分类:概率与统计

描述随机现象，并解释数据支持什么结论。

英文名称：Probability and statistics。

从统计图和概率分布认识数据与不确定性，再用随机过程描述时间联系；马尔可夫链、布朗运动和随机微分方程把单次分布连接成完整演化。

先用数据的测量尺度弄清每列记录表示什么，再用方差与标准差量化分散，用百分比与百分点准确比较比例。计算多步事件可从概率树开始；拟合关系后应到残差分析检查结构是否遗漏。入门算例和阅读顺序见代数与统计建模入门。

想先学会读图，可从统计图出发，再按手头的问题选择：

• 图上每个点、线和摘要从哪些记录与计算得到：统计图形语法。
• 原样看每条数值记录：堆叠点图；比较类别人数：条形图；比较几组的部分与整体：堆积条形图；表示单个共同整体：扇形统计图。
• 认识一批数的分布：直方图看区间频数，经验分布函数图看阈值以下比例，核密度估计图看平滑形状；多组比较再用箱线图、小提琴图，对照理论分位数用Q-Q图。
• 研究两个量的配对关系：散点图；点重合严重时数二维格子；二维表值用热力图；随时间或有序坐标的变化用折线图。
• 在共用尺度的小图中比较分组：分面图；为点估计标出区间：误差线图；围绕拟合曲线表示均值或新观测的不确定范围：置信带图。

想从一份问卷推断一群人的情况，可沿社会调查与抽样专题走：先定总体、抽样框和题目，再比较简单随机抽样、分层随机抽样、等距抽样与二阶段抽样怎样决定估计值及其方差；调查中的覆盖与无回答误差提醒哪些偏差不在标准误里。

想学习不确定性的数学表达，可以沿 概率 → 期望 → 贝叶斯定理 → 统计推断 前进。先辨清样本空间与抽样机制，再计算；条件概率、后验概率、置信区间覆盖率和 p 值需要各自的解释。

从样本推断总体时，先算点估计，再用标准误衡量重复抽样波动，利用置信区间给出覆盖范围。检验一个主张则沿假设检验、p 值读到第一类错误与第二类错误和检验功效；若参数需要从概率模型中估出，可看最大似然估计。

想知道怎样给随机现象选择模型，先读概率分布，弄清概率质量、密度面积和累计概率，再按变量选择：

• 固定试验次数中的成功数：二项分布；直到首次成功的试验次数：几何分布。
• 稳定事件过程在窗口内的次数：泊松分布；等待下一次事件的时间：指数分布。
• 有界区间内等长范围等概率：均匀分布；中心附近的对称测量模型：正态分布。
• 正态总体标准差未知时，样本均值的标准化统计量：学生t分布。

在管理与生活中的数学中，可以沿具体案例连接本领域的工具与应用。

• 百分比与百分点
• 概率树
• 数据的测量尺度
• 加权平均数与综合评价
• 几何平均数与调和平均数
• 稳健平均数
• Logistic回归
• 方差与标准差
• 残差分析
• 统计图
• 统计图形语法
• 堆叠点图
• 条形图
• 堆积条形图
• 扇形统计图
• 直方图
• 经验分布函数图
• 核密度估计图
• 箱线图
• 小提琴图
• Q-Q图
• 散点图
• 二维分箱图
• 热力图
• 折线图
• 置信带图
• 分面图
• 误差线图
• 概率
• 概率分布
• 二项分布
• 几何分布
• 泊松分布
• 指数分布
• 均匀分布
• 正态分布
• 学生t分布
• 期望
• 贝叶斯定理
• 统计推断
• 点估计
• 标准误
• 置信区间
• 假设检验
• p 值
• 第一类错误与第二类错误
• 检验功效
• 最大似然估计
• 随机过程
• 马尔可夫链
• 布朗运动
• 随机微分方程
• 二项分布的正态近似
• 洛伦兹曲线与基尼系数
• 社会调查方法
• 简单随机抽样
• 分层随机抽样
• 等距抽样
• 二阶段抽样
• 调查中的覆盖与无回答误差
• 社会调查数据分析
• 判别分析
• 聚类分析

• 容斥原理
• 条件概率
• 全概率公式
• 事件独立性
• 随机变量
• 累积分布函数
• 概率密度函数
• 协方差
• 相关系数
• 条件期望
• 大数定律
• 中心极限定理
• 联合分布
• 边缘分布
• 独立同分布
• 马尔可夫不等式
• 切比雪夫不等式
• 样本均值
• 样本方差
• 抽样分布
• 自助法
• 蒙特卡洛积分

组合数学帮助计算有限等可能模型中的概率；积分联系连续分布的密度与概率。研究数据中的关系时，最小二乘法解释拟合直线怎样得到；把模型用于实际问题时，数学建模要求写清假设、单位和验证方式。进一步阅读可回到学科导航或学习路径。

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