极限：修订间差异

2026年9月20日 (日) 00:32的版本

极限描述变量趋近某个位置或无穷远时，函数值或数列项所趋近的确定数值。它关心的是趋近过程中的行为，不要求函数在目标点有定义，也不要求在那里取到极限值。导数和积分都建立在极限之上。

趋近一个点的含义

对实函数 $f$ ，设 $a$ 是定义域的聚点。写作 $lim_{x \to a} f (x) = L$ 表示：对任意 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，使定义域内所有满足 $0 < | x - a | < δ$ 的 $x$ 都满足 $| f (x) - L | < ε$ 。

$ε$ 是允许的输出误差， $δ$ 是足以控制误差的输入范围。选择 $δ$ 可以依赖 $ε$ ，但不能对范围内的每个 $x$ 临时更改。“对任意误差都能做到”比“图像看起来接近”更强。

函数x平方在x等于2附近的图像，输入区间对应的函数值落入以4为中心的误差带 — 误差带示意：缩小横轴上的输入范围，可以把函数值限制在目标值附近。图中具体区间只是一次选择，定义要求任意正误差都可控制。

一次完整的误差估计

证明 $lim_{x \to 2} x^{2} = 4$ 。先令 $| x - 2 | < 1$ ，于是 $1 < x < 3$ ，从而 $| x + 2 | < 5$ 。于是 $| x^{2} - 4 | = | x - 2 | | x + 2 | < 5 | x - 2 | .$ 对任意 $ε > 0$ ，取 $δ = min {1, ε / 5}$ ，就能保证 $0 < | x - 2 | < δ$ 时误差小于 $ε$ 。先限制一个较大邻域，再给误差一个上界，是常用证明方法。

函数值、左右极限与连续

函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} (x \neq 1)$ 在 $x = 1$ 无定义，但在其他点等于 $x + 1$ ，所以其极限为 2。补定义 $f (1) = 2$ 可以得到连续函数；补成 7 不改变极限，却仍然不连续。

在左右两侧都有定义的通常情形下，双侧极限存在当且仅当左极限和右极限存在且相等。例如 $f (x) = | x | / x$ 在 0 左侧为 −1，右侧为 1，因而在 0 没有双侧极限。连续则进一步要求 $f (a)$ 存在并等于该极限。

数列与无穷远

数列极限 $a_{n} \to L$ 的定义是：对任意 $ε > 0$ ，存在正整数 $N$ ，使所有 $n \geq N$ 都有 $| a_{n} - L | < ε$ 。例如 $a_{n} = 1 / n$ ，选 $N > 1 / ε$ 即可。

无界增大的数列可以记为趋于 $+ \infty$ ，但这不是收敛到某个实数。例如 $n$ 趋于正无穷，而 $(- 1)^{n}$ 既不收敛，也不趋于正负无穷。

计算规则与常见陷阱

有限极限满足和、差、积的运算法则；商的法则还要求分母极限不为零。出现 $0 / 0$ 不是答案，而是这些规则不能直接决定结果的信号： $x / x \to 1$ ， $x^{2} / x \to 0$ ，而 $x / x^{2}$ 在 0 没有有限双侧极限。

夹逼定理提供另一种方法。由 $| \sin (1 / x) | \leq 1$ 得 $- x^{2} \leq x^{2} \sin (1 / x) \leq x^{2},$ 故中间函数在 $x \to 0$ 时趋于 0，尽管正弦因子本身不断振荡。代入、约分、夹逼等方法各有条件，数值表只能帮助猜测极限，不能替代这些条件。

