加法下构成群：单位元是 0，<math>n</math> 的逆元是 <math>-n</math>。正整数在加法下不是群；即使把 0 加入，正整数仍缺少加法逆元。非零实数在乘法下构成群，若把 0 加入则失败，因为 0 没有乘法逆元。
+== 转动正方形：四种操作的计算 ==
+把正方形放在平面上，中心固定。令 <math>r</math> 表示逆时针旋转九十度，<math>e</math> 表示保持不动。连续做两次 <math>r</math> 记为 <math>r^2</math>，三次记为 <math>r^3</math>。做四次便转完一圈，故 <math>r^4=e</math>。
-== 正方形的四种旋转 ==
+保持正方形轮廓的旋转恰有四种：
-令 <math>r</math> 表示绕正方形中心逆时针旋转 90 度。保持正方形的旋转组成
+<math display="block">C_4=\{e,r,r^2,r^3\}.</math>
-<math display="block">C_4=\{e,r,r^2,r^3\},\qquad r^4=e.</math>
+我们把“先后执行两个操作”作为运算，写成乘法。这里的幂表示反复做同一个操作，而不是给坐标逐项乘方。例如
-这里运算是旋转的复合，<math>r^3</math> 是 <math>r</math> 的逆元。可以用整数模 4 的加法记录旋转次数：<math>3+2\equiv1\pmod4</math>，表示转 270 度再转 180 度，效果与转 90 度相同。
+<math display="block">r^3r^2=r^5=r</math>
+表示总共转五个四分之一圈，效果与转一次相同。计算旋转次数时，只需保留除以四的余数，见[[同余]]。
-[[File:Gezhi-group-rotation.svg|frame|center|alt=正方形在零度、九十度、一百八十度、二百七十度旋转下的四种状态，用有色顶点跟踪位置|四次四分之一圈旋转回到初始状态。有色顶点只是跟踪标记，正方形本身的对称形状保持不变。]]
+[[File:Gezhi-group-rotation-theme.svg|frame|center|alt=正方形的四个旋转状态，有色顶点依次移动到相邻位置并在第四次回到原位|跟踪有色顶点可以区别四种旋转。颜色只帮助追踪，不属于必须固定的对称条件。]]
-== 加入反射以后不再交换 ==
+图中正方形的轮廓每次都重合，但有色顶点的位置不同，所以这四种操作彼此不同。旋转九十度的撤销操作是旋转二百七十度：<math>rr^3=r^3r=e</math>。旋转一百八十度则可以用自身撤销。
-令 <math>s(x,y)=(x,-y)</math> 表示关于横轴反射，而 <math>r(x,y)=(-y,x)</math>。约定 <math>rs</math> 表示先做 <math>s</math> 再做 <math>r</math>。作用于 <math>(1,0)</math> 时，
-<math display="block">rs(1,0)=(0,1),\qquad sr(1,0)=(0,-1).</math>
-所以 <math>rs\ne sr</math>。正方形的全部旋转与反射构成有 8 个元素的二面体群。不同教材对二面体群下标的记法可能不同，说明元素个数比只写符号更清楚。
-== 逆元为什么唯一 ==
+<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="正方形旋转群的运算表" tabindex="0">
-若 <math>b</math> 和 <math>c</math> 都是 <math>a</math> 的逆元，利用结合律可得
+{| class="wikitable"
-<math display="block">b=b\circ e=b\circ(a\circ c)=(b\circ a)\circ c=e\circ c=c.</math>
+|+ 先做列中的操作，再做行中的操作
-因此逆元唯一。类似地，可在等式两边同侧乘以逆元消去相同因子，但不能未经理由交换乘法次序。
+! 复合 !! <math>e</math> !! <math>r</math> !! <math>r^2</math> !! <math>r^3</math>
+|-
+! <math>e</math>
+| <math>e</math> || <math>r</math> || <math>r^2</math> || <math>r^3</math>
+|-
+! <math>r</math>
+| <math>r</math> || <math>r^2</math> || <math>r^3</math> || <math>e</math>
+|-
+! <math>r^2</math>
+| <math>r^2</math> || <math>r^3</math> || <math>e</math> || <math>r</math>
+|-
+! <math>r^3</math>
+| <math>r^3</math> || <math>e</math> || <math>r</math> || <math>r^2</math>
+|}
+</div>
+每个格子的结果仍是四种旋转之一。整张表可用“次数相加，再取模四”独立算出。
-== 子群与保持结构的映射 ==
+== 从旋转中提取群的定义 ==
-群中一个子集若在原运算下也构成群，称为子群。例如 <math>\{e,r^2\}</math> 是 <math>C_4</math> 的子群，而 <math>\{e,r\}</math> 不是，因为 <math>r\circ r=r^2</math> 不在其中。
+设 <math>G</math> 是集合，<math>ab</math> 表示两个元素的运算。它构成群，需要以下规则。
-若映射 <math>\varphi:G\to H</math> 满足 <math>\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)</math>，称为群同态；若它还是双射，称为同构。同构说明两个系统的元素名字不同，但运算结构相同。模 4 加法与正方形旋转群就是一例。非零复数乘法、可逆矩阵及空间对称都可以从这个角度研究。
