欧拉公式

欧拉公式（Euler's formula）把指数函数与圆周运动联系起来： $$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$$ 这里 $i^2=-1$，$\theta$ 是以弧度表示的实数角度。理解这条公式，可以先看一个具体问题：怎样用一次乘法，把平面上的向量转过一个指定角度？

乘一个数，怎样使向量转动

把平面上的点 $(x,y)$ 记作复数 $x+iy$。例如 $1+i$ 表示从原点指向 $(1,1)$ 的向量。乘以 $i$ 后， $$i(1+i)=i+i^2=-1+i,$$ 终点变成 $(-1,1)$：向量长度未变，方向逆时针转了直角。对一般向量也一样，$i(x+iy)=-y+ix$，新坐标是 $(-y,x)$。

要转过别的角度，就需要单位圆上别的点。下图中，半径与横轴的夹角为 $\theta$，横、纵坐标分别是 $\cos \theta$ 与 $\sin \theta$。因此这个点对应复数 $\cos \theta +i\sin \theta$，其长度为1。

单位圆上的点同时记录两个坐标和一个方向角。

将 $x+iy$ 乘以它，展开得到 $$(x+iy)(\cos \theta +i\sin \theta )=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta ).$$ 若原向量长为 $r$、方向角为 $\alpha$，代入 $x=r\cos \alpha$、$y=r\sin \alpha$，再用和角公式，新坐标就是 $(r\cos (\alpha +\theta ),r\sin (\alpha +\theta ))$。乘法确实把方向转过 $\theta$，同时保留长度。

现在转动最初的 $1+i$，取 $\theta =\pi /3$，也就是60度： $$\begin{array}{cc}(1+i)(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})& =\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ & =\frac{1-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1+\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$ 新坐标约为 $(-0.366,1.366)$，平方和仍为2。原方向为45度，转后为105度，落在第二象限，与坐标符号吻合。用矩阵写同一变换，就是 $$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right).$$

为什么这个旋转数恰好是指数

前面的计算解释了 $\cos \theta +i\sin \theta$，还没有解释 $e^{i\theta }$。实指数延伸到复数时，可以采用幂级数定义： $$e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}.$$ 其中 $n!=1\cdot 2\cdots n$，规定 $0!=1$。对任何固定复数 $z$，相邻项绝对值的比是 $|z|/(n+1)$；从某项起小于 $1/2$，后面的绝对值之和受到收敛等比级数控制。因此级数绝对收敛，偶数项、奇数项可以分别收集。

代入 $z=i\theta$。由于 $i^2=-1$、$i^3=-i$、$i^4=1$，幂次按四项循环： $$\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& =1+i\theta -\frac{{\theta }^2}{2!}-i\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^4}{4!}+\cdots \\ & =(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\cdots )+i(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\cdots ).\end{array}$$ 两个括号分别是余弦与正弦的泰勒级数，欧拉公式由此成立。从圆的几何定义三角函数时，泰勒定理可以证明这两个展开：各阶导数的绝对值不超过1，余项不超过 $|\theta {|}^{n+1}/(n+1)!$，对固定角度趋于零。标准三角函数导数采用弧度，所以这里的角度也采用弧度。

复指数还保留加法律。把两个绝对收敛的级数相乘，按总次数 $n$ 收集项，其系数为 $$\sum _{k=0}^n\frac{z^k{w}^{n-k}}{k!(n-k)!}=\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})z^k{w}^{n-k}=\frac{(z+w{)}^n}{n!}.$$ 最后一步是二项式定理，因而 $e^z{e}^w=e^{z+w}$。对纯虚指数，这恰好说先转 $\alpha$ 再转 $\beta$，等于转 $\alpha +\beta$。级数的代数性质与平面的旋转规律在这里相接。

从半周旋转到方程的全部根

转过半周，单位圆上的点为 $(-1,0)$，所以 $$e^{i\pi }=-1,e^{i\pi }+1=0.$$ 这称为欧拉恒等式。转过整周则回到原来的方向：$e^{i(\theta +2\pi k)}=e^{i\theta }$，其中 $k$ 是整数。方向相同不意味着角度数值只有一个。

