欧拉公式：修订间差异

2026年9月20日 (日) 00:25的版本

欧拉公式是复指数函数与三角函数之间的恒等式。对任意实数 $θ$ ， $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ, i^{2} = - 1.$ 这里的角度采用弧度制。公式把单位圆上的旋转写成指数运算，是复数、三角函数和振动分析之间的桥梁。

单位圆上的一个点

复平面单位圆上角度为θ的点，横纵投影分别为余弦θ和正弦θ — 点的横坐标是实部，纵坐标是虚部；虚数单位 i 表示纵轴方向。

复数 $z = x + i y$ 对应平面上的点 $(x, y)$ 。由 $\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1$ 可知， $e^{i θ}$ 的模长等于 1。

更一般地，每个非零复数都可以写成 $z = r e^{i θ}$ ，其中 $r = | z | > 0$ 。角度只在相差 $2 π k$ （ $k$ 为整数）的意义下确定；原点没有确定的辐角。

为什么指数会产生三角函数

复指数可由幂级数定义： $e^{z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} .$ 该级数对每个复数绝对收敛，因此可以把偶数次项与奇数次项分别求和。代入 $z = i θ$ ，利用 $i^{2 k} = (- 1)^{k}$ 和 $i^{2 k + 1} = i (- 1)^{k}$ ，得到 $e^{i θ} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} θ^{2 k}}{(2 k)!} + i \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} θ^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} .$ 两个实级数分别是余弦和正弦的展开式。这也说明公式中的 $e^{i θ}$ 不是把实数指数的图像直接延长，而是使用了在复数范围内一致的函数定义。

乘法就是缩放与旋转

若 $z_{1} = r_{1} e^{i α}$ 、 $z_{2} = r_{2} e^{i β}$ ，则 $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (α + β)} .$ 模长相乘，角度相加。例如 $1 + i = \sqrt{2} e^{i π / 4}$ ，所以 $(1 + i)^{2} = 2 e^{i π / 2} = 2 i .$ 直接展开也得到 $1 + 2 i + i^{2} = 2 i$ 。两种算法分别突出几何结构与代数规则。

比较 $e^{i (α + β)}$ 两种写法的实部和虚部，就能得到三角函数的和角公式。对整数 $n$ ，还有棣莫弗公式 $(\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos (n θ) + i \sin (n θ) .$

振动与特殊值

取 $θ = π$ 得到欧拉恒等式 $e^{i π} + 1 = 0$ ；取 $θ = π / 2$ 得到 $e^{i π / 2} = i$ 。

在简谐振动中， $A \cos (ω t + φ)$ 可以表示为 $A e^{i (ω t + φ)}$ 的实部。这里 $A$ 为振幅， $ω$ 为角频率， $φ$ 为初相位。复指数把微分转化为乘以 $i ω$ ，便于处理线性的振动方程；最后仍需取出所需的实物理量。

使用时的边界

$e^{i θ} = 1$ 不只发生在 $θ = 0$ ，而是所有 $θ = 2 π k$ 。复指数不是一一对应的函数，因此复对数不能直接照搬实对数的单值规则。
若角度用度数表示，应先乘以 $π / 180$ 。例如 90 度对应 $e^{i π / 2}$ 。
此处的欧拉公式与多面体的欧拉公式 $V - E + F = 2$ 是不同结论；后者的拓扑背景可参见环面。

延伸阅读

Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》：复数、复指数及线性微分方程。
导数 · 微分方程 · 群