+首先是'''封闭性'''：任意 <math>a,b\in G</math>，<math>ab</math> 都有唯一结果，且属于 <math>G</math>。对于旋转，连续旋转的效果仍是四种旋转之一。
-== 延伸阅读 ==
+其次是'''结合律'''：对任意三个元素，
-* [https://judsonbooks.org/ Thomas W. Judson，《Abstract Algebra: Theory and Applications》]：群、循环群与置换群。
+<math display="block">(ab)c=a(bc).</math>
-* [[矩阵]] · [[欧拉公式]] · [[环面]]
+括号决定先把哪两步合并为一步，不改变三步本来的执行次序。对函数复合，两边作用在任意对象 <math>x</math> 上都给出 <math>a(b(c(x)))</math>，所以满足结合律。
+第三，存在'''单位元''' <math>e</math>，使 <math>ea=ae=a</math>。第四，每个 <math>a</math> 都有'''逆元''' <math>a^{-1}</math>，使
+<math display="block">aa^{-1}=a^{-1}a=e.</math>
+旋转群的单位元是不动操作，逆元是撤销该旋转的操作。
+这些规则也适用于数字：整数在加法下构成群，单位元是零，<math>a</math> 的逆元是 <math>-a</math>；非零实数在乘法下构成群，单位元是一，逆元是倒数。运算写作乘法只是通用记号，不要求它真的是数的乘法。
+若使用非负整数与加法，正整数没有加法逆元，便不构成群；若使用所有实数与乘法，零没有乘法逆元，也不构成群。整数减法虽然封闭，却有 <math>(5-3)-1=1</math> 和 <math>5-(3-1)=3</math>，不满足结合律。每个例子都表明：集合与运算必须一起指定。
+== 为什么群不要求交换律 ==
+在旋转群里，<math>ab=ba</math> 成立。但把反射也加入，情况就不同了。取以原点为中心的正方形，定义
+<math display="block">r(x,y)=(-y,x),\qquad s(x,y)=(x,-y),</math>
+分别表示逆时针转九十度与关于横轴反射。约定 <math>rs</math> 是先做右边的 <math>s</math>，再做左边的 <math>r</math>。跟踪点 <math>(1,0)</math>：
+<math display="block">(1,0)\xrightarrow{s}(1,0)\xrightarrow{r}(0,1),</math>
+<math display="block">(1,0)\xrightarrow{r}(0,1)\xrightarrow{s}(0,-1).</math>
+[[File:Gezhi-teaching-group-order.svg|frame|center|alt=上下两排跟踪正方形右边中点，先反射再转动到上边，先转动再反射到下边|金点初始都在右边中点。上行先做 s 再做 r，下行先做 r 再做 s，最后落在不同位置。]]
+结果不同，因此 <math>rs\ne sr</math>。群的定义仍然成立，只是不满足交换律。满足交换律的群称为'''阿贝尔群'''。
+正方形的全部对称共有八种：四个旋转，以及四个反射。它们组成正方形的二面体群，可写成
+<math display="block">\{e,r,r^2,r^3,s,rs,r^2s,r^3s\}.</math>
+反射两次回到原处，所以 <math>s^2=e</math>。对一般点计算，
+<math display="block">sr(x,y)=(-y,-x)=r^{-1}s(x,y),</math>
+故 <math>sr=r^{-1}s</math>：把反射移过一次旋转，旋转方向会反过来。例如
+<math display="block">sr^2=(sr)r=(r^{-1}s)r=r^{-1}(sr)=r^{-2}s,</math>
+于是
+<math display="block">(rs)(r^2s)=r(sr^2)s=rr^{-2}ss=r^{-1}=r^3.</math>
+每一步只使用结合律和已证明的关系。少数基本操作与关系，便可以代替一张很大的运算表。
+== 群中怎样解方程 ==
+逆元使我们能够撤销运算。若 <math>ax=b</math>，两边左乘 <math>a^{-1}</math>：
+<math display="block">a^{-1}(ax)=a^{-1}b,\qquad (a^{-1}a)x=a^{-1}b,\qquad x=a^{-1}b.</math>
+相反，若 <math>xa=b</math>，应在右侧乘逆元，得到 <math>x=ba^{-1}</math>。在非交换群中，乘在哪一侧会影响结果。
+同样，若 <math>ab=ac</math>，左乘 <math>a^{-1}</math> 得 <math>b=c</math>，这称为消去律。它解释了旋转表中每行为何没有重复：若同一行两格相同，消去行元素后，两列元素也必须相同。有限群中每行与每列因此恰好各出现所有元素一次。
+单位元和逆元也是唯一的。若 <math>e,f</math> 都是单位元，则 <math>e=ef=f</math>。若 <math>b,c</math> 都是 <math>a</math> 的逆元，则
+<math display="block">b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c.</math>
+因此使用“该元素的逆元”不会产生歧义。
+撤销两个连续操作时，顺序要反过来：
+<math display="block">(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.</math>