延伸阅读

OpenStax，《Calculus Volume 1》§2.5：极限的精确定义。
逻辑 · 导数 · 微积分

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-极限描述当自变量或序列的指标趋近某个目标时，函数值或序列项趋向的数值。它是连续、导数与积分等概念的基础。
+极限描述变量趋近某个位置或无穷远时，函数值或数列项所趋近的确定数值。它关心的是'''趋近过程中的行为'''，不要求函数在目标点有定义，也不要求在那里取到极限值。[[导数]]和[[积分]]都建立在极限之上。
-== 核心表达 ==
+== 趋近一个点的含义 ==
-{{定义|内容=<math display="block">\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0</math>}}
+对实函数 <math>f</math>，设 <math>a</math> 是定义域的聚点。写作
+<math display="block">\lim_{x\to a}f(x)=L</math>
+表示：对任意 <math>\varepsilon>0</math>，存在 <math>\delta>0</math>，使定义域内所有满足 <math>0<|x-a|<\delta</math> 的 <math>x</math> 都满足 <math>|f(x)-L|<\varepsilon</math>。
-== 直觉与例子 ==
+<math>\varepsilon</math> 是允许的输出误差，<math>\delta</math> 是足以控制误差的输入范围。选择 <math>\delta</math> 可以依赖 <math>\varepsilon</math>，但不能对范围内的每个 <math>x</math> 临时更改。“对任意误差都能做到”比“图像看起来接近”更强。
-给定任意正数 ε，只要 n 足够大，就有 1/n 小于 ε。这个例子中，序列项一直为正，但它们可以任意接近 0。
-== 继续阅读 ==
+[[File:Gezhi-limit-band.svg|frame|center|alt=函数x平方在x等于2附近的图像，输入区间对应的函数值落入以4为中心的误差带|误差带示意：缩小横轴上的输入范围，可以把函数值限制在目标值附近。图中具体区间只是一次选择，定义要求任意正误差都可控制。]]
-* [[导数]]
-* [[微积分]]
+== 一次完整的误差估计 ==
+证明 <math>\lim_{x\to2}x^2=4</math>。先令 <math>|x-2|<1</math>，于是 <math>1<x<3</math>，从而 <math>|x+2|<5</math>。于是
+<math display="block">|x^2-4|=|x-2||x+2|<5|x-2|.</math>
+对任意 <math>\varepsilon>0</math>，取 <math>\delta=\min\{1,\varepsilon/5\}</math>，就能保证 <math>0<|x-2|<\delta</math> 时误差小于 <math>\varepsilon</math>。先限制一个较大邻域，再给误差一个上界，是常用证明方法。
+== 函数值、左右极限与连续 ==
+函数
+<math display="block">f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\quad(x\ne1)</math>
+在 <math>x=1</math> 无定义，但在其他点等于 <math>x+1</math>，所以其极限为 2。补定义 <math>f(1)=2</math> 可以得到连续函数；补成 7 不改变极限，却仍然不连续。
+在左右两侧都有定义的通常情形下，双侧极限存在当且仅当左极限和右极限存在且相等。例如 <math>f(x)=|x|/x</math> 在 0 左侧为 −1，右侧为 1，因而在 0 没有双侧极限。连续则进一步要求 <math>f(a)</math> 存在并等于该极限。
+== 数列与无穷远 ==
+数列极限 <math>a_n\to L</math> 的定义是：对任意 <math>\varepsilon>0</math>，存在正整数 <math>N</math>，使所有 <math>n\ge N</math> 都有 <math>|a_n-L|<\varepsilon</math>。例如 <math>a_n=1/n</math>，选 <math>N>1/\varepsilon</math> 即可。
+无界增大的数列可以记为趋于 <math>+\infty</math>，但这不是收敛到某个实数。例如 <math>n</math> 趋于正无穷，而 <math>(-1)^n</math> 既不收敛，也不趋于正负无穷。
+== 计算规则与常见陷阱 ==
+有限极限满足和、差、积的运算法则；商的法则还要求分母极限不为零。出现 <math>0/0</math> 不是答案，而是这些规则不能直接决定结果的信号：<math>x/x\to1</math>，<math>x^2/x\to0</math>，而 <math>x/x^2</math> 在 0 没有有限双侧极限。
+夹逼定理提供另一种方法。由 <math>|\sin(1/x)|\le1</math> 得
+<math display="block">-x^2\le x^2\sin(1/x)\le x^2,</math>
+故中间函数在 <math>x\to0</math> 时趋于 0，尽管正弦因子本身不断振荡。代入、约分、夹逼等方法各有条件，数值表只能帮助猜测极限，不能替代这些条件。
+== 延伸阅读 ==
+* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit OpenStax，《Calculus Volume 1》§2.5]：极限的精确定义。
+* [[逻辑]] · [[导数]] · [[微积分]]
 [[分类:分析]]