矩阵：修订间差异

2026年9月20日 (日) 00:32的版本

矩阵是按行与列排列的元素构成的矩形数组。一个 $m \times n$ 矩阵有 $m$ 行、 $n$ 列；元素通常来自实数或复数。矩阵既可以记录数据，也可以在选定基后表示向量空间之间的线性映射。

形状决定运算是否有意义

记 $A = (a_{i j})$ ，下标 $i$ 表示行， $j$ 表示列。同形状矩阵可逐项相加；数乘是把每项乘以同一个数。矩阵乘法则不是逐项相乘。

若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $B$ 是 $n \times p$ 矩阵，乘积 $A B$ 的形状为 $m \times p$ ，其元素是 $(A B)_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j} .$ 中间维数必须相同。这条规则使得 $A (B x) = (A B) x$ ，也就是先做 $B$ 再做 $A$ 的复合变换。

矩阵乘向量：列的线性组合

设 $A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}), x = (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) .$ 那么 $A x = (u + v, v)^{𝖳}$ ，也可看作第一列的 $u$ 倍与第二列的 $v$ 倍相加。上标 $𝖳$ 表示转置，把行排列转为列排列。

单位正方形经过矩阵一一零一变换成为面积不变的平行四边形 — 变换 (u,v)→(u+v,v) 是水平剪切：横向基向量不变，纵向基向量移动到 (1,1)。

例如 $A (1, 1)^{𝖳} = (2, 1)^{𝖳}$ 。这种“看列向量”的方法比孤立记忆乘法口令更容易理解矩阵的作用。

次序为什么不能交换

取 $B = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ，表示横向拉伸两倍。计算得到 $A B = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}), B A = (\begin{matrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .$ 因此 $A B \neq B A$ 。先拉伸再剪切与先剪切再拉伸不是同一变换。即使两个乘积都能计算，也不能默认相等；有时反过来的乘积甚至没有定义。

可逆性、秩与信息损失

方阵 $A$ 若存在 $A^{- 1}$ 使 $A^{- 1} A = A A^{- 1} = I$ ，称为可逆。上例的逆矩阵为 $(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ，能把剪切还原。

矩阵的秩是列向量张成空间的维数，也等于行秩。例如 $C = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix})$ 的第二列是第一列的两倍，秩为 1。它把平面压缩到一条直线，不同输入可能得到相同输出，所以没有逆矩阵。

对 $2 \times 2$ 矩阵，行列式为 $a d - b c$ 。实二维情形下，其绝对值给出面积缩放倍数，符号记录定向是否翻转。上例剪切的行列式为 1，所以保面积； $C$ 的行列式为 0，面积被压为零。只有方阵才有通常意义下的行列式与双侧逆矩阵。

从方程组到数据

方程组可以写成 $A x = b$ ，但实际数值求解通常直接采用消元或矩阵分解，不必先显式计算逆矩阵。矩阵还用于图的邻接关系、坐标变换、最小二乘拟合等；若仅把表格存成矩阵，仍需解释每一行、每一列与单位代表什么。

延伸阅读

MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra：矩阵运算、列空间与线性方程组。
线性代数 · 向量空间 · 图论

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-矩阵是按行与列排列的数的矩形阵列。它可以表示线性映射、线性方程组，也可以组织数据。
+矩阵是按行与列排列的元素构成的矩形数组。一个 <math>m\times n</math> 矩阵有 <math>m</math> 行、<math>n</math> 列；元素通常来自实数或复数。矩阵既可以记录数据，也可以在选定基后表示[[向量空间]]之间的线性映射。
-== 核心表达 ==
+== 形状决定运算是否有意义 ==
-{{定义|内容=<math display="block">A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}</math>}}
+记 <math>A=(a_{ij})</math>，下标 <math>i</math> 表示行，<math>j</math> 表示列。同形状矩阵可逐项相加；数乘是把每项乘以同一个数。矩阵乘法则不是逐项相乘。
-== 直觉与例子 ==
+若 <math>A</math> 是 <math>m\times n</math> 矩阵，<math>B</math> 是 <math>n\times p</math> 矩阵，乘积 <math>AB</math> 的形状为 <math>m\times p</math>，其元素是
-上式是一个 2×2 矩阵。矩阵乘法通常不可交换：AB 与 BA 即使都存在，也不一定相等。
+<math display="block">(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}.</math>
+中间维数必须相同。这条规则使得 <math>A(Bx)=(AB)x</math>，也就是先做 <math>B</math> 再做 <math>A</math> 的复合变换。
-== 继续阅读 ==
+== 矩阵乘向量：列的线性组合 ==
-* [[向量空间]]
+设
-* [[线性代数]]
+<math display="block">A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}.</math>
+那么 <math>Ax=(u+v,v)^{\mathsf T}</math>，也可看作第一列的 <math>u</math> 倍与第二列的 <math>v</math> 倍相加。上标 <math>\mathsf T</math> 表示转置，把行排列转为列排列。
+[[File:Gezhi-matrix-shear.svg|frame|center|alt=单位正方形经过矩阵一一零一变换成为面积不变的平行四边形|变换 (u,v)→(u+v,v) 是水平剪切：横向基向量不变，纵向基向量移动到 (1,1)。]]
+例如 <math>A(1,1)^{\mathsf T}=(2,1)^{\mathsf T}</math>。这种“看列向量”的方法比孤立记忆乘法口令更容易理解矩阵的作用。
+== 次序为什么不能交换 ==
+取 <math>B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}</math>，表示横向拉伸两倍。计算得到
+<math display="block">AB=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}2&2\\0&1\end{pmatrix}.</math>
+因此 <math>AB\ne BA</math>。先拉伸再剪切与先剪切再拉伸不是同一变换。即使两个乘积都能计算，也不能默认相等；有时反过来的乘积甚至没有定义。
+== 可逆性、秩与信息损失 ==
+方阵 <math>A</math> 若存在 <math>A^{-1}</math> 使 <math>A^{-1}A=AA^{-1}=I</math>，称为可逆。上例的逆矩阵为 <math>\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}</math>，能把剪切还原。
+矩阵的秩是列向量张成空间的维数，也等于行秩。例如 <math>C=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}</math> 的第二列是第一列的两倍，秩为 1。它把平面压缩到一条直线，不同输入可能得到相同输出，所以没有逆矩阵。
+对 <math>2\times2</math> 矩阵，行列式为 <math>ad-bc</math>。实二维情形下，其绝对值给出面积缩放倍数，符号记录定向是否翻转。上例剪切的行列式为 1，所以保面积；<math>C</math> 的行列式为 0，面积被压为零。只有方阵才有通常意义下的行列式与双侧逆矩阵。
+== 从方程组到数据 ==
+方程组可以写成 <math>Ax=b</math>，但实际数值求解通常直接采用消元或矩阵分解，不必先显式计算逆矩阵。矩阵还用于图的邻接关系、坐标变换、最小二乘拟合等；若仅把表格存成矩阵，仍需解释每一行、每一列与单位代表什么。
+== 延伸阅读 ==
+* [https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/ MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra]：矩阵运算、列空间与线性方程组。
+* [[线性代数]] · [[向量空间]] · [[图论]]
 [[分类:代数]]