事件独立性

事件 $A$ 与 $B$ 独立，指 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。若 $P(B)>0$，这等价于 $P(A\mid B)=P(A)$：得知 $B$ 不改变 $A$ 的概率。两次独立掷公平硬币，第一次正面、第二次正面就是例子，交事件概率为 $1/4=(1/2)(1/2)$。

独立与互斥

互斥指两事件不可能同时发生，即 $P(A\cap B)=0$。若 $P(A)>0$、$P(B)>0$，互斥便不可能独立。掷骰时“结果为 1”与“结果为 2”互斥而不独立；知道前者发生，就能断定后者不发生。概念混淆常来自把“毫不相干”误当“不会同时发生”。

独立性也不能凭直觉判断。事件运算与古典概型中的双骰事件 $A=$“第一枚为偶数”、$B=$“点数和至少为 10”，分别有概率 $1/2$ 与 $1/6$，若独立则交事件应为 $1/12$。实际交事件有四个有序对，概率 $4/36=1/9$，不相等。第二个条件偏向较大的点数，因此改变了第一枚为偶数的可能性。

若 $A,B$ 确实独立，则 $A$ 与 $B^c$ 也独立。因为 $A$ 可拆成互斥的 $A\cap B$ 与 $A\cap B^c$，所以 $P(A\cap B^c)=P(A)-P(A\cap B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B^c)$。这条推论来自加法和乘法定义，不需要再假设补事件“看起来无关”。

两两独立不够推出共同独立

取两次公平掷币的四个等可能结果，令 $A$ 为第一次正面、$B$ 为第二次正面、$C$ 为两次同面。三者各有概率 $1/2$；任取两个，交事件各占四个结果中的一个，概率 $1/4$，所以两两独立。但 $A\cap B\cap C$ 是“正正”，概率 $1/4$，而三者概率之积是 $1/8$。因此三个事件共同独立，需要检查每个子族的交事件概率等于各自概率之积。

独立性是对概率模型的假设或可验证性质，不是“重复试验”自动带来的。若抽球不放回，后一次的颜色通常受前一次影响。

参考资料

• MIT 18.05，Independence 讲义。
• MIT 6.041，概率论讲义。
• 继续阅读：条件概率、独立同分布。