环面：修订间差异

2026年9月20日 (日) 00:32的版本

环面是与两个圆的乘积 $S^{1} \times S^{1}$ 同胚的曲面，通常记作 $T^{2}$ 。常见的空间模型是“甜甜圈”的表面；数学上说的环面指表面本身，包围的三维区域称为实心环面。

从一个圆旋转得到曲面

在空间中，让半径为 $r$ 的圆绕同平面内、与圆心距离为 $R$ 的轴旋转。若 $R > r > 0$ ，得到无自交的圆环面。可用两个角度描述它： $\begin{matrix} x & = (R + r \cos v) \cos u, \\ y & = (R + r \cos v) \sin u, \\ z & = r \sin v, \end{matrix} 0 \leq u, v < 2 π .$ $u$ 描述绕中心孔转一圈， $v$ 描述绕管截面转一圈。两个角度都以 $2 π$ 为周期，所以参数空间是两个圆的乘积。

一个正方形的上下边同向标为a，左右边同向标为b，表示将同名边上的对应点粘合 — 抽象环面也可以由正方形粘边得到：先粘左右边成为圆筒，再把圆筒的两端粘起来。箭头表示对应方向。

大半径三小半径一的圆环面三维网格，网格线分别沿两个周期参数方向 — 参数方程生成的圆环面。网格展示两种绕行方向；表面无自交，中心孔保持打开。

面积与体积怎样计算

沿两个参数方向的切向量互相垂直，长度分别为 $R + r \cos v$ 和 $r$ ，因此面积元为 $d A = r (R + r \cos v) d u d v .$ 对两个角度积分，余弦项在一个周期上的积分为零： $A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} r (R + r \cos v) d v d u = 4 π^{2} R r .$ 实心环面的体积为 $V = 2 π^{2} R r^{2} .$ 一种理解方式是：截面圆盘的面积 $π r^{2}$ 乘以其形心走过的路程 $2 π R$ 。这使用帕普斯形心定理，旋转轴不能穿过截面内部。

例如 $R = 3$ 、 $r = 1$ 时，面积为 $12 π^{2}$ ，体积为 $6 π^{2}$ ，量纲分别是长度的平方和立方。表面积不能被误称为“环面的体积”。

一个孔带来的拓扑差别

球面上的每条闭合曲线都能在球面内连续收缩到一点，环面上则存在不能这样收缩的闭合曲线。绕中心孔和绕管截面是两个基本方向；一个闭合路径可能沿这两个方向分别绕行多次。

在正方形粘边模型中，四个角最终成为一个顶点，两对边成为两条边，内部是一张面，因而其胞腔分解给出 $χ (T^{2}) = V - E + F = 1 - 2 + 1 = 0.$ 球面的欧拉示性数为 2。这里数的是粘合以后的顶点、边和面，不能直接把未粘合正方形的 4 个顶点、4 条边代入。

周期边界与几何区别

在二维周期模型中，粒子离开矩形右边会从左边进入，离开上边会从下边进入。这种位置识别形成平坦环面，常用于避免有限区域的边缘效应。

平坦环面与空间中的圆环面有相同的拓扑类型，却有不同的距离和曲率结构。“形状可以连续变形到一起”不意味着面积、测地线或曲率相同。参数公式中的 $R = r$ 会出现奇点， $R < r$ 则有自交，不能继续当作通常的光滑嵌入环面。

延伸阅读

Allen Hatcher，《Algebraic Topology》：基本群与曲面的胞腔结构。
积分 · 群 · 图论

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-环面是一类具有一个“孔”的曲面。最直观的模型是把平面上的圆绕同平面内、且不与这个圆相交的轴旋转一周，得到类似圆环的形状。
+环面是与两个圆的乘积 <math>S^1\times S^1</math> 同胚的曲面，通常记作 <math>T^2</math>。常见的空间模型是“甜甜圈”的表面；数学上说的环面指表面本身，包围的三维区域称为实心环面。
-== 参数表示 ==
+== 从一个圆旋转得到曲面 ==
-设大半径 <math>R</math> 与小半径 <math>r</math> 满足 <math>R>r>0</math>。标准旋转环面的参数方程为
+在空间中，让半径为 <math>r</math> 的圆绕同平面内、与圆心距离为 <math>R</math> 的轴旋转。若 <math>R>r>0</math>，得到无自交的圆环面。可用两个角度描述它：
+<math display="block">\begin{aligned}x&=(R+r\cos v)\cos u,\\y&=(R+r\cos v)\sin u,\\z&=r\sin v,\end{aligned}\qquad 0\le u,v<2\pi.</math>
+<math>u</math> 描述绕中心孔转一圈，<math>v</math> 描述绕管截面转一圈。两个角度都以 <math>2\pi</math> 为周期，所以参数空间是两个圆的乘积。
-{{定理|名称=环面的参数表示|内容=<math display="block">\begin{aligned}x&amp;=(R+r\cos\theta)\cos\varphi,\\y&amp;=(R+r\cos\theta)\sin\varphi,\\z&amp;=r\sin\theta.\end{aligned}</math>|说明=其中 <math>0\leq\theta,\varphi<2\pi</math>。}}
+[[File:Gezhi-torus-identification.svg|frame|center|alt=一个正方形的上下边同向标为a，左右边同向标为b，表示将同名边上的对应点粘合|抽象环面也可以由正方形粘边得到：先粘左右边成为圆筒，再把圆筒的两端粘起来。箭头表示对应方向。]]
-角度 <math>\theta</math> 描述管截面上的位置，角度 <math>\varphi</math> 描述沿大圆环绕的位置。固定其中一个角度、改变另一个角度，就能画出两族参数曲线。
+[[File:Gezhi-torus-surface.svg|frame|center|alt=大半径三小半径一的圆环面三维网格，网格线分别沿两个周期参数方向|参数方程生成的圆环面。网格展示两种绕行方向；表面无自交，中心孔保持打开。]]
-== 面积与体积 ==
+== 面积与体积怎样计算 ==
-标准旋转环面的表面积和它所围成的实体体积分别为
+沿两个参数方向的切向量互相垂直，长度分别为 <math>R+r\cos v</math> 和 <math>r</math>，因此面积元为
+<math display="block">dA=r(R+r\cos v)\,du\,dv.</math>
+对两个角度积分，余弦项在一个周期上的积分为零：
+<math display="block">A=\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}r(R+r\cos v)\,dv\,du=4\pi^2Rr.</math>
+实心环面的体积为
+<math display="block">V=2\pi^2Rr^2.</math>
+一种理解方式是：截面圆盘的面积 <math>\pi r^2</math> 乘以其形心走过的路程 <math>2\pi R</math>。这使用帕普斯形心定理，旋转轴不能穿过截面内部。
-<math display="block">S=4\pi^2Rr,\qquad V=2\pi^2Rr^2.</math>
+例如 <math>R=3</math>、<math>r=1</math> 时，面积为 <math>12\pi^2</math>，体积为 <math>6\pi^2</math>，量纲分别是长度的平方和立方。表面积不能被误称为“环面的体积”。
-表面积也可以理解为小圆周长 <math>2\pi r</math> 与大圆周长 <math>2\pi R</math> 的乘积。
+== 一个孔带来的拓扑差别 ==
+球面上的每条闭合曲线都能在球面内连续收缩到一点，环面上则存在不能这样收缩的闭合曲线。绕中心孔和绕管截面是两个基本方向；一个闭合路径可能沿这两个方向分别绕行多次。
-== 从几何到拓扑 ==
+在正方形粘边模型中，四个角最终成为一个顶点，两对边成为两条边，内部是一张面，因而其胞腔分解给出
-在拓扑学中，环面可以表示为两个圆的乘积 <math>S^1\times S^1</math>。也可以从一个正方形出发，把两组相对的边分别按照方向粘合，得到相同的拓扑结构。
+<math display="block">\chi(T^2)=V-E+F=1-2+1=0.</math>
+球面的欧拉示性数为 2。这里数的是'''粘合以后'''的顶点、边和面，不能直接把未粘合正方形的 4 个顶点、4 条边代入。
-== 相关条目 ==
+== 周期边界与几何区别 ==
-* [[圆锥曲线]]
+在二维周期模型中，粒子离开矩形右边会从左边进入，离开上边会从下边进入。这种位置识别形成平坦环面，常用于避免有限区域的边缘效应。
-* [[积分]]
-* [[欧拉公式]]
+平坦环面与空间中的圆环面有相同的拓扑类型，却有不同的距离和曲率结构。“形状可以连续变形到一起”不意味着面积、测地线或曲率相同。参数公式中的 <math>R=r</math> 会出现奇点，<math>R<r</math> 则有自交，不能继续当作通常的光滑嵌入环面。
+== 延伸阅读 ==
+* [https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Allen Hatcher，《Algebraic Topology》]：基本群与曲面的胞腔结构。
+* [[积分]] · [[群]] · [[图论]]
 [[分类:几何]]