这点在求根时尤其有用。求 $z^3=8$，先写成 $z=r{e}^{i\varphi }$，其中 $r=|z|>0$。代入得 $r^3{e}^{3i\varphi }=8$。比较长度，$r^3=8$，所以 $r=2$；比较方向，$3\varphi =2\pi k$。取三个互不重复的方向，得到 $$z=2,2e^{2\pi i/3}=-1+i\sqrt{3},2e^{4\pi i/3}=-1-i\sqrt{3}.$$ 再增加 $k$ 就只是给这些根的角度增加整周，没有新根。三个根在半径2的圆上等角排列；它们的和为零，也与多项式 $z^3-8$ 缺少二次项一致。

同理，对正整数 $n$，$z^n=1$ 的全部根为 $e^{2\pi ik/n}$，$k=0,1,\dots ,n-1$。令 $\zeta =e^{2\pi i/n}$，当 $n>1$ 时，和 $S=1+\zeta +\cdots +{\zeta }^{n-1}$ 满足 $$(1-\zeta )S=1-{\zeta }^n=0.$$ 因为 $\zeta \ne 1$，故 $S=0$。这证明圆周上均匀排列的向量相互抵消。把公比换成 ${\zeta }^m$，若整数 $m$ 不是 $n$ 的倍数，同样得到和为零；若是倍数，每项为1，和为 $n$。

把两个同频振动合成一个

考虑 $\cos t+\sqrt{3}\sin t$。欧拉公式允许把两项放进同一个复乘法： $$(1-i\sqrt{3})e^{it}=(\cos t+\sqrt{3}\sin t)+i(\sin t-\sqrt{3}\cos t).$$ 我们要的恰好是实部。系数 $1-i\sqrt{3}$ 长为2，方向为 $-\pi /3$，所以等于 $2e^{-i\pi /3}$。于是 $$\cos t+\sqrt{3}\sin t=\mathrm{Re}(2e^{i(t-\pi /3)})=2\cos (t-\pi /3).$$ 符号 $\mathrm{Re}$ 表示取实部。原来的两项合成振幅2、相位 $-\pi /3$ 的振动。振幅不是把1与 $\sqrt{3}$ 直接相加，因为两项的峰值并不同时到达。

同频振动都带有共同因子 $e^{i\omega t}$，计算时可先相加复系数，再取实部。不同频率没有同一个这样的时间因子，通常仍需保留各自的振动。复指数在微分方程中也方便求导：一次求导乘以 $i\omega$，两次乘以 $-{\omega }^2$，因而直接给出 $y^{″}+{\omega }^{2}y=0$ 的振动解。

从圆周回到一般复指数

对实数 $x,y$，加法律给出 $e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$：实部 $x$ 控制长度 $e^x$，虚部 $y$ 控制方向。复指数从不等于零。

反过来，给定 $z=r{e}^{i\theta }\ne 0$，求所有 $e^w=z$ 的解，会得到 $$w=\log r+i(\theta +2\pi k),k\in \mathbb{Z}.$$ 这就是复对数有多个值的原因。若只选幅角位于 $(-\pi ,\pi ]$ 的主值，$\mathrm{Log}(-1)=i\pi$，但 $\mathrm{Log}(1)=0$，故 $\mathrm{Log}((-1)(-1))$ 不等于两个 $\mathrm{Log}(-1)$ 之和。实数对数的乘积法则在复数中需要同时处理角度的选择。

共轭把角度反号：$\overline{e^{i\theta }}=e^{-i\theta }$。将这两个数相加、相减，分别保留实部、虚部，便有 $$\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2},\sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}.$$ 三角函数既可以画成圆上的坐标，也可以写成旋转指数的组合。

历史

棣莫弗在十八世纪研究复数的幂与角度之间的关系，欧拉则系统发展了指数、对数、三角函数与无穷级数的联系。《无穷分析引论》第一卷出版于1748年；Euler Archive E101保存了原著及书目信息。MacTutor：De Moivre与Euler记录了相关人物的工作。

此处讨论的复指数恒等式，与多面体顶点、棱、面之间的 $V-E+F=2$ 同称“欧拉公式”，但属于不同问题。

来源与继续阅读

• Euler Archive，E101：《Introductio in analysin infinitorum》卷一，1748：原著与出版记录。
• Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》§2.2：复数、欧拉公式与常系数方程。
• MacTutor：Leonhard Euler；Abraham de Moivre：历史背景。
• 相关：导数、矩阵、群、微分方程。