+直接检查即可看到原因：<math>(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=e</math>；反向相乘也等于 <math>e</math>。这与[[矩阵]]乘积求逆使用同一条规律。
+== 子群与等大的分块 ==
+群中的某些元素，如果使用原运算仍构成群，就形成'''子群'''。在正方形旋转群中，只取不动与转半圈，得到
+<math display="block">H=\{e,r^2\}.</math>
+它们相乘仍在其中，每个元素也有逆元，所以是子群。若取 <math>\{e,r\}</math>，因 <math>rr=r^2</math> 不在其中，就不是子群。
+把 <math>H</math> 中每个元素左乘 <math>r</math>，得到另一组 <math>rH=\{r,r^3\}</math>。这两组恰好把四个旋转分完，而且每组都有两个元素。这种分组称为'''陪集'''。
+一般地，子群 <math>H</math> 的左陪集为 <math>gH=\{gh:h\in H\}</math>。为什么每组大小相同？映射 <math>h\mapsto gh</math> 覆盖整个 <math>gH</math>；若 <math>gh_1=gh_2</math>，消去 <math>g</math> 得 <math>h_1=h_2</math>，所以没有合并，元素逐一对应。
+为什么不同组不会只重叠一部分？若 <math>aH</math> 和 <math>bH</math> 有共同元素，就有 <math>ah_1=bh_2</math>，从而 <math>a=bh_2h_1^{-1}</math>。对任意 <math>h\in H</math>，
+<math display="block">ah=b(h_2h_1^{-1}h)\in bH,</math>
+因为括号内仍是子群元素。故 <math>aH\subseteq bH</math>；交换两者可得反向包含，所以两个陪集相同。
+每个元素 <math>g</math> 都属于 <math>gH</math>，因此陪集把整个群分成不重叠且等大的块。若群有限，就有'''拉格朗日定理'''：
+<math display="block">|G|=[G:H]\,|H|.</math>
+竖线表示元素个数，<math>[G:H]</math> 表示陪集个数。于是子群的大小必定整除群的大小。
+一个元素 <math>a</math> 的所有整数次幂组成循环子群；若最小正整数 <math>m</math> 满足 <math>a^m=e</math>，则称 <math>m</math> 为元素的阶，该子群恰有 <math>m</math> 个元素。因此有限群中元素的阶也整除群的阶。正方形的四分之一圈旋转阶为四，半圈旋转阶为二。拉格朗日定理给出必要条件，并不保证群阶的每个因子都对应一个子群。
+== 不同对象之间怎样保留运算 ==
+整数加法和正方形旋转可以联系起来：把整数 <math>n</math> 送到 <math>r^n</math>，则
+<math display="block">r^{m+n}=r^m r^n.</math>
+先加整数再转换，与先分别转换再复合，效果相同。这样的映射叫'''群同态'''，一般写作 <math>\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)</math>。
+这个例子中，四的倍数都被送到单位元；它们组成同态的'''核'''。两个整数得到同一旋转，当且仅当它们之差为四的倍数。如果先把整数按模四余数分为四类，再与四个旋转对应，就既保持运算，又一一对应，这称为'''同构'''。模四加法与四元素旋转群因而有相同的群结构，尽管一个用数字表示，另一个用图形操作表示。
+群也可以作用在对象上。正方形的八种对称作用于四个顶点，固定一个顶点后，能把它送到任意另外的顶点。把它留在原处的对称只有两个：不动，以及沿经过它与对面顶点的对角线反射。因此八种操作按“把这个顶点送到哪里”分为四组，每组两种。这里群元素是操作，顶点是操作的对象；两者的数量无需相同。这种区分在研究对称计数时很有用，参见[[组合数学]]。
+== 历史 ==
+十九世纪的群论与方程根的置换密切相关。Galois 用根之间允许的置换研究多项式方程何时能够用根式求解；Cauchy 系统研究置换的组合。Cayley 在 1854 年给出脱离具体置换的抽象群表述，后来的研究进一步形成现代公理体系。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_groups/ MacTutor 的抽象群史]介绍了相关原著与贡献。
+从旋转、置换到数字运算，群论保留下来的是组合和撤销的规律。正因如此，在[[矩阵]]中出现的可逆矩阵、在[[向量空间]]中出现的向量加法，也都可以用群的语言研究。
+== 参考资料与后续阅读 ==
+* [https://twjudson.github.io/aata-files/aata-html/groups-section-defnitions.html Thomas W. Judson，Abstract Algebra: Theory and Applications，Definitions and Examples]：群的定义与模型。
+* [https://twjudson.github.io/aata-files/aata-html/groups-section-subgroups.html 同书，Subgroups]：子群与判据。
+* [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_groups/ J. J. O’Connor、E. F. Robertson，Abstract groups]：抽象群概念的历史。
+* 前置可读[[集合]]、[[函数]]、[[同余]]；继续阅读[[矩阵]]、[[向量空间]]、[[欧拉公式]]。
 [[分类:代数]]