等差数列

等差数列的相邻两项有固定的差。对从第 1 项开始编号的实数列 $(a_{n})$ ，若存在常数 $d$ 使每个 $n \geq 1$ 都满足 $a_{n + 1} - a_{n} = d$ ，则称它为等差数列， $d$ 叫公差。例如 $7, 4, 1, - 2, \dots$ 的公差是 $- 3$ ；公差可以为负、为零，也可以为正。

从一步的差到任意一项

从第 1 项走到第 $n$ 项，经过 $n - 1$ 次相同的增加： $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d .$ 更严格地看， $a_{n} - a_{1} = (a_{n} - a_{n - 1}) + \dots + (a_{2} - a_{1})$ ，右边恰有 $n - 1$ 个 $d$ 。这给出了通项公式的推导，而不必逐项猜测。若已知第 $m$ 项，也可从那里出发写成 $a_{n} = a_{m} + (n - m) d$ 。

假设仓库每周盘点前的库存依次为 $48, 43, 38, \dots$ 件，而且每周净减少 5 件。第 7 周为 $a_{7} = 48 + 6 (- 5) = 18$ 件。通项适用于“每周净变化量保持 −5”这一假设；如果实际有补货或需求变化，就要换模型，不能把负库存当作现实预测。

位置在中间，数值也在中间

通项还给出 $a_{n - 1} = a_{n} - d$ 和 $a_{n + 1} = a_{n} + d$ 。相加得到 $2 a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1} (n \geq 2) .$ 因此中间项是两旁项的算术平均数。例如 4、7、10 构成等差三项，因为 $7 = (4 + 10) / 2$ 。反过来，若这个关系对全部内项成立，相邻差便满足 $a_{n + 1} - a_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ ，所以整列等差。只检查其中一组三项，不能保证其余各项也有同样公差。

图像由离散点 $(n, a_{n})$ 组成，全部落在斜率为 $d$ 的直线上。数列中的周跑量图给出 $d = 2$ 的例子；图上点之间的线仍只是辅助，并不是额外的项。

试算。若 $a_{4} = 11, a_{10} = 29$ ，则跨过六步增加 18，故 $d = (29 - 11) / 6 = 3$ ， $a_{1} = 11 - 3 \cdot 3 = 2$ ，通项 $a_{n} = 3 n - 1$ 。代入 $n = 10$ 得 29，可核对索引没有少算一步。累计前若干项见等差数列的前n项和。

参考资料

OpenStax《Precalculus 2e》§11.2：公差与通项。