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-欧拉公式将复指数函数与三角函数联系起来，让代数、几何与分析在同一个等式中相遇。
+欧拉公式是复指数函数与三角函数之间的恒等式。对任意实数 <math>\theta</math>，
+<math display="block">e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\qquad i^2=-1.</math>
+这里的角度采用'''弧度制'''。公式把单位圆上的旋转写成指数运算，是复数、三角函数和振动分析之间的桥梁。
-{{定理|名称=欧拉公式|内容=<math display="block">e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math>|说明=对任意实数 <math>\theta</math> 成立，其中 <math>i^2=-1</math>。}}
+== 单位圆上的一个点 ==
+[[File:Gezhi-euler-circle.svg|frame|center|alt=复平面单位圆上角度为θ的点，横纵投影分别为余弦θ和正弦θ|点的横坐标是实部，纵坐标是虚部；虚数单位 i 表示纵轴方向。]]
+复数 <math>z=x+iy</math> 对应平面上的点 <math>(x,y)</math>。由 <math>\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math> 可知，<math>e^{i\theta}</math> 的模长等于 1。
-== 几何意义 ==
+更一般地，每个非零复数都可以写成 <math>z=re^{i\theta}</math>，其中 <math>r=|z|>0</math>。角度只在相差 <math>2\pi k</math>（<math>k</math> 为整数）的意义下确定；原点没有确定的辐角。
-<div class="math-unit-circle" role="img" aria-label="复平面上的单位圆，点的坐标为余弦θ与正弦θ"></div>
-在复平面上，复数 <math>e^{i\theta}</math> 表示单位圆上的一个点：它的实部是 <math>\cos\theta</math>，虚部是 <math>\sin\theta</math>，模长为 1。
-因此，乘以 <math>e^{i\theta}</math> 可以理解为绕原点逆时针旋转角度 <math>\theta</math>。指数的乘法法则恰好对应旋转角度的相加：
-<math display="block">e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}.</math>
-这里的角度以弧度表示。随着角度变化，点在单位圆上连续运动；角度增加 <math>2\pi</math> 时，它回到原来的位置。
-<div style="clear:both"></div>
-== 一个简短的证明 ==
-利用指数函数、正弦和余弦在原点的幂级数展开，可以直接看出三者的联系。对任意复数 <math>z</math>，指数函数可以用绝对收敛的级数定义：
+== 为什么指数会产生三角函数 ==
+复指数可由幂级数定义：
 <math display="block">e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.</math>
+该级数对每个复数绝对收敛，因此可以把偶数次项与奇数次项分别求和。代入 <math>z=i\theta</math>，利用 <math>i^{2k}=(-1)^k</math> 和 <math>i^{2k+1}=i(-1)^k</math>，得到
-令 <math>z=i\theta</math>，把偶数次项与奇数次项分开。由于 <math>i^{2k}=(-1)^k</math>、<math>i^{2k+1}=i(-1)^k</math>，得到
-<div class="math-proof">
 <math display="block">e^{i\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.</math>
+两个实级数分别是余弦和正弦的展开式。这也说明公式中的 <math>e^{i\theta}</math> 不是把实数指数的图像直接延长，而是使用了在复数范围内一致的函数定义。
-右边两个级数分别是 <math>\cos\theta</math> 和 <math>\sin\theta</math> 的幂级数，所以欧拉公式成立。
+== 乘法就是缩放与旋转 ==
-<div class="math-proof-end">□</div>
+若 <math>z_1=r_1e^{i\alpha}</math>、<math>z_2=r_2e^{i\beta}</math>，则
-</div>
+<math display="block">z_1z_2=r_1r_2e^{i(\alpha+\beta)}.</math>
+模长相乘，角度相加。例如 <math>1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}</math>，所以
-== 特殊情形 ==
+<math display="block">(1+i)^2=2e^{i\pi/2}=2i.</math>
-当 <math>\theta=\pi</math> 时，<math>\cos\pi=-1</math> 且 <math>\sin\pi=0</math>，于是得到欧拉恒等式：
+直接展开也得到 <math>1+2i+i^2=2i</math>。两种算法分别突出几何结构与代数规则。
-<math display="block">e^{i\pi}+1=0.</math>
-当 <math>\theta=\pi/2</math> 时，<math>e^{i\pi/2}=i</math>，对应把正实轴上的单位向量旋转四分之一圈。
+比较 <math>e^{i(\alpha+\beta)}</math> 两种写法的实部和虚部，就能得到三角函数的和角公式。对整数 <math>n</math>，还有棣莫弗公式
+<math display="block">(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).</math>
-== 一个应用 ==
+== 振动与特殊值 ==
-把欧拉公式与它的共轭形式相加或相减，可得
+取 <math>\theta=\pi</math> 得到欧拉恒等式 <math>e^{i\pi}+1=0</math>；取 <math>\theta=\pi/2</math> 得到 <math>e^{i\pi/2}=i</math>。
-<math display="block">\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.</math>
+在简谐振动中，<math>A\cos(\omega t+\varphi)</math> 可以表示为 <math>Ae^{i(\omega t+\varphi)}</math> 的实部。这里 <math>A</math> 为振幅，<math>\omega</math> 为角频率，<math>\varphi</math> 为初相位。复指数把微分转化为乘以 <math>i\omega</math>，便于处理线性的振动方程；最后仍需取出所需的实物理量。
-这使三角函数问题可以转化成指数函数的运算，在振动、波动与微分方程中非常有用。
+== 使用时的边界 ==
+* <math>e^{i\theta}=1</math> 不只发生在 <math>\theta=0</math>，而是所有 <math>\theta=2\pi k</math>。复指数不是一一对应的函数，因此复对数不能直接照搬实对数的单值规则。
+* 若角度用度数表示，应先乘以 <math>\pi/180</math>。例如 90 度对应 <math>e^{i\pi/2}</math>。
+* 此处的欧拉公式与多面体的欧拉公式 <math>V-E+F=2</math> 是不同结论；后者的拓扑背景可参见 [[环面]]。
-== 相关条目 ==
+== 延伸阅读 ==
-* [[微积分]]：理解函数的变化与累积。
+* [https://www.jirka.org/diffyqs/ Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》]：复数、复指数及线性微分方程。
-* [[微分方程]]：描述随时间演化的系统。
+* [[导数]] · [[微分方程]] · [[群]]
-* [[环面]]：从参数方程走向空间曲面。
 [[分类:分析]]