斐波那契数列

斐波那契数列可由两个初始值和一条递推式确定。约定 $F_1=F_2=1$，从第三项起令 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$，得到 $1,1,2,3,5,8,13,\dots$。有些资料改用 $F_0=0,F_1=1$；两种编号给出的后续数字相同，引用公式时应先看从哪一项开始编号。

两项记忆的递推

要算 $F_6$，只需要前两项 $F_4=3,F_5=5$，所以 $F_6=8$。但要从头开始计算，两个初始值都不可省。与等差数列的固定差、等比数列的固定比不同，这里增量 $F_n-F_{n-1}=F_{n-2}$ 本身在变化。

下图用边长为 1、1、2、3、5 的正方形拼成不断扩大的长方形。从第三块起，新正方形的边长等于前两块的边长之和；颜色只是帮助沿拼接顺序追踪数字。图形展示递推可以怎样出现，并不负责证明每个斐波那契恒等式。

沿着 1、1、2、3、5 的边长读拼图，可见新边长由前两次的长度相加。

前 n 项和

前几项相加有 $1=F_3-1$、$1+1=F_4-1$、$1+1+2=F_5-1$。这提示 $$F_1+F_2+\cdots +F_n=F_{n+2}-1(n\ge 1).$$ 这些小例子只能帮助猜测。用数学归纳法证明：$n=1$ 时两边同为 1。若前 $n$ 项之和为 $F_{n+2}-1$，再加入 $F_{n+1}$，便得到 $F_{n+2}+F_{n+1}-1=F_{n+3}-1$。最后一步恰好使用递推式，因此结论对所有正整数 $n$ 成立。

例如前六项之和 $1+1+2+3+5+8=20$；公式给 $F_8-1=21-1=20$。若误把 $F_{n+1}-1$ 写在右边，$n=2$ 就会得到错误的 1，低下标核对能及时发现错位。

比值与极限

相邻项的比值依次为 $1,2,3/2,5/3,8/5,\dots$，并不恒定。若它趋于正数 $r$，递推式除以 $F_n$ 提示 $r=1+1/r$，正根为 $\phi =(1+\sqrt{5})/2$。这个方程只求出可能的极限，还需要证明比值真的收敛。

可以进一步求通项来完成证明。令 $\psi =(1-\sqrt{5})/2$，则 ${\phi }^2=\phi +1$、${\psi }^2=\psi +1$。因此两个数列 ${\phi }^n$、${\psi }^n$ 都满足“后一项等于前两项之和”的递推。它们的线性组合 $$G_n=\frac{{\phi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}}$$ 也满足同一递推，并且 $G_0=0,G_1=1$。与约定 $F_0=0,F_1=1$ 的斐波那契数列有相同起点和规则，归纳得到 $G_n=F_n$。又因 $|\psi /\phi |<1$， $$\frac{F_{n+1}}{F_n}=\phi \frac{1-(\psi /\phi {)}^{n+1}}{1-(\psi /\phi {)}^n}⟶\phi .$$ 通项看起来含无理数，但两个幂的差按递推必给出整数；收敛结论来自 $(\psi /\phi {)}^n\to 0$，而不只是数表外观。

名称与早期记载

比萨的列奥纳多（斐波那契）在 1202 年的《算盘书》中，用一个理想化的兔群繁殖问题得到这串数。那是让每对兔子按固定月龄繁殖、且不考虑死亡的计数题；它展示递推的构造，并不是对真实兔群的可靠预测。以他命名也不意味着他是最早认识这类递推的人；不同文化中相似的计数问题有更早的研究，具体传播和起源仍需区分文献证据与推测。

试算。已知 $F_7=13,F_8=21$，不用重算前六项，求前八项之和。递推给 $F_9=34,F_{10}=55$，所以 $S_8=F_{10}-1=54$。

参考资料

• OpenStax《Precalculus 2e》§11.1：递推定义与斐波那契数列。
• 圣安德鲁斯大学 MacTutor 数学史词条：数列与《算盘书》的兔群问题；同站历史研究讨论起源归属的证据与